Lerninhalte in Mathe

Abi-Aufgaben GK (WTR)

Abi-Aufgaben GK (CAS)

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Wahlteil A2

A2 Analytische Geometrie

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(5\mid -2\mid -2)$ , $B(3\mid 4\mid -1)$ und $C(-3\mid 1\mid 1)$ .

2.1

Ermittle eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ , in der die Punkte $A$ , $B$ und $C$ liegen.
Berechne die Koordinaten des Durchstoßpunktes der $z$ -Achse durch $E$ .
Weise nach, dass der Punkt $D$ mit den Koordinaten $D(2\mid -3,5\mid -1)$ in $E$ liegt.

2.2

Die Punkte $A$ , $B$ , $C$ und $D$ bilden die Grundfläche einer Pyramide $ABCDS$ mit der Spitze $S(3\mid -6\mid 7)$ .

2.2.1

Untersuche, ob $ABCD$ ein Parallelogramm ist.

2.2.2

Stelle die Pyramide grafisch dar.

2.2.3

Bestimme rechnerisch die Höhe $h$ der Pyramide und die Größe des Winkels, der von den Seitenkanten $AS$ und $BS$ eingeschlossen wird.

2.2.4

Berechne das Volumen der Pyramide.

2.3

Gegeben sind weiterhin die Punkte $P_k(-3\mid 1\mid k)$ mit $k \in \mathbb{R}$ .

2.3.1

Bestimme den Wert von $k$ so, dass die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AP}_k$ orthogonal sind.

2.3.2

Berechne für jedes der Dreiecke $ABP_k$ den Flächeninhalt in Abhängigkeit von $k$ .

Für einen Wert von $k$ ist dieser Flächeninhalt minimal. Berechne für diesen Wert den Flächeninnhalt.

2.3.3

Bestimme alle Werte von $k$ , für die die folgende Aussage gilt:
Der Punkt $H(1\mid 4\mid 5)$ liegt in der jeweiligen Ebene $ABP_k$ .

A2 Analytische Geometrie

2.1

$\blacktriangleright$ Koordinatengleichung ermitteln

Gegeben sind dir die Koordinaten dreier Punkte:

$A(5\mid -2\mid -2)$
$B(3\mid 4\mid -1)$
$C(-3\mid 1\mid 1)$

Du sollst eine Koordinatengleichung der Ebene ermitteln, in der diese liegen. Eine solche Ebenengleichung hat folgende Form:

$E: \quad n_1x +n_2y +n_3z = d$

Dabei ist $\overrightarrow{n} = \pmatrix{n_1\\n_2\\n_3}$ ein Normalenvektor der Ebene.

Du kannst wie folgt vorgehen:

Bestimme einen Normalenvektor der Ebene mit dem Kreuzprodukt zweier Vektoren, die in der Ebene liegen. Verwende zwei Verbindungsvektoren der drei Punkte, die in der Ebene liegen sollen.
Den Parameter $d$ kannst du dann bestimmen, indem du die Koordinaten eines Punkts in die Ebenengleichung einsetzt.

1. Schritt: Normalenvektor bestimmen

Bestimme zunächst zwei Verbindungsvektoren der drei Punkte $A$ , $B$ und $C$ . Verwende zum Beispiel $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{-2\\6\\1}$
$\overrightarrow{BC} = \pmatrix{-6\\-3\\2}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Das Kreuzprodukt kannst du entweder mit der Formel oder mit dem crossP-Befehl deines CAS berechnen.

$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \pmatrix{a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1}$

$\overrightarrow{AB} \times\overrightarrow{BC} = \pmatrix{15\\-2\\42}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Screenshot einer mathematischen Berechnung auf einem Taschenrechner mit Vektoren und Ergebnissen.

Abb. 1: Kreuzprodukt

2. Schritt: Parameter $\boldsymbol{d}$ berechnen

Setze die Einträge des Normalenvektors gemeinsam mit den Koordinaten eines Punktes, beispielsweise $A$ , in die Ebenengleichung ein:

$d = -5$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Damit lautet eine Koordinatengleichung von $E$ wie folgt:

$E:\quad 15x -2y +42z = -5$

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Durchstoßpunktes berechnen

Du sollst die Koordinaten des Punkts berechnen, in dem die $z$ -Achse die Ebene $E$ durchstößt. Du kennst bereits eine Koordinatengleichung von $E$ . Alle Punkte auf der $z$ -Achse haben die Koordinaten $x=y=0$ und $z=z$ . Gesucht ist also die $z$ -Koordinate des Punktes in $E$ , für den $x=y=0$ gilt. Setze diese Koordinaten also in die Ebenengleichung ein und löse nach $z$ auf.

$z = - \dfrac{5}{42}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Der Durchstoßpunkt der $z$ -Achse durch $E$ hat die Koordinaten $P\left(0\,\big \vert \, 0\,\big \vert \, -\dfrac{5}{42}\right)$

$\blacktriangleright$ Nachweisen, dass $\boldsymbol{D}$ in der Ebene liegt

Du sollst nachweisen, dass der Punkt $D(2\mid -3,5\mid -1)$ in der Ebene $E$ liegt. Führe also eine Punktprobe durch, indem du die Koordinaten von $D$ in die Koordinatengleichung von $E$ einsetzt.

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Lösung anzeigen

Die Koordinaten von $D$ erfüllen die Koordinatengleichung von $E$ . Damit liegt $D$ in der Ebene $E$ .

2.2.1

$\blacktriangleright$ Untersuchen, ob es sich um ein Parallelogramm handelt

Du sollst untersuchen, ob es sich bei $ABCD$ um ein Parallelogramm handelt. In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten parallel. Du weißt nicht, wie die Ecken des Vierecks angeordnet sind. Bilde also mögliche Seitenpaare und überprüfe diese mit Hilfe der Verbindungsvektoren auf Parallelität. Zwei Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ sind parallel, wenn es einen Faktor $t$ gibt mit:

$\overrightarrow{a} = t\cdot \overrightarrow{b}$

Für das Viereck gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten:

Die Eckpunkte $A$ und $B$ liegen nebeneinander. In dem Fall liegt der Seite $AB$ die Seite $CD$ gegenüber.
Die Eckpunkte $A$ und $B$ liegen sich gegenüber. In dem Fall liegt die Seite $AC$ der Seite $BD$ gegenüber.

Überprüfe für die beiden Fälle zuerst, ob das jeweils angegebene Seitenpaar parallel ist.

$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{-2\\6\\1}$
$\overrightarrow{CD} = \pmatrix{5\\-4,5\\-2}$

Die beiden Seiten $AB$ und $CD$ sind nicht parallel. Mit dieser Anordnung kann es sich also nicht um ein Parallelogramm handeln. Überprüfe den zweiten Fall:

$\overrightarrow{AC} = \pmatrix{-8\\3\\3}$
$\overrightarrow{BD} = \pmatrix{-1\\-7,5\\0}$
Die Seiten $AC$ und $BD$ sind ebenfalls nicht parallel. Auch in diesem Fall handelt es sich also nicht um ein Parallelogramm. Damit sind alle Möglichkeiten abgedeckt, sodass es sich bei $ABCD$ nicht um ein Parallelogramm handeln kann.

2.2.2

$\blacktriangleright$ Pyramide grafisch darstellen

Stelle die Pyramide zum Beispiel mit Hilfe eines Koordinatensystems grafisch dar. Trage dazu zunächst die Eckpunkte in das Koordinatensystem ein und ergänze anschließend die Kanten.

Geometrisches Diagramm mit einem grünen 3D-Körper auf einem Koordinatensystem.

Abb. 2: Pyramide

2.2.3

$\blacktriangleright$ Höhe der Pyramide bestimmen

Die Höhe $h$ der Pyramide ist der Abstand der Spitze zur Grundfläche. Du hast bereits nachgewiesen, dass alle vier Eckpunkte der Grundfläche $A$ , $B$ , $C$ und $D$ in der Ebene $E$ liegen. Berechne also den Abstand des Punkts $S$ zur Ebene $E$ . Dazu kannst du die Hessesche Normalenform der Ebenengleichung nutzen. Diese kannst du aus der Koordinatengleichung ableiten:

$E: \quad$ $\dfrac{n_1x+n_2y+n_3z - d}{ \left| \overrightarrow{n}\right|}$ $= 0$

Den Abstand eines Punktes zur Ebene kannst du dann berechnen, indem du die Koordinaten des Punktes in die linke Seite der Hesseschen Normalengleichung einsetzt:

$d(P,E)$ $=$ $\left|\dfrac{n_1p_1+n_2p_2+n_3p_3 - d}{ \left| \overrightarrow{n}\right|} \right|$

Forme also zuerst die Koordinatengleichung in die Hessesche Normalengleichung um. Dazu benötigst du den Betrag des Normalenvektors $\left|\overrightarrow{n} \right|$ .

$\left|\overrightarrow{n} \right| = \sqrt{1.993}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Die Hessesche Normalengleichung von $E$ lautet dann:

$E: \,$ $\frac{15x -2y +42z + 5}{\sqrt{1.993}} = 0$

Setze nun die Koordinaten von $S$ in die linke Seite ein:

$d(S,E)$ $=\frac{356}{\sqrt{1.993}}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Die Höhe $h$ der Pyramide beträgt $\dfrac{356}{\sqrt{1.993}} \approx 7,98\,\text{[LE]}$

$\blacktriangleright$ Größe des Winkels bestimmen

Gesucht ist der Winkel, der von den Seitenkanten $AS$ und $BS$ eingeschlossen wird. Dies ist der Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Vektoren $\overrightarrow{AS}$ und $\overrightarrow{BS}$ . Diesen kannst du mit folgender Formel berechnen:

$\cos\left( \alpha\right) = \dfrac{\left|\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\right|}{\left| \overrightarrow{a}\right|\cdot \left| \overrightarrow{b}\right|}$

Bilde also die beiden Verbindungsvektoren und setze sie in die Formel ein.

$\overrightarrow{AS} = \pmatrix{-2\\-4\\9} \quad$ $\overrightarrow{BS} = \pmatrix{0\\-10\\8}$

$\alpha \approx 29,51^{\circ}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Die Seitenkanten $AS$ und $BS$ schließen den Winkel $\alpha$ mit einer ungefähren Größe von $29,51^{\circ}$ ein.

2.2.4

$\blacktriangleright$ Volumen der Pyramide berechnen

Das Volumen einer Pyramide kannst du mit folgender Formel berechnen:

$V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$

Dafür benötigst du die Größe der Grundfläche $G$ , also den Flächeninhalt des Vierecks $ABCD$ . Da das Viereck kein Parallelogramm ist, kannst du es zur Berechnung des Flächeninhalts in zwei Dreiecke $ABC$ und $ACD$ .

Den Flächeninhalts eines von zwei Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ aufgespannten Dreiecks kannst du wie folgt berechnen:

$A = \frac{1}{2} \cdot \left| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \right|$

Berechne also die Flächeninhalte der beiden Dreiecke mit Hilfe zweier Verbindungsvektoren der Eckpunkte und der Formel.

$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{-2\\6\\1}\quad$ $\overrightarrow{BC} = \pmatrix{6\\3\\-2}$

$\begin{array}[t]{rll} A_{ABC}&=& \frac{1}{2}\cdot \left| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}\right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{-16\\10\\30}\right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{1256} \\[5pt] \end{array}$

$\overrightarrow{AD} = \pmatrix{-3\\-1,5\\1}\quad$ $\overrightarrow{DC} = \pmatrix{-5\\4,5\\2}$

$A_{ACD} = \frac{1}{4}\cdot \sqrt{1.993}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Damit ergibt sich der Flächeninhalt der Grundfläche:

$G = 28,87$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Nun kannst du das gesuchte Volumen berechnen:

$V = 76,74 \,\text{[VE]}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Grünes Icon mit Lupe, symbolisiert Suche oder Forschung.

V&=& \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \\[5pt] &=&\frac{1}{3} \cdot 28,87 \cdot \frac{356}{\sqrt{1.993}} \\[5pt] &=& 76,74 \,\text{[VE]} \end{array} $</div> </div> </div> </div> <div style="clear:both"></div> <div style="margin-bottom:25px;"></div> Das Volumen der Pyramide$ ABCDS $beträgt$ 76,74 \,\text{VE}$.

2.3.1

$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{k}$ bestimmen

Die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AP}_k$ sollen orthogonal sein. Dies ist der Fall, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt. Berechne also das Skalarprodukt in Abhängigkeit von $k$ und setze mit Null gleich.

$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{-2\\6\\1}$ , $\overrightarrow{AP}_k = \pmatrix{-8\\3\\k+2}$

$k = -36$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Für $k=36$ sind die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AP}_k$ orthogonal.

2.3.2

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt der Dreiecke berechnen

Du sollst den Flächeninhalt der Dreiecke $ABP_k$ in Abhängigkeit von $k$ bestimmen. Verwende dazu die Formel aus Aufgabenteil 2.2.4. Mit den Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AP}_k$ erhältst du folgendes Ergebnis:

$A_{ABP_k} = \frac{1}{2} \cdot ...$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Der Flächeninhalt der Dreiecke $ABP_k$ lässt sich in Abhängigkeit von $k$ wie folgt dastellen:

$A_{ABP_k} = \frac{1}{2} \cdot ...$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

$\blacktriangleright$ Minimalen Flächeninhalt berechnen

Du hast den Flächeninhalt des Dreiecks $ABP_k$ in Abhängigkeit von $k$ bereits berechnet. Damit hast du eine Funktion $A(k)$ , die den Flächeninhalt in Abhängigkeit von $k$ beschreibt.

Gesucht ist nun der minimale Flächeninhalt, also das Minimum dieser Funktion $A$ .

Für eine Minimalstelle $x_M$ einer Funktion $f$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:

Notwendiges Kriterium: $\, f‘(x_E)=0$
Hinreichendes Kriterium: Ist $f‘‘(x_M)\gt 0$ , handelt es sich um eine Minimalstelle.

Du kannst also wie folgt vorgehen:

Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $A‘$ und $A‘‘$ .
Wende das notwendige Kriterium an, indem du $A‘(k)=0$ setzt und nach $k$ löst.
Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $A‘‘(k)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
Berechne die Funktionswerte von $A$ an der Minimalstelle. Dies ist dann der gesuchte minimale Flächeninhalt.

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen

Du kannst dein CAS nutzen. Definiere dazu zunächst die Funktion $A$ und anschließend die ersten beiden Ableitungen. Den Befehl für eine Ableitung findest du unter

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

Mathematische Formeln und Ableitungen auf einem Bildschirm dargestellt.

Abb. 3: Ableitungen definieren

2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Durch Gleichsetzen von $A‘(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen. Die Gleichung kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS lösen.

$k_1 = - \dfrac{23}{20}$

Mathematische Gleichungen und Berechnungen auf einem Bildschirm, einschließlich Ableitungen und Lösungen.

Abb. 4: Notwendiges Kriterium

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

Überprüfe nun mit dem hinreichenden Kriterium, ob es sich tatsächlich um ein Minimum handelt. Berechne dazu $A‘‘(k_1)$ mit deinem CAS:

$A‘‘(k_1)$ $= \frac{20\cdot \sqrt{280.910}}{28.091} \gt 0$

Es handelt sich also tatsächlich um eine Minimalstelle.

Mathematische Gleichungen und Berechnungen auf einem Bildschirm.

Abb. 5: Hinreichendes Kriterium

4. Schritt: Funktionswerte berechnen

Berechne nun noch den Funktionswert $A(k_1)$ , also den gesuchten Flächeninhalt:

$\begin{array}[t]{rll} A(k_1)&=& A\left(- \dfrac{23}{20}\right) \\[5pt] &=&\dfrac{\sqrt{280.910}}{20} \\[5pt] &\approx&26,5\\[5pt] \end{array}$

Das Dreieck $ABP_k$ mit dem kleinsten Flächeninhalt hat einen Flächeninhalt von $\dfrac{\sqrt{280.910}}{20} \approx 26,5 \,\text{[FE]}$ .

2.3.3

$\blacktriangleright$ Werte von $\boldsymbol{k}$ bestimmen

Gesucht sind die Werte von $k$ , für die der Punkt $H(1\mid 4\mid 5)$ in der jeweiligen Ebene $ABP_k$ liegt. Die Ebenen $ABP_k$ bilden eine Ebenenschar. Beschreibe diese Ebene mit einer Koordinatengleichung in Abhängigkeit von $k$ . Du kannst dort dann die Koordinaten von $H$ einsetzen. So erhältst du eine Gleichung, die du nach $k$ lösen kannst.

Die Koordinatengleichung kannst du wie in Aufgabe 2.1 ermitteln. Berechne den Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt von $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AP}_k$ :

$\overrightarrow{n}_k = \pmatrix{6k+9\\-4+2k\\42}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Setze diesen zusammen mit den Koordinaten von $A$ in die allgemeine Form der Koordinatengleichung ein, um den Parameter $d$ zu berechnen:

$d = 26k -31$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Die Koordinatengleichung lautet also:

$ABP_k: \, (6k+9)x + ...$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Setze nun die Koordinaten von $H$ ein und löse nach $k$ auf:

$k = 19,5$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Für $k=19,5$ liegt der Punkt $H(1\mid 4\mid 5)$ in der Ebene $ABP_k$ . Dies ist der einzige Wert von $k$ , für den diese Aussage gilt.

Bildnachweise [nach oben]

[1]-[5]

© 2017 - SchulLV.

A2 Analytische Geometrie

2.1

$\blacktriangleright$ Koordinatengleichung ermitteln

Gegeben sind dir die Koordinaten dreier Punkte:

$A(5\mid -2\mid -2)$
$B(3\mid 4\mid -1)$
$C(-3\mid 1\mid 1)$

Du sollst eine Koordinatengleichung der Ebene ermitteln, in der diese liegen. Eine solche Ebenengleichung hat folgende Form:

$E: \quad n_1x +n_2y +n_3z = d$

Dabei ist $\overrightarrow{n} = \pmatrix{n_1\\n_2\\n_3}$ ein Normalenvektor der Ebene.

Du kannst wie folgt vorgehen:

Bestimme einen Normalenvektor der Ebene mit dem Kreuzprodukt zweier Vektoren, die in der Ebene liegen. Verwende zwei Verbindungsvektoren der drei Punkte, die in der Ebene liegen sollen.
Den Parameter $d$ kannst du dann bestimmen, indem du die Koordinaten eines Punkts in die Ebenengleichung einsetzt.

1. Schritt: Normalenvektor bestimmen

Bestimme zunächst zwei Verbindungsvektoren der drei Punkte $A$ , $B$ und $C$ . Verwende zum Beispiel $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{-2\\6\\1}$
$\overrightarrow{BC} = \pmatrix{-6\\-3\\2}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Das Kreuzprodukt kannst du entweder mit der Formel oder mit dem crossP-Befehl deines CAS berechnen.

$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \pmatrix{a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1}$

$\overrightarrow{AB} \times\overrightarrow{BC} = \pmatrix{15\\-2\\42}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Mathematische Berechnung mit Vektoren und Kreuzprodukt in einem interaktiven Programm.

Abb. 1: Kreuzprodukt

2. Schritt: Parameter $\boldsymbol{d}$ berechnen

Setze die Einträge des Normalenvektors gemeinsam mit den Koordinaten eines Punktes, beispielsweise $A$ , in die Ebenengleichung ein:

$d = -5$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Damit lautet eine Koordinatengleichung von $E$ wie folgt:

$E:\quad 15x -2y +42z = -5$

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Durchstoßpunktes berechnen

Du sollst die Koordinaten des Punkts berechnen, in dem die $z$ -Achse die Ebene $E$ durchstößt. Du kennst bereits eine Koordinatengleichung von $E$ . Alle Punkte auf der $z$ -Achse haben die Koordinaten $x=y=0$ und $z=z$ . Gesucht ist also die $z$ -Koordinate des Punktes in $E$ , für den $x=y=0$ gilt. Setze diese Koordinaten also in die Ebenengleichung ein und löse nach $z$ auf.

$z = - \dfrac{5}{42}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Der Durchstoßpunkt der $z$ -Achse durch $E$ hat die Koordinaten $P\left(0\,\big \vert \, 0\,\big \vert \, -\dfrac{5}{42}\right)$

$\blacktriangleright$ Nachweisen, dass $\boldsymbol{D}$ in der Ebene liegt

Du sollst nachweisen, dass der Punkt $D(2\mid -3,5\mid -1)$ in der Ebene $E$ liegt. Führe also eine Punktprobe durch, indem du die Koordinaten von $D$ in die Koordinatengleichung von $E$ einsetzt.

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Lösung anzeigen

Die Koordinaten von $D$ erfüllen die Koordinatengleichung von $E$ . Damit liegt $D$ in der Ebene $E$ .

2.2.1

$\blacktriangleright$ Untersuchen, ob es sich um ein Parallelogramm handelt

Du sollst untersuchen, ob es sich bei $ABCD$ um ein Parallelogramm handelt. In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten parallel. Du weißt nicht, wie die Ecken des Vierecks angeordnet sind. Bilde also mögliche Seitenpaare und überprüfe diese mit Hilfe der Verbindungsvektoren auf Parallelität. Zwei Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ sind parallel, wenn es einen Faktor $t$ gibt mit:

$\overrightarrow{a} = t\cdot \overrightarrow{b}$

Für das Viereck gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten:

Die Eckpunkte $A$ und $B$ liegen nebeneinander. In dem Fall liegt der Seite $AB$ die Seite $CD$ gegenüber.
Die Eckpunkte $A$ und $B$ liegen sich gegenüber. In dem Fall liegt die Seite $AC$ der Seite $BD$ gegenüber.

Überprüfe für die beiden Fälle zuerst, ob das jeweils angegebene Seitenpaar parallel ist.

$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{-2\\6\\1}$
$\overrightarrow{CD} = \pmatrix{5\\-4,5\\-2}$

Die beiden Seiten $AB$ und $CD$ sind nicht parallel. Mit dieser Anordnung kann es sich also nicht um ein Parallelogramm handeln. Überprüfe den zweiten Fall:

$\overrightarrow{AC} = \pmatrix{-8\\3\\3}$
$\overrightarrow{BD} = \pmatrix{-1\\-7,5\\0}$
Die Seiten $AC$ und $BD$ sind ebenfalls nicht parallel. Auch in diesem Fall handelt es sich also nicht um ein Parallelogramm. Damit sind alle Möglichkeiten abgedeckt, sodass es sich bei $ABCD$ nicht um ein Parallelogramm handeln kann.

2.2.2

$\blacktriangleright$ Pyramide grafisch darstellen

Stelle die Pyramide zum Beispiel mit Hilfe eines Koordinatensystems grafisch dar. Trage dazu zunächst die Eckpunkte in das Koordinatensystem ein und ergänze anschließend die Kanten.

Geometrisches Diagramm mit einem grünen 3D-Körper auf einem Koordinatensystem.

Abb. 2: Pyramide

2.2.3

$\blacktriangleright$ Höhe der Pyramide bestimmen

Die Höhe $h$ der Pyramide ist der Abstand der Spitze zur Grundfläche. Du hast bereits nachgewiesen, dass alle vier Eckpunkte der Grundfläche $A$ , $B$ , $C$ und $D$ in der Ebene $E$ liegen. Berechne also den Abstand des Punkts $S$ zur Ebene $E$ . Dazu kannst du die Hessesche Normalenform der Ebenengleichung nutzen. Diese kannst du aus der Koordinatengleichung ableiten:

$E: \quad$ $\dfrac{n_1x+n_2y+n_3z - d}{ \left| \overrightarrow{n}\right|}$ $= 0$

Den Abstand eines Punktes zur Ebene kannst du dann berechnen, indem du die Koordinaten des Punktes in die linke Seite der Hesseschen Normalengleichung einsetzt:

$d(P,E)$ $=$ $\left|\dfrac{n_1p_1+n_2p_2+n_3p_3 - d}{ \left| \overrightarrow{n}\right|} \right|$

Forme also zuerst die Koordinatengleichung in die Hessesche Normalengleichung um. Dazu benötigst du den Betrag des Normalenvektors $\left|\overrightarrow{n} \right|$ .

$\left|\overrightarrow{n} \right| = \sqrt{1.993}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Die Hessesche Normalengleichung von $E$ lautet dann:

$E: \,$ $\frac{15x -2y +42z + 5}{\sqrt{1.993}} = 0$

Setze nun die Koordinaten von $S$ in die linke Seite ein:

$d(S,E)$ $=\frac{356}{\sqrt{1.993}}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Die Höhe $h$ der Pyramide beträgt $\dfrac{356}{\sqrt{1.993}} \approx 7,98\,\text{[LE]}$

$\blacktriangleright$ Größe des Winkels bestimmen

Gesucht ist der Winkel, der von den Seitenkanten $AS$ und $BS$ eingeschlossen wird. Dies ist der Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Vektoren $\overrightarrow{AS}$ und $\overrightarrow{BS}$ . Diesen kannst du mit folgender Formel berechnen:

$\cos\left( \alpha\right) = \dfrac{\left|\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\right|}{\left| \overrightarrow{a}\right|\cdot \left| \overrightarrow{b}\right|}$

Bilde also die beiden Verbindungsvektoren und setze sie in die Formel ein.

$\overrightarrow{AS} = \pmatrix{-2\\-4\\9} \quad$ $\overrightarrow{BS} = \pmatrix{0\\-10\\8}$

$\alpha \approx 29,51^{\circ}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Die Seitenkanten $AS$ und $BS$ schließen den Winkel $\alpha$ mit einer ungefähren Größe von $29,51^{\circ}$ ein.

2.2.4

$\blacktriangleright$ Volumen der Pyramide berechnen

Das Volumen einer Pyramide kannst du mit folgender Formel berechnen:

$V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$

Dafür benötigst du die Größe der Grundfläche $G$ , also den Flächeninhalt des Vierecks $ABCD$ . Da das Viereck kein Parallelogramm ist, kannst du es zur Berechnung des Flächeninhalts in zwei Dreiecke $ABC$ und $ACD$ .

Den Flächeninhalts eines von zwei Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ aufgespannten Dreiecks kannst du wie folgt berechnen:

$A = \frac{1}{2} \cdot \left| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \right|$

Berechne also die Flächeninhalte der beiden Dreiecke mit Hilfe zweier Verbindungsvektoren der Eckpunkte und der Formel.

$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{-2\\6\\1}\quad$ $\overrightarrow{BC} = \pmatrix{-6\\-4\\2}$

$\begin{array}[t]{rll} A_{ABC}&=& \frac{1}{2}\cdot \left| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}\right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{15\\-2\\42}\right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{1.993} \\[5pt] \end{array}$

$\overrightarrow{AD} = \pmatrix{-3\\-1,5\\1}\quad$ $\overrightarrow{DC} = \pmatrix{-5\\4,5\\2}$

$A_{ACD} = \frac{1}{4}\cdot \sqrt{1.993}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Damit ergibt sich der Flächeninhalt der Grundfläche:

$G = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{1.993}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Nun kannst du das gesuchte Volumen berechnen:

$V = 89 \,\text{[VE]}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Das Volumen der Pyramide $ABCDS$ beträgt $89\,\text{VE}$ .

2.3.1

$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{k}$ bestimmen

Die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AP}_k$ sollen orthogonal sein. Dies ist der Fall, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt. Berechne also das Skalarprodukt in Abhängigkeit von $k$ und setze mit Null gleich.

$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{-2\\6\\1}$ , $\overrightarrow{AP}_k = \pmatrix{-8\\3\\k+2}$

$k = -36$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Für $k=36$ sind die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AP}_k$ orthogonal.

2.3.2

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt der Dreiecke berechnen

Du sollst den Flächeninhalt der Dreiecke $ABP_k$ in Abhängigkeit von $k$ bestimmen. Verwende dazu die Formel aus Aufgabenteil 2.2.4. Mit den Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AP}_k$ erhältst du folgendes Ergebnis:

$A_{ABP_k} = \frac{1}{2} \cdot ...$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Der Flächeninhalt der Dreiecke $ABP_k$ lässt sich in Abhängigkeit von $k$ wie folgt dastellen:

$A_{ABP_k} = \frac{1}{2} \cdot ...$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

$\blacktriangleright$ Minimalen Flächeninhalt berechnen

Du hast den Flächeninhalt des Dreiecks $ABP_k$ in Abhängigkeit von $k$ bereits berechnet. Damit hast du eine Funktion $A(k)$ , die den Flächeninhalt in Abhängigkeit von $k$ beschreibt.

Gesucht ist nun der minimale Flächeninhalt, also das Minimum dieser Funktion $A$ .

Für eine Minimalstelle $x_M$ einer Funktion $f$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:

Notwendiges Kriterium: $\, f‘(x_E)=0$
Hinreichendes Kriterium: Ist $f‘‘(x_M)\gt 0$ , handelt es sich um eine Minimalstelle.

Du kannst also wie folgt vorgehen:

Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $A‘$ und $A‘‘$ .
Wende das notwendige Kriterium an, indem du $A‘(k)=0$ setzt und nach $k$ löst.
Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $A‘‘(k)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
Berechne die Funktionswerte von $A$ an der Minimalstelle. Dies ist dann der gesuchte minimale Flächeninhalt.

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen

Du kannst dein CAS nutzen. Definiere dazu zunächst die Funktion $A$ und anschließend die ersten beiden Ableitungen. Den Befehl für eine Ableitung findest du unter

keyboard $\to$ Math2

Mathematische Gleichungen und Definitionen in einem interaktiven Programmfenster.

Abb. 3: Ableitungen definieren

2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Durch Gleichsetzen von $A‘(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen. Die Gleichung kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS lösen.

$k_1 = - \dfrac{23}{20}$

Mathematische Software-Benutzeroberfläche mit Gleichungen zur Ableitung und Lösung.

Abb. 4: Notwendiges Kriterium

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

Überprüfe nun mit dem hinreichenden Kriterium, ob es sich tatsächlich um ein Minimum handelt. Berechne dazu $A‘‘(k_1)$ mit deinem CAS:

$A‘‘(k_1)$ $= \frac{20\cdot \sqrt{280.910}}{28.091} \gt 0$

Es handelt sich also tatsächlich um eine Minimalstelle.

Screenshot einer mathematischen Software mit Gleichungen und Lösungen.

Abb. 5: Hinreichendes Kriterium

4. Schritt: Funktionswerte berechnen

Berechne nun noch den Funktionswert $A(k_1)$ , also den gesuchten Flächeninhalt:

$\begin{array}[t]{rll} A(k_1)&=& A\left(- \dfrac{23}{20}\right) \\[5pt] &=&\dfrac{\sqrt{280.910}}{20} \\[5pt] &\approx&26,5\\[5pt] \end{array}$

Das Dreieck $ABP_k$ mit dem kleinsten Flächeninhalt hat einen Flächeninhalt von $\dfrac{\sqrt{280.910}}{20} \approx 26,5 \,\text{[FE]}$ .

2.3.3

$\blacktriangleright$ Werte von $\boldsymbol{k}$ bestimmen

Gesucht sind die Werte von $k$ , für die der Punkt $H(1\mid 4\mid 5)$ in der jeweiligen Ebene $ABP_k$ liegt. Die Ebenen $ABP_k$ bilden eine Ebenenschar. Beschreibe diese Ebene mit einer Koordinatengleichung in Abhängigkeit von $k$ . Du kannst dort dann die Koordinaten von $H$ einsetzen. So erhältst du eine Gleichung, die du nach $k$ lösen kannst.

Die Koordinatengleichung kannst du wie in Aufgabe 2.1 ermitteln. Berechne den Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt von $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AP}_k$ :

$\overrightarrow{n}_k = \pmatrix{6k+9\\-4+2k\\42}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Setze diesen zusammen mit den Koordinaten von $A$ in die allgemeine Form der Koordinatengleichung ein, um den Parameter $d$ zu berechnen:

$d = 26k -31$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Die Koordinatengleichung lautet also:

$ABP_k: \, (6k+9)x + ...$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Setze nun die Koordinaten von $H$ ein und löse nach $k$ auf:

$k = 19,5$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Für $k=19,5$ liegt der Punkt $H(1\mid 4\mid 5)$ in der Ebene $ABP_k$ . Dies ist der einzige Wert von $k$ , für den diese Aussage gilt.

Bildnachweise [nach oben]

[1]-[5]

© 2017 - SchulLV.