Wahlteil A3

Betrachtet werden die Funktionen $f_k$ und $h_k$ mit den Gleichungen $f_k(x)=\dfrac{k}{x^2}$ und $h_k(x)=- \dfrac{2k}{x^3}$ mit $x,k\in\mathbb{R},x\neq 0, k\gt 0$ .

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3.1

Untersuche, ob die Wertebereiche der Funktionen $f_{18}$ und $h_{18}$ gleich sind.

(2 BE)

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3.2

Für jedes $k$ schneiden sich die Graphen von $f_k$ und $h_k$ in einem Punkt.
Bestimme die Koordinaten dieses Schnittpunktes in Abhängigkeit von $k$ .
Berechne die Differenz der Funktionswerte von $f_{18}$ und $h_{18}$ an der Stelle $-3$ . Stelle die Graphen von $f_{18}$ und $h_{18}$ im Intervall $-6 \leq x \leq -\dfrac{3}{2}$ in einem gemeinsamen Koordinatensytem dar.

(7 BE)

$\,$

3.3

Es gibt eine Stelle $t$ , an der die Tangenten an die Graphen von $f_{18}$ und $h_{18}$ parallel zueinander verlaufen.
Berechne diese Stelle $t$ und zeichne die Tangenten in das bestehende Koordinatensystem.

(5 BE)

$\,$

3.4

Für einen positiven Wert von $\text u$ ist der Abstand der Punkte $( \text u \mid h_{18}(\text u))$ und $(- \text u \mid h_{18}(- \text u))$ minimal.
Berechne diesen Wert von $\text u$ .

(5 BE)

$\,$

3.5

Weise mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung nach, dass gilt: $\displaystyle\int_{a}^{x}h_k(w)\;\mathrm dw =f_k(x)-f_k(a)$ , $(a\lt x \lt 0)$

(3 BE)

$\,$

3.6

Der Glühfaden einer Glühlampe wird als punktförmige Strahlungsquelle betrachtet, die ihre Energie gleichmäßig in alle Richtungen abgibt.
Die im Abstand $r$ zum Glühfaden der Lampe auf einer Fläche von einem Quadratzentimeter ankommende Leistung $P$ wurde gemessen und in einer nachfolgenden Tabelle protokolliert.

Abstand $r$ in $cm$	Leistung $P$ in $W$
$5$	$0,1910$
$10$	$0,0477$
$15$	$0,0212$
$30$	$0,0053$

$\,$

3.6.1

Weise nach, dass gilt: $P\sim\dfrac{1}{r^2}$

(3 BE)

$\,$

3.6.2

Bestimme die auf einer Fläche von einem Quadratzentimeter zu erwartende Leistung $P$ in einem Abstand von $20 \,\text{cm}$ zum Glühfaden.

(2 BE)

$\,$

3.7

Bei der Herstellung von Glühlampen einer bestimmten Sorte muss fortwährend auf die Einhaltung der Qualität geachtet werden. Dazu werden aus der Menge aller in einer Stunde hergestellten Glühlampen zufällig $25$ entnommen und überprüft. Die Zufallsvariable $X$ beschreibt hierbei die Anzahl fehlerhafter Glühlampen.

$\,$

3.7.1

Beschreibe, unter welchen Bedingungen $X$ als binomialverteilt angenommen werden kann.

(2 BE)

$\,$

3.7.2

Die Zufallsvariable X wird als binomialverteilt mit $p=3,3 \,\%$ angenommen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den entnommenen Glühlampen höchstens zwei fehlerhaft sind.

(2 BE)

$\,$

3.7.3

Die Bedingungen im Produktionsprozess haben sich verbessert. Unter $25$ geprüften Glühlampen befindet sich jetzt mit einer Wahrscheinlichkeit von rund $86 \,\%$ höchstens eine defekte Lampe.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine produzierte Glühlampe defekt ist. Runde die Prozentangabe auf eine Dezimale.

(4 BE)

3.1

$f_{18}(x)\gt 0$ für alle $x\in \mathbb{R}.$
$h_{18}(x)$ kann allerdings sowohl positive als auch negative Funktionswerte annehmen. Die Wertebereiche der Funktionen $f_{18}$ und $h_{18}$ sind also nicht gleich.

3.2

Schnittpunkt

$\begin{array}[t]{rll} f_k(x) &=& h_k(x) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x &=& -2 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f_k(-2)&=& \frac{k}{(-2)^2} \\[5pt] &=& \frac{k}{4} \end{array}$

Die Koordinaten des Schnittpunkts lauten also $S\left(-2\mid \frac{k}{4}\right).$

Differenz

$f_{18}(-3) - h_{18}(-3)=\frac{2}{3}$

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Grafik eines mathematischen Diagramms mit einer Kurve im Koordinatensystem.

Abb. 1

3.3

$\begin{array}[t]{rll} f_{18}(x) &=& 18\cdot x^{-2} \\[10pt] f_{18}‘(x) &=& 18\cdot (-2)\cdot x^{-3} \\[5pt] &=& -\frac{36}{x^3} \\[10pt] h_{18}(x) &=& -36\cdot x^{-3} \\[10pt] h_{18}‘(x) &=& -36\cdot (-3)\cdot x^{-4} \\[5pt] &=& \frac{108}{x^4} \\[10pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f_{18}‘(x) &=& h_{18}‘(x) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x &=& -3 \end{array}$

Die gesuchte Stelle ist $t=-3.$

Graph mit einer Kurve und zwei grünen Linien auf einem Gitterhintergrund.

Abb. 2

3.4

$d(u)=\sqrt{4u^2 +\frac{72^2}{u^6}}$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen folgt:

$\begin{array}[t]{rll} d‘(u) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] u &\approx& 2,81 \end{array}$

Für das hinreichende Kriterium folgt ebenfalls mit dem CAS $d‘‘(2,81) \gt 0.$

Für $u\approx 2,81$ ist der Abstand der beiden Punkte minimal.

3.5

Es gilt $f_k‘(x) = -\frac{2k}{x^3} = h_k(x).$

$f_k$ ist demnach eine Stammfunktion von $h_k:$ $H_k(x)=f_k(x).$ Mit dem Hauptsatz der Differntial- und Integralrechnung folgt dann:

$\displaystyle\int_{a}^{x}h_k(w)\;\mathrm dw = f_k(x) -f_k(a)$

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3.6.1

Damit $P\sim \frac{1}{r^2}$ gilt, muss es einen Faktor $m$ geben, sodass für die Wertepaare $(r\mid P)$ gilt $P(r)\approx m\cdot\frac{1}{r^2}.$
Für die Wertepaare aus der Tabelle ergibt sich jeweils:

$\begin{array}[t]{rll} 4,775 &=& m_1 \\[10pt] 4,77 &=& m_2 \\[10pt] 4,77 &=& m_3 \\[10pt] 4,77 &=& m_4 \\[10pt] \end{array}$

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Für alle Wertepaare ergibt sich also in etwa der gleiche Faktor $m\approx 4,77.$ $P$ und $\frac{1}{r^2}$ sind also proportional zueinander.

3.6.2

$P \approx 4,77 \cdot \frac{1}{r^2} = 4,77\cdot \frac{1}{20^2} \approx 0,0119$

Bei einem Abstand von $20\,\text{cm}$ zum Glühfaden beträgt die zu erwartende Leistung auf einer Fläche von einem Quadratzentimeter ca. $0,0119\,\text{W}.$

3.7.1

Die Glühlampen müssen zufällig und unabhängig voneinander entnommen und überprüft werden.
Jede Glühlampe muss mit gleicher Wahrscheinlichkeit fehlerhaft sein, unabhängig von den übrigen Glühlampen.

3.7.2

$X$ wird als binomialverteilt mit $p=0,033$ und $n=25$ angenommen. Mit dem CAS ergibt sich:

$P(X\leq 2) \approx 0,9519 = 95,19\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $95,19\,\%$ sind unter den entnommenen Glühlampen höchstens zwei fehlerhaft.

3.7.3

Betrachtet wird nun die Zufallsgröße $Y_p,$ die die zufällige Anzahl defekter Glühlampen in einer Stichprobe von $25$ Glühlampen beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=25$ und unbekanntem $p$ betrachtet werden.
$p$ soll so bestimmt werden, dass folgendes gilt:

$P(Y_p \leq 1) \approx 0,86$

Mit deinem CAS erhältst du durch Ausprobieren beispielsweise folgende Werte:

$\begin{array}[t]{rll} p = 0,025:\, & P(Y_p \leq 1)&\approx& 0,87 \\[5pt] p = 0,026:\, & P(Y_p\leq 1) &\approx& 0,86 \\[5pt] p= 0,027:\, & P(Y_p\leq 1) &\approx& 0,85 \end{array}$

Eine Glühlampe ist nun also nurnoch mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $2,5\,\%$ defekt.