Lerninhalte in Mathe

Abi-Aufgaben GK (WTR)

Abi-Aufgaben GK (CAS)

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Wahlteil A1

Gegeben ist die für alle reellen Zahlen $x$ mit $-2\leq x \leq 8$ definierte Funktion $f$ mit der Gleichung

$f(x)=$ $-\frac{1}{100}x^4+\frac{1}{10}x^3-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x+1$

Der Graph von $f$ heißt $G.$

1.1

Ermittle rechnerisch die Schnittpunkte von $G$ mit den Koordinatenachsen sowie Lage und Art eventuell vorhandener Extrempunkte.
Berechne die Koordinaten der Wendepunkte.
Beschreibe mithilfe deiner Ergebnisse das Monotonieverhalten der Funktion $f.$

(13 BE)

1.2

Zeichne $G.$

(3 BE)

1.3

Die Koordinatenachsen und $G$ schließen im ersten Quadranten eine Fläche $F$ ein.

1.3.1

Berechne den Inhalt von $F.$

(2 BE)

1.3.2

Eine Gerade $g$ durch den Koordinatenursprung zerlegt $F$ in zwei gleichgroße Teile.
Ermittle rechnerisch eine Gleichung von $g.$

(5 BE)

1.3.3

Für jeden Wert von $a$ mit $0\leq a\leq 7;$ $a\in \mathbb{R}$ liegt ein Dreieck $ABC$ mit $A(a\mid 0),$ $B(7\mid 0)$ und $C(a\mid f(a))$ in der Fläche $F.$
Fertige zu diesem Sachverhalt eine Skizze an.
Begründe, dass es sinnvoll ist, für $a$ den Wert $7$ auszuschließen.
Berechne die Koordinaten des Punktes $C$ so, dass die Fläche des Dreiecks $ABC$ möglichst groß wird.

(9 BE)

1.3.4

Die Fläche $F$ stellt den Querschnitt einer entstehenden Abraumhalde dar, wobei die $x$ -Achse in Nord-Süd-Richtung verläuft.
Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht $10$ Metern.
In Ost-West-Richtung kann die Halde bei gleich bleibendem Querschnitt eine maximale Ausdehnung von $300\,\text{m}$ haben.
Untersuche, ob die Halde insgesamt $400\,000\,\text{m}^3$ Abraum aufnehmen kann.

(3 BE)

1.1

$\blacktriangleright$ Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ermitteln

$f(0) = 1$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Der Graph von $f$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S_y(0\mid 1).$ Verwende nun den solve-Befehl deines CAS:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&\approx& -1,30 \\[5pt] x_2&\approx& 7,30 \\[5pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Der Graph von $f$ schneidet die $x$ -Achse in den Punkten $S_1(-1,30\mid 0)$ und $S_2(7,30\mid0).$

$\blacktriangleright$ Lage und Art der Extrempunkte ermitteln

1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

$f‘(x) = ...$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Gleichsetzen der ersten Ableitung mit Null liefert:

$x\approx 5,40$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$f‘‘(5,40) \approx -0,76 \lt 0$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

An der Stelle $x\approx 5,40$ besitzt der Graph von $f$ also einen Hochpunkt.

3. Schritt: Vollständige Koordinaten berechnen

$f(5,40) \approx 2,30$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Der Graph von $f$ besitzt genau einen Extrempunkt, den Hochpunkt $H(5,40\mid 2,30).$

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Wendepunkte berechnen

1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

$\begin{array}[t]{rll} x_1&\approx& 1,06 \\[5pt] x_2&\approx& 3,94 \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘‘(1,06)&=& 0,3456\neq 0 \\[10pt] f‘‘‘(3,94)&=& -0,3456 \neq 0 \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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3. Schritt: Vollständige Koordinaten berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f(1,06)&\approx& 1,09 \\[10pt] f(3,94)&\approx& 1,81 \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Der Graph von $f$ besitzt die beiden Wendepunkte $W_1(1,06\mid 1,09)$ und $W_2(3,94\mid 1,81).$

$\blacktriangleright$ Monotonieverhalten beschreiben

Die erste Ableitungsfunktion von $f$ beschreibt das Steigungsverhalten des Graphen und daher auch das Monotonieverhalten von $f.$ Die erste Ableitungsfunktion besitzt nur eine Nullstelle. An dieser Stelle besitzt der Graph von $f$ einen Hochpunkt. Bis zu dieser Stelle muss $f$ also steigen und anschließend fallen.
Im Intervall $[-1; 5,40]$ ist $f$ monoton steigend, im Intervall $[5,40;8]$ ist $f$ monoton fallend.

1.2

$\blacktriangleright$ Graphen zeichnen

Du kannst dir den Graphen von $f$ im Graphik-Menü deines CAS anzeigen lassen um ihn anschließend besser zeichnen zu können.

Funktionsgraph

Abb. 1: Funktionsgraph $G$ von $f$

1.3.1

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Den Flächeninhalt kannst du mithilfe eines Integrals über $f$ berechnen. Die Integrationsgrenzen sind $a=0$ und die Nullstelle im ersten Quadranten $b\approx 7,30.$

$A_F\approx 11,08$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Der Flächeninhalt von $F$ beträgt ca. $11,08\,\text{FE}.$

1.3.2

$\blacktriangleright$ Geradengleichung ermitteln

Skizze

Abb. 2: Skizze

Betrachte die Skizze. Der Schnittpunkt von $G$ und der gesuchten Gerade wird mit $M(m\mid f(m))$ bezeichnet.
Die graugefärbte Fläche soll halb so groß sein, wie die Fläche $F.$ Sie entsteht dadurch, das aus der gesamten Fläche, die $G$ im Intervall $[0;m]$ mit den Koordinatenachsen begrenzt, die grau schraffierte Fläche herausgetrennt wird.
Bei der schraffierten Fläche handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Eckpunkte der Koordintenursprung, der Schnittpunkt $M(m\mid f(m))$ und der Punkt $(m\mid 0)$ sind.

Die Katheten des Dreiecks sind also $m$ und $f(m)$ Längeneinheiten lang. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist daher:

$A_1 = \frac{1}{2}\cdot m \cdot f(m)$

Die Gesamtfläche zwischen $G$ und der $x$ -Achse im Intervall $[0;m]$ kann mithilfe des folgenden Integrals bestimmt werden:

$A_2 = \displaystyle\int_{0}^{m}f(x)\;\mathrm dx$

Insgesamt kann der Flächeninhalt der grau gefärbten Fläche daher wie folgt in Abhängigkeit der Schnittstelle $m$ dargestellt werden:

$A= ...$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Setze dies nun mit der Hälfte des Flächeninhalts von $F$ gleich, um die Schnittstelle $m$ zu bestimmen:

$m\approx 6,62$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Vervollständige nun die Koordinaten des Schnittpunkts $M:$

$f(6,62) \approx 1,50$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Die Gerade $g$ verläuft durch den Koordinatenursprung und durch den Punkt $M.$ Berechne die Steigung von $g$ mithilfe des Differenzenquotienten:

$\dfrac{1,50 -0}{6,62-0}\approx 0,23$

Da die Gerade durch den Koordinatenursprung verläuft, lautet die Gleichung von $g:$

$g(x)\approx 0,23x$

1.3.3

$\blacktriangleright$ Skizze anfertigen

Skizze

Abb. 3: Skizze

$\blacktriangleright$ Ausschluss des Werts begründen

Wäre $a=7,$ wären die Koordinaten von $A(7\mid 0),$ also identisch mit denen von $B.$ In diesem Fall wäre das Dreieck $ABC$ also entartet und hätte den Flächeninhalt $0\,\text{FE}.$ Daher ist es sinnvoll, den Wert $7$ für $a$ auszuschließen.

$\blacktriangleright$ Koordinaten für den maximalen Flächeninhalt berechnen

1. Schritt: Funktion für den Flächeninhalt aufstellen

Die beiden Katheten des Dreiecks sind $7-a$ und $f(a)$ Längeneinheiten lang. Der Flächeninhalt kann daher wie folgt bestimmt werden:

$A(a)= ...$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden

$A‘(a)=...$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Gleichsetzen mit Null liefert:

$\begin{array}[t]{rll} a_1&\approx& 0,22 \\[5pt] a_2&\approx& 2,70 \\[5pt] a_3&\approx& 3,52 \\[5pt] a_4&\approx& 7,16 \geq 7 \\[5pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Da der Bereich auf $0\leq a \lt 7$ begrenzt ist, fällt die letzte Lösung raus.

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Extremstellen überprüfen

Für die zweite Ableitungsfunktion gilt:

$A‘‘(a)= \frac{1}{10}a^3-\frac{51}{50}a^2+\frac{57}{20}a-2$

Einsetzen der obigen Lösungen ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} A‘‘(0,22)&\approx& -1,42 \lt 0 \\[5pt] A‘‘(2,70)&\approx& 0,23 \gt 0 \\[5pt] A‘‘(3,52)&\approx& -0,24 \lt 0 \\[5pt] \end{array}$

Mögliche Maxima liegen also bei $a_1\approx 0,22,$ $a_3\approx 3,52$ oder in der linken Intervallgrenze $a_5=0.$

4. Schritt: Globales Maximum bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} A(0,22)&\approx& 3,54 \\[5pt] A(3,52)&\approx& 2,80 \\[5pt] A(0)&=& 3,5 \end{array}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ wird also für $a\approx 0,22$ maximal.

$f(0,22)\approx 1,04$

Den größten Flächeninhalt nimmt das Dreieck $ABC$ für $C(0,22\mid 1,04)$ an.

1.3.4

$\blacktriangleright$ Abraum untersuchen

Der Flächeninhalt der Querschnittsfläche muss zunächst in $\text{m}^2$ umgerechnet werden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht laut Aufgabenstellung $10\,\text{m}.$
Für eine Flächeneinheit gilt also:

$1\,\text{FE} = 100\,\text{m}^2$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Die Querschnittsfläche hat also folgende Größe:

$A_F \approx 1.108\,\text{m}^2$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Das Volumen der Abraumhalde ergibt sich mithilfe der angegebenen Ost-West-Ausdehnung von $300\,\text{m}$ zu:

$V \approx 332.400\,\text{m}^3$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Die Abraumhalde kann bis zu ca. $332.400\,\text{m}^3$ Abraum aufnehmen, sie kann also nicht $400.000\,\text{m}^3$ aufnehmen.

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