Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)= \left(2+\dfrac{x}{2} \right) \cdot \left(1-\dfrac{x}{2} \right)^3$ .
Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.

1.1

Gib die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_f$ mit den Koordinatenachsen an.

(2 BE)

1.2

Begründe ohne weitere Rechnung, dass $G_f$ mindestens einen Hochpunkt hat.

(3 BE)

1.3

$W_1( 2\,|\, 0)$ ist ein Wendepunkt von $G_f$ .
Weise rechnerisch nach, dass auch $W_2 \left( -1 \, \,\bigg \vert \, \, \dfrac{81}{16} \right)$ ein Wendepunkt von $G_f$ ist und dass $G_f$ keine weiteren Wendepunkte hat.

(3 BE)

1.4

Die Gerade $g$ verläuft durch $W_1$ und $W_2$ .

1.4.1

Stelle $G_f$ für $-4 \leq x \leq 4$ in einem Koordinatensystem dar.
Zeichne $g$ in dieses Koordinatensystem ein und weise nach, dass $g$ durch die Gleichung $y=-\dfrac{27}{16}x + \dfrac{27}{8}$ dargestellt wird.

(4 BE)

1.4.2

$G_f$ und $g$ schließen drei Flächenstücke ein. Zeige, dass die Summe der Inhalte zweier dieser Flächenstücke ebenso groß ist wie der Inhalt des dritten.

(4 BE)

1.4.3

Ermittle rechnerisch die Anzahl der Geraden, die parallel zu $g$ sind und $G_f$ berühren.

(3 BE)

1.5

Im Längsschnitt eines Berghangs kann dessen Profillinie für $-5 \leq x \leq 4$ modellhaft durch den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x)= \dfrac{1}{4}\cdot f \left(\dfrac{1}{2}\cdot x\right)$ , d.h. $h(x)= \dfrac{1}{1024} \cdot (8+x)\cdot (4-x)^3$ , beschrieben werden.
Es soll davon ausgegangen werden, dass der Hang in Querrichtung nicht geneigt ist. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x$ -Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht 100 Metern in der Wirklichkeit.

1.5.1

Der Hochpunkt des Graphen von $h$ hat die $x$ -Koordinate -5.
Gib die zugehörige $y$ -Koordinate an und stelle die Profillinie des Hangs in einem Koordinatensystem grafisch dar.

(2 BE)

1.5.2

Beschreibe, wie der Graph von $h$ aus dem Graphen von $f$ erzeugt werden kann.

(2 BE)

1.5.3

Zeige rechnerisch, dass der Höhenunterschied zwischen dem höchsten und tiefsten Punkt des Hangs etwa 214 $\,\text{m}$ beträgt.
Ermittle das durchschnittliche Gefälle zwischen diesen beiden Punkten in Prozent.

(4 BE)

1.5.4

Der Hang wird als Skipiste genutzt. Der Tabelle kann der Zusammenhang zwischen dem Schwierigkeitsgrad von Skipisten und deren jeweiligem maximalen Gefälle entnommen werden:

Schwierigkeitsgrad	maximales Gefälle
leicht	bis 25 %
mittel	bis 40 %
schwer	mehr als 40 %

Ermittle den Schwierigkeitsgrad der hier betrachteten Piste.

(3 BE)

1.5.5

Am höchsten Punkt des Hangs steht ein Turm mit einer Höhe von 25 $\,\text{m}$ . Es gibt zwei Abschnitte des Hangs, in denen der Turm vom Boden aus zumindest teilweise sichtbar ist.
Ermittle die Lage des höher gelegenen der beiden Abschnitte.

(5 BE)

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1.1

Mit dem CAS lassen sich die Schnittpunkte mit den Achsen bestimmen.

Schnittpunkte mit der x-Achse
Mit dem Solve-Befehl des CAS ( $f(x) = 0$ nach $x$ lösen) lassen sich die Schnittstellen mit der x-Achse bestimmen. Damit folgen die Schnittpunkte $S_{x_1} (-4 \mid 0)$ und $S_{x_2} (2 \mid 0).$

Schnittpunkt mit der y-Achse
Aus $f(0) = 2$ folgt der Schnittpunkt $S_y (0 \mid 2)$ mit der y-Achse.

1.2

Die Funktion $f$ ist eine ganzrationale Funktion. Aus Aufgbabenteil $1.1$ ist bekannt, welche Nullstellen die Funktion hat. Es gilt $f(-4)=0, \, f(0)\gt 0$ und $f(2)=0$ . Daraus folgt, dass $G_f$ mindestens einen Hochpunkt für $-4\leq x\leq2$ hat.

1.3

1. Schritt: Erste und zweite Ableitung bilden
Mit dem CAS lassen sich die Ableitungen wie folgt bestimmen:

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$

$\( f$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Wendestellen

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem Satz des Nullprodukts folgt $x-2=0$ und daraus $x_1=2$ oder $x+1=0$ und daraus $x_2=-1.$ Es gibt also maximal zwei Wendepunkte. Aus den x-Koordinaten und dem gegebenen Wendepunkt folgt, dass sich $W_2$ an der Stelle $x_2=-1$ befinden muss.

3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen

$\( f$

4. Schritt: Einsetzen in die Funktion

$f(-1) = \dfrac{81}{16}$

Damit ist $W_2 \left(-1\mid \frac{81}{16}\right)$ ein Wendepunkt.

1.4

1.4.1

Grafik mit zwei Funktionen: einer grünen Geraden und einer grauen Kurve auf einem Koordinatensystem.

Um zu zeigen, dass $g$ durch die Gleichung $y = - \frac{27}{16} \cdot x + \frac{27}{8}$ beschrieben werden kann, reicht es zu überprüfen, ob die x- und y-Koordinaten von $W_1$ und $W_2$ die Gleichung erfüllen.

x-Koordinate von $W_1$ einsetzen

$- \dfrac{27}{16} \cdot 2 + \dfrac{27}{8} = -\dfrac{27}{8} +\dfrac{27}{8} = 0$

Das Ergebnis entspricht der y-Koordinate von $W_1$ .

x-Koordinate von $W_2$ einsetzen

$- \dfrac{27}{16} \cdot (-1) + \dfrac{27}{8} = \dfrac{27 + 2 \cdot 27}{16} = \dfrac{81}{16}$

Das Ergebnis entspricht der y-Koordinate von $W_2$

Damit erfüllen die x- und y-Koordinaten von $W_1$ und $W_2$ die gegebene Gleichung und $g$ kann durch diese beschrieben werden.

1.4.2

1. Schritt: Schnittstellen von Graph von $g$ und $G_f$ bestimmen
Durch Gleichsetzen von $g(x)$ und $f(x)$ lassen sich die Schnittstellen ermitteln.

$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& -\dfrac{27}{16}x+\dfrac{27}{8} \\[5pt] \left(2+\dfrac{x}{2}\right)\cdot\left(1-\dfrac{x}{2}\right)^3 &=& -\dfrac{27}{16}x+\dfrac{27}{8} \\[5pt] \end{array}$

Mit dem Solve-Befehl des CAS folgt:

$x_1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2} \cdot \sqrt5$

$x_2 = -1$

$x_3 = 2$

$x_4 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} \cdot \sqrt5$

2. Schritt: Integral berechnen
Mit dem CAS kann der Wert des folgenden Integrals berechnet werden.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

$\displaystyle\int_{\frac{1}{2} - \frac{3}{2} \cdot \sqrt5}^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot \sqrt5} \left(f(x) - (-\dfrac{27}{8} +\dfrac{27}{8}) \right)\;\mathrm dx = 0.$

Da das Integral Null ergibt, muss der Inhalt einer der drei Flächen, welche von $G_f$ und dem Graphen von $g$ eingeschlossen werden, genau dem Inhalt der beiden anderen Flächen entsprechen.

1.4.3

Geraden, die $G_f$ berühren sind Tangenten. Damit diese parallel zur Gerade $g$ sind, müssen sie dieselbe Steigung wie $g$ besitzen.

1. Schritt: $x$ -Koordinaten bestimmen, an denen $G_f$ dieselbe Steigung besitzt, wie der Graph von $g$
Mit dem CAS lässt sich die erste Ableitung von $f$ berechnen.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$

$\( f$

Nun gilt es die Stellen zu bestimmen, an denen $f(x)$ die Steigung $- \frac{27}{16}$ annimmt.

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem Solve-Befehl des CAS lassen sich folgende Stellen berechnen: $x_1 = \frac{1}{2},$ $x_2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot \sqrt{3}$ und $x_3 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{3}.$

Da es möglich ist, dass eine Tangente den Graphen an zwei dieser Stellen berührt, müssen die Tangenten explizit bestimmt werden.

2. Schritt: Berechnung der Tangenten
Mit dem dem tanLine-Befehl (CASIO ClassPad) bzw. tangentLine-Befehl (TI-Inspire) lassen sich die Tangenten an den jeweiligen Stellen bestimmen.

2.1 Schritt: Tangente an der Stelle $x_1 = \frac{1}{2}$

Die Tangentengleichung lautet $y_1(x)=-\frac{27}{16}x+1,793.$

2.2 Schritt: Tangente an der Stelle $x_2 = \frac{1}{2}+\frac{3}{2}\sqrt{3}$

Die Tangentengleichung lautet $y_2(x)=-\frac{27}{16}x+\frac{297}{64}.$

2.3 Schritt: Tangente an der Stelle $x_3 = \frac{1}{2}-\frac{3}{2}\sqrt{3}$

Die Tangentengleichung lautet $y_3(x)= y_2(x)=-\frac{27}{16}x+\frac{297}{64}.$

Es gibt damit genau zwei Geraden, welche parallel zu $g$ sind und $G_f$ berühren.

1.5.1

1. Schritt: $y$ -Koordinate angeben

$h(-5) = \dfrac{1}{1024}\cdot\left(8+\left(-5\right)\right)\cdot\left(4-\left(-5\right)\right)^3$ $= \dfrac{2187}{1024}$

Damit ist die $y$ -Koordinate $y=\frac{2187}{1024}$ .

2. Schritt: Profillinie grafisch darstellen

Graph einer Funktion mit der Bezeichnung

1.5.2

Um den Graphen $h$ zu erzeugen wird $G_f$ um den Faktor $\frac{1}{4}$ in $y$ -Richtung und um den Faktor $2$ in $x$ -Richtung gestreckt.

1.5.3

1. Schritt: Tiefste Stelle ermitteln
Der höchste Punkt ist bereits in Aufgaben $1.5.1$ in Form des Hochpunktes gegeben. Nun müssen noch die Koordinaten des tiefsten Punktes bestimmt werden.

Mit Hilfe des CAS lassen sich die beiden Ableitungen bestimmen.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$

Die Ableitungen sind:

$\(h$

Mit der notwendigen Bedingung für Extremstellen folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} h$

Mit dem Satz des Nullprodukts folgt $x_1 = -5$ und $x_2 = 4.$

Auf die Überprüfung der hinreichenden Bedingung kann verzichtet werden, da $x_1$ und $x_2$ auf den Rändern des Intervalls liegen. Somit muss die tiefste Stelle auch auf einem Rand des Intervalls liegen. Bei $x_1 = -5$ liegt ein Maximum und somit die höchste Stelle vor. Demnach muss bei $x_2 = 4$ die tiefste Stelle vorliegen.

2. Schritt: Höhenunterschied bestimmen
Der Höhenunterschied zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt ist:

$(h(-5)-h(4))\cdot100 \approx 214 \;[\text{m}]$

Rechenweg anzeigen

3. Schritt: Gefälle zwischen den beiden Punkten ermitteln
Um das Gefälle zu bestimmen, wird das Steigungsdreieck gebildet.

$\dfrac{h(-5) - h(4)}{9} \approx 0,24$

Das Gefälle beträgt damit etwa $24 \;\%.$

1.5.4

Die Stelle, an der das Gefälle maximal ist, entspricht gerade der Stelle, an der die Steigung von $h$ minimal ist. Mit dem CAS lässt sich das tiefste Punkt von $\(h$ im gegebenen Intervall bestimmen.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

$\(\text{fMin(h$

$x_{\text{min}} = -2$

Der zugehörige Funktionswert lässt sich ebenfalls mit dem CAS berechnen:

$\(\begin{array}[t]{lll} h$

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

$\(\text{fMin(h$

$\(\begin{array}[t]{rll} h$

Da das maximale Gefälle etwa $42 \; \%$ beträgt handelt es sich um eine schwere Piste.

1.5.5

Da der $25 \; \text{m}$ hohe Turm an der höchsten Stelle des Hangs steht, lauten die Koordinaten der Spitze $S(-5 \mid h(-5) + 0,25).$ Die Abbildung zeigt die Spitze $S$ , den Graphen von $h(x)$ und die Sichtlinie $i(x),$ welche durch $S$ verläuft.

Grafische Darstellung einer Funktion mit zwei Kurven und Achsenbeschriftungen.

Es liegt nahe, dass das gesuchte Intervall bei $x_1 = -5$ beginnt. Die rechte Grenze $x_2$ ist dann die Stelle, an der die Spitze des Turms gerade noch so zu sehen ist. Das ist genau dann der Fall, wenn $i(x)$ zum ersten Mal eine Tangente von $h(x)$ beschreibt. Für $i(x)$ gilt:

$i(x) = m \cdot x + b$

Durch Einsetzen der Koordianten von $S$ lässt sich $b$ berechnen.

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$b = 5 \cdot m + h(-5) + 0,25$

Damit folgt für $i(x):$

$i(x)=m \cdot x + 5 \cdot m + h(-5) + 0,25$ $= m \cdot x + 5 \cdot m + \dfrac{2443}{1024}$ $= m\cdot(x+5)+\dfrac{2443}{1024}$

Ist nun $i(x)$ eine Tangente von $h(x),$ muss gelten:

Gleichungssystem anzeigen

Mit dem CAS lässt sich das Gleichungssystem wie folgt lösen:

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 3: Algebra $\to$ 7

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math1 $\to$ $\{^{\Box}_{\Box}$

Die kleinste Lösung im Intervall $[-5,4]$ lautet: $x_2 \approx - 3,3$ .
Damit ist der gesuchte Abschnitt, in dem der Turm zumindest teilweise sichtbar ist, $-5\leq x \leq -3,3$ .

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