Wahlteil A1

Die folgenden Daten zeigen den anfänglichen Verlauf der Grippewelle 2014/2015 in Deutschland.

$w$	$g$
$1$	$41$
$3$	$175$
$5$	$153$
$7$	$1.157$
$9$	$4.203$
$11$	$9.652$
$13$	$14.630$

Die Variable $w$ steht für die Wochen seit Beginn der Grippewelle.
Die Variable $g$ gibt die in der entsprechenden Woche labortechnisch nachgewiesenen Grippefälle an, das heißt die Anzahl der neu an Grippe erkrankten Personen.

1.1

Der Zusammenhang zwischen $g$ und $w$ kann durch Funktionen näherungsweise beschrieben werden.

Betimme Gleichungen geeigneter Funktionen, indem Sie folgende Regressionen durchführen.

$g = f_1(w)$ ... lineare Regression
$g = f_2(w)$ ... exponentielle Regression
$g = f_3(w)$ ... otenz- bzw. Powerregression

Beurteile die ermittelten Funktionen hinsichtlich ihrer Brauchbarkeit den Sachverhalt zu beschreiben.

(9 BE)

1.2

Peter behauptet, dass der anfängliche Verlauf der Grippewelle auch durch die Funktion $g=f(w)= \dfrac{17.500}{1+1.800\cdot \mathrm e^{-0,7w}}$ näherungsweise beschrieben werden kann.
Ermittle mithilfe dieser Funktion für die Wochen mit den Nummern $7,$ $10$ und $13$ die Anzahl der Neuerkrankungen und nimm anhand dieser Ergebnisse zu Peters Behauptung Stellung.

(4 BE)

1.3

Anhand der bis zur $13.$ Woche vorliegenden Daten wurde eine reelle Funktion $h$ mit $h(w)= \mathrm e^{1,39w-0,05w^2}$ ermittelt, mit deren Hilfe auch der weitere Verlauf der Grippewelle bis zu ihrem Abklingen modelliert wird.

1.3.1

Zeichne den Graphen der Funktion $h$ im Intervall $0\leq w\leq 30$ in ein geeignetes Koordinatensystem.

(3 BE)

1.3.2

Triff rechnerisch mithilfe der Funktion $h$ Voraussagen über

die Höchstzahl der Neuerkrankungen pro Woche.
die Woche des stärksten Rückgangs der Neuerkrankungen.

Bestimme grafisch die Woche, ab der die Anzahl der Neuerkrankungen unter $250$ liegt.

(10 BE)

1.3.3

Tatsächlich gab es im weiteren Verlauf der Grippewelle 2014/15 in Deutschland jedoch folgende Daten:

$x$	$y$
$15$	$8.618$
$17$	$4.076$
$19$	$1.235$
$21$	$671$
$23$	$187$
$25$	$58$
$27$	$35$

Stelle die Wertepaare aus beiden Tabellen in dem schon vorhandenen Koordinatensystem dar.

Vergleiche Modell und Wirklichkeit für den erfassten Zeitraum der Grippewelle anhand der graphischen Darstellung.

Argumentieren mithilfe zweier möglicher Sachverhalte, wie aus deiner sich die Unterschiede zwischen Modell und Wirkichkeit zu erklären sind.

(9 BE)

1.1

$\blacktriangleright$ Regressionen durchführen

Nach Eingabe der Werte aus der Tabelle im Tabellenkalkulations-Menü des CAS, ergibt sich mit dem Befehl für die lineare Regression eine lineare Funktion der Form $y = a\cdot x +b$ mit

$a\approx 1.192,3$
$b\approx - 4.059,1$

Mit der linearen Regression ergibt sich also folgende Funktionsgleichung:

$f_1(w)=1.192,3w - 4.059,1$

Tabelle mit Zahlen und linearer Regression in einer Softwareanwendung.

Abb. 1: Calc $\to$ Regressionen $\to$ Lineare Regression

Nach Eingabe der Werte aus der Tabelle im Tabellenkalkulations-Menü des CAS, ergibt sich mit dem Befehl für die exponentielle Regression eine Exponentialunktion der Form $y = a\cdot \mathrm e^{b\cdot x}$ mit

$a\approx 25,7$
$b\approx 0,5$

Mit der exponentiellen Regression ergibt sich also folgende Funktionsgleichung:

$f_2(w)= 25,7\cdot \mathrm e^{0,5 w}$

Formel für exponentielle Regression mit Werten für a, b und r. Schaltflächen für Ausgabe und schließen.

Abb. 2: Calc $\to$ Regressionen $\to$ Exp. Regression

Nach Eingabe der Werte aus der Tabelle im Tabellenkalkulations-Menü des CAS, ergibt sich mit dem Befehl für die Potenzregression eine Potenzfunktion der Form $y = a\cdot x^b$ mit

$a\approx 18,1$
$b\approx 2,4$

Mit der Potenzregression ergibt sich also folgende Funktionsgleichung:

$f_3(w)= 18,1\cdot x^{2,4}$

Tabelle mit Potenzregression und Werten für a, b und r. Schaltflächen für Ausgabe und Schließen sind vorhanden.

Abb. 3: Calc $\to$ Regressionen $\to$ Potenz-Regression

$\blacktriangleright$ Funktionen beurteilen

Betrachtet man die Wertepaare in der Tabelle, lässt sich erkennen, dass die Anzahl der Neuerkrankungen in den ersten 5 Wochen noch recht langsam steigt und in der fünften Woche sogar noch einmal fällt. Ab der fünften Woche beginnt die Anzahl der Neuerkrankungen schneller zuzunehmen, die Wachstumsrate steigt dann immer weiter.

Bei einer linearen Funktion ist die Zunahme allerdings konstant. Bei der Modellierung des Sachverhalts durch eine solche Funktion werden also die stark unterschiedlichen Wachstumsraten zu Beginn und Ende des Zeitraums nicht deutlich und damit ist die Funktion $f_1$ kaum geeignet um den Sachverhalt im gesamten Zeitraum zu beschreiben.

Für die beiden übrigen Funktionen ergibt sich beispielsweise folgender Funktionswert:

$f_2(13) \approx 17.094$ und $f_3(13)\approx 8.534$

Der reale Wert ist aber $g(13)= 14.6300.$ Die Abweichung von $f_3$ ist doppelt so groß, wie die Abweichung von $f_2.$ Dies liegt daran, dass eine Potenzfunktion im allgemeinen weniger schnell wächst, als eine Exponentialfunktion. Da die Werte aus der Realität und auch deren Wachstumsrate sehr schnell ansteigen, ist daher die Exponentialfunktion $f_2$ besser geeignet den Sachverhalt darzustellen als die Potenzfunktion $f_2.$

1.2

$\blacktriangleright$ Anzahl der Neuerkrankungen ermitteln

Mit dem CAS ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} f(7)&\approx& 1.215 \\[5pt] f(10)&\approx& 6.625 \\[5pt] f(13)&\approx& 14.571 \\[5pt] \end{array}$

In Woche $7$ gibt es etwa $1.215$ Neuerkrankungen, in Woche $10$ ca. $6.625$ Neuerkrankungen und in Woche $13$ ca. $14.571$ Neuerkrankungen.

Mathematische Berechnungen und Funktionsdefinition in einer Software-Oberfläche.

Abb. 4: Berechnung mit dem CAS

$\blacktriangleright$ Stellung nehmen

Für Woche $7$ und $13$ ergeben sich minimale Abweichungen der berechneten Werte zu denen aus der Realität mit einer Differenz von weniger als $100$ Grippefällen. Dies entspricht einer Abweichung von weniger als $10\,\%$ in Woche $7$ bzw. sogar weniger als $1\,\%$ in Woche $13.$
Der berechnete Wert für Woche $10$ liegt zwischen den realen Werten von Woche $9$ und $11$ , wenn auch mit einer kleinen Abweichung zum genauen Mittelwert. Da aber kein realer Wert für Woche $10$ angegeben ist, scheint dies im Rahmen zu liegen. Insgesamt kann man also Peters Aussage in Bezug auf die letzten 6 Wochen der anfänglichen Grippewelle zustimmen.

1.3.1

$\blacktriangleright$ Graphen zeichnen

Diagramm mit einer grünen Kurve, die eine Funktion in einem Koordinatensystem darstellt.

Abb. 5: Graph von $h$ für $0\leq w\leq 30$

1.3.2

$\blacktriangleright$ Höchstzahl der Neuerkrankungen pro Woche voraussagen

Die voraussichtliche Höchstzahl der Neuerkrankungen entspricht dem Maximum der Funktion $h$ für $w \geq 0.$

Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen $h‘(w)=0$ ergibt sich mithilfe des Solve-Befehls des CAS:

$\begin{array}[t]{rll} h‘(w) &=&0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] w &\approx& 13,9 \\[5pt] \end{array}$

Mathematische Software zeigt Funktionen und Gleichungen zur Ableitung und Lösung an.

Abb. 6: Ableitung: Keyboard $\to$ Math2

Für das hinreichende Kriterium folgt mit dem CAS:

$h‘‘(13,9)\approx -1.569 \lt 0$

Das einzige lokale Extremum nimmt $h$ an der Stelle $w = 13,9$ an. Dabei handelt es sich um ein lokales Maximum. Bei $h(13,9)$ handelt es sich also um den größten Funktionswert, den $h$ annimmt:

$h(13,9)\approx 15.686$

Mithilfe der Funktion $h$ lässt sich die Höchstzahl der Neuerkrankungen pro Woche rechnerisch auf ca. $15.686$ voraussagen.

$\blacktriangleright$ Woche des stärksten Rückgangs der Neuerkrankungen voraussagen

Da $h$ die Anzahl der Neuerkrankungen pro Woche beschreibt, beschreibt $h‘$ die Wachstumsrate der Anzahl der Neuerkrankungen pro Woche. Gesucht ist also die Stelle $w \geq 0,$ an der $h‘$ den kleinsten Funktionswert annimmt.

Mit dem notwendigen Kriterium für lokale Extremstellen von $h‘$ , also $h‘‘(w)=0$ und dem Solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} h‘‘(w)&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] w_1&\approx& 10,7 \\[5pt] w_2&\approx& 17,1 \\[5pt] \end{array}$

Mit dem hinreichenden Kriterium folgt:

$\begin{array}[t]{rll} h‘‘‘(w_1)&\approx& -594 \lt 0 \\[5pt] h‘‘‘(w_2)&\approx& 594 \gt 0 \\[5pt] \end{array}$

Bei $h‘(w_1)$ handelt es sich also um ein lokales Maximum, bei $h‘(w_2)$ um ein lokales Minimum. Nach $17$ Wochen, also in der 18. Woche nach Beobachtungsbeginn befindet sich der Zeitpunkt mit der stärksten Abnahme der Neuerkrankungen.

$\blacktriangleright$ Woche grafisch bestimmen

Die Grenzen des gesuchten Bereichs sind die Schnittstellen von $h$ mit $y=250.$

Diagramm einer Funktion mit einer grünen Kurve auf einem Gitterhintergrund.

Abb. 7: Schnittstellen bestimmen

In der $23.$ Woche liegt die Anzahl der Neuerkrankungen bei $250$ , also liegt die Anzahl der Neuerkrankungen ab der $24.$ Woche unter $250.$

1.3.3

$\blacktriangleright$ Wertepaare darstellen

Graph mit einer grünen Kurve und Gitterlinien, zeigt eine Funktion in Bezug auf h und w.

Abb. 8: Wertepaare im vorhandenen Koordinatensystem

$\blacktriangleright$ Modell und Wirklichkeit vergleichen

In der graphischen Darstellung ist zu erkennen, dass sowohl im Modell als auch in der Wirklichkeit die Anzahl der Neuerkrankungen pro Woche bis zur $13.$ bzw. ca. $14.$ Woche ansteigt. Bis dahin entsprechen die Werte im Modell in etwa denen aus der Realität.
Ab Woche $15$ liegt die Anzahl der Neuerkrankungen in der Realität mit einer Differenz von ca. $5.900$ deutlich unter der Vorhersage des Modells. Anschließend nähern sich die Werte wieder einander an, bis sie ab Woche $23$ wieder näherungsweise übereinstimmen.

$\blacktriangleright$ Erklärungen für die Unterschiede

Das Modell wurde auf Grundlage der bis zur $13.$ Woche vorliegenden Daten erstellt, in diesem Zeitraum stimmen die Werte also nahezu überein, da die Werte aus der Realität bei der Erstellung des Modells bereits bekannt waren. Die Modellwerte der Wochen danach sind aber pure Vorhersagen, die auf Annahmen beruhen. In der Realität spielen aber viel mehr Faktoren eine Rolle, die dazu führen können, dass es doch weniger registrierte Neuerkrankungen gibt als erwartet wurden.
Da sich Grippewellen tendenziell im Herbst/Winter befinden, könnte es beispielsweise sein, dass in der $15.$ Woche die Weihnachtsfeiertage liegen, während denen sich eventuell weniger Menschen anstecken, da sie sich weniger in der Öffentlichkeit und eher im Kreis der Familie aufhalten. Auch könnte es sein, dass zu dieser Zeit weniger Menschen zum Arzt gehen, da sie nicht für ihren Arbeitgeber krankgeschrieben werden müssen, da sowieso Feiertage sind, oder nicht zum eventuell weiter entfernten Notdienst fahren möchten.
Zusätzlich sind beim Fortschreiben des Modells, das auf den Werten bis zur $13.$ Woche beruht, wahrscheinlich keine psychologischen Aspekte berücksichtigt, wie zum Beispiel, dass sich mit der Ausbreitung der Grippewelle auch das Bewusstsein für Hygiene und die Stärkung des Immunsystems steigert. Bei Bekanntwerden der Grippewelle könnten beispielsweise mehr Menschen vorbeugende Maßnahmen wie Impfungen oder gesündere Ernährung treffen, wodurch die Anzahl der Neuansteckungen sinken kann.

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