2 Analysis

2.1

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p$ und $q$ mit $p(x)=-x^2-x+1$ und $q(x)=\mathrm{e}^{-x}.$
Die Graphen von $p$ und $q$ haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der $y$ -Achse. Für die erste Ableitungsfunktion von $q$ gilt $\(q$

2.1.1

Beschreibe, wie der Graph von $\(q$ aus dem Graphen von $q$ erzeugt werden kann. Gib die Wertemenge von $\(q$ an.

(2 BE)

2.1.2

Berechne die Größe des Winkels, in dem der Graph von $q$ die Gerade mit der Gleichung $y=4$ schneidet.

(3 BE)

2.1.3

Zeige, dass die Graphen von $p$ und $q$ in ihrem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente haben, und gib eine Gleichung dieser Tangente an.

(3 BE)

2.1.4

Gib die geometrische Bedeutung der Gleichung $\displaystyle\int_0^b(q(x)-p(x))\;\mathrm d x=4$ an und bestimme den Wert von $b.$

(3 BE)

2.2

Für jeden Wert von $a \in \mathbb{R}$ ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_a$ mit $h_a(x)=\left(x^2-x-a\right) \cdot \mathrm e^{-x}$ gegeben.

2.2.1

Berechne den Abstand der beiden Extrempunkte des Graphen von $h_1.$

(4 BE)

2.2.2

Für jeden Wert von $a$ mit $a\gt-\frac{5}{4}$ hat der Graph von $h_a$ zwei Extrempunkte.
Bestimme die $x$ -Koordinaten dieser beiden Extrempunkte in Abhängigkeit von $a.$
Begründe, dass es zu jeder Stelle $x\gt\frac{3}{2}$ einen Wert von $a$ gibt, für den der Graph von $h_a$ im Punkt $\left(x \mid h_a(x)\right)$ einen Hochpunkt hat.

(5 BE)

2.3

Ein Bewässerungskanal wird durch Öffnen einer Schleuse in Betrieb genommen.
Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w$ mit $w(x)=4 \cdot\left(x^2-x-1\right) \cdot \mathrm e^{-x}+4$ beschreibt für $x \geq 0$ die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und $w(x)$ die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.
Die Abbildung zeigt den Graphen von $w.$

2.3.1

Gib den Wert des Terms $\lim _{x \rightarrow+\infty} w(x)$ sowie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.

(2 BE)

2.3.2

Bestimme die momentane Durchflussrate für denjenigen Zeitpunkt, zu dem sie am stärksten abnimmt.

(3 BE)

2.3.3

Betrachtet wird der Zeitraum der ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn.
Beschreibe unter Verwendung geeigneter Flächen die graphische Bedeutung der folgenden Aussage:

Für den betrachteten Zeitraum beträgt die mittlere Durchflussrate etwa $4 \frac{\text{m}^3}{\text{s}}$ .

(3 BE)

2.3.4

Die Tangente an den Graphen von $w$ im Punkt $(1 \mid w(1))$ wird durch die Gleichung $y=t(x)$ dargestellt.
Interpretiere die folgende Aussage im Sachzusammenhang:

Für alle Werte von $x \in[0,7 ; 1,4]$ gilt $\left|\frac{t(x)-w(x)}{w(x)}\right|\lt 0,05.$

(3 BE)

2.3.5

An der Messstelle fließen in einem Zeitraum von drei Sekunden dreizehn Kubikmeter Wasser vorbei.
Berechne die dafür infrage kommenden Zeiträume.

(4 BE)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

2.1.1

Der Graph von $q$ wird an der $x$ -Achse gespiegelt.

Wertemenge: $\left] - \infty; 0 \right[$

2.1.2

1. Schritt: Schnittstelle berechnen

$\begin{array}[t]{rll} q(x) &=& 4 \\[5pt] \mathrm e^{-x} &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] -x &=& \ln 4 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1)\\[5pt] x &=& -\ln 4 \end{array}$

2. Schritt: Schnittwinkel berechnen

Da die Gerade mit der Gleichung $y=4$ parallel zur $x$ -Achse verläuft, entspricht der Schnittwinkel des Graphen von $q$ mit der Geraden dem Steigungswinkel des Graphen von $q$ in der Schnittstelle.

$\(q$

Mit der Formel für den Steigungswinkel $\alpha$ folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha &=& q$

Der Winkel, unter dem der Graph von $q$ die Gerade mit der Gleichung $y=4$ schneidet, ist ca. $75,96^{\circ}$ groß.

2.1.3

In der Aufgabenstellung ist angegeben, dass sich der gemeinsame Punkt auf der $y$ -Achse befindet. Für ihn gilt also $x=0.$

Damit die beiden Graphen an dieser Stelle eine gemeinsame Tangente haben, muss ebenfalls die Steigung übereinstimmen:

$\(p$

$\(q$

Es gilt also $p(0)=q(0)=1$ und $\(p$ An der Stelle $x=0$ haben die Graphen von $p$ und $q$ daher eine gemeinsame Tangente mit der Gleichung:

$t: y = -x+1$

2.1.4

Der Integrand ist die Differenzfunktion aus $p$ und $q.$ Das bestimmte Integral liefert also den Flächeninhalt zwischen beiden Funktionsgraphen.
Betrachtet wird die Fläche zwischen den Graphen von $p$ und $q$ sowie einer zur $y$ -Achse parallelen Geraden $x=b$ mit dem Inhalt $4.$ Das Lösen dieser Gleichung mit dem CAS liefert $b \approx 2,1.$

2.2.1

Mit dem CAS können die Stellen bestimmt werden, an denen das notwendige Kriterium für Extremstellen erfüllt ist. Dafür kann auch die erste Ableitungsfunktion mit dem CAS bestimmt werden.

$\(\begin{array}[t]{rll} h_1$

Da in der Aufgabenstellung angegeben ist, dass es genau zwei Extrempunkte gibt, kann auf die Überprüfung des hinreichenden Kriteriums verzichtet werden.

$h_1(0) = -1$

$h_1(3) = 5\cdot \mathrm e^{-3}$

$d = \sqrt{(5\cdot \mathrm e^{-3} -(-1))^2 +( 3-0)^2} \approx 3,25$

2.2.2

Extremstellen bestimmen

Mit dem CAS können die Stellen bestimmt werden, an denen das notwendige Kriterium für Extremstellen erfüllt ist. Dafür kann auch die erste Ableitungsfunktion mit dem CAS bestimmt werden.

$\(\begin{array}[t]{rll} h_a$

Hochpunkt begründen

Für $a=-\frac{5}{4}$ gilt: $x_1=x_2,$ da $\sqrt{4 \cdot\left(-\frac{5}{4}\right)+5}=0.$

Für $a\gt-\frac{5}{4}$ ist der Ausdruck unter der Wurzel größer als $0,$ somit gibt es dann zwei Extremstellen.

$\lim\limits_{a \rightarrow-\frac{5}{4}} \dfrac{3+\sqrt{4 \cdot a+5}}{2}=\dfrac{3}{2}$

Somit ist $\frac{3}{2}$ die kleinste Lösung für $x_1.$
Wird $a$ größer, so wird auch $x_1$ größer. Also gibt es für jede Stelle $x\gt\frac{3}{2}$ einen zugehörigen Graphen von $h_a,$ der an der Stelle $x$ einen Extrempunkt hat.
Für alle Werte von $a$ ist $\(h_{a}$ somit sind die Extrempunkte an der Stelle $x_1$ Hochpunkte.

2.3.1

Der Graph von $w$ besitzt eine waagerechte Asymptote mit der Gleichung $y=4.$ Somit ist:

$\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} w(x)=4$

Langfristig nähert sich die momentane Durchflussrate dem Wert $4 \frac{\text{m}^3}{\text{s}}$ an.

2.3.2

Der gesuchte Zeitpunkt ist dadurch gekennzeichnet, dass der Graph den kleinsten Anstieg besitzt. Dies ist näherungsweise bei $x \approx 4,3$ der Fall.
Die zugehörige momentane Änderungsrate entspricht dem Funktionswert an dieser Stelle und beträgt rund $4,7 \frac{\text{m}^3}{\text{s}}.$

Alternativ

Die stärkste Abnahme der momentanen Durchflussrate liegt an dem Zeitpunkt vor, der der Wendestelle mit negativen Anstieg entspricht:

$\(w$ gilt für $x_1 \approx 0,7$ und $x_2 \approx 4,3.$

$\(w$ $\(w$

Der gesuchte Zeitpunkt ist somit $4,3$ Sekunden nach Beginn. Die momentane Änderungsrate beträgt $w(4,3) \approx 4,7 \frac{\text{m}^3}{\text{s}}$ .

2.3.3

Die Aussage ist korrekt. Die Fläche zwischen dem Graphen von $w$ und der $x$ -Achse im Intervall $0 \leq x \leq 10$ entspricht der Menge an Wasser, die in diesem Zeitraum durchgeflossen ist.
Die mittlere Durchflussrate von $4 \frac{\text{m}^3}{\text{s}}$ kann durch die Gerade $y=4$ im Koordinatensystem veranschaulicht werden. Dabei erkennt man, dass die Flächen zwischen dieser Geraden ober- und unterhalb dem Graphen von $w$ im betrachteten Intervall annähernd gleich groß sind. Somit besitzt die rechteckige Fläche zwischen der Geraden $y=4$ und der $x$ -Achse in diesem Intervall den gleichen Inhalt wie die Fläche zwischen dem Graphen von $w$ und der $x$ -Achse.

2.3.4

Im Zeitraum von $0,7$ Sekunden nach Beobachtungsbeginn bis $1,4$ Sekunden nach Beobachtungsbeginn beschreibt die Tangente die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate mit einer maximalen relativen Abweichung von $5 \%.$

2.3.5

Für den rekonstruierten Bestand von $13 \text{m}^3$ in einem Zeitraum von $3$ Sekunden gilt:

$\displaystyle\int_x^{x+3} w(x)\,\mathrm d x=13$

Mit dem CAS folgen die Lösungen:

$x_1 \approx -1,2,$ $x_2 \approx 0,8$ und $x_3 \approx 4,4$

Die erste Lösung entfällt, da $x \geq 0.$ Die gesuchten Zeiträume sind somit $0,8\,\text{s}$ bis $3,8\,\text{s}$ sowie $4,4\,\text{s}$ bis $7,4 \,\text{s}.$

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?