Wahlteil A2

Bestimme die Koordinaten von Ermittle eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Dachfläche liegt.
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Berechne die Länge der Traufe.

Die beiden dreiecksförmigen Dachflächen haben jeweils dieselbe Neigung zum Dachboden. Außerdem weiß man, dass die trapezförmigen Dachflächen eine Neigung von etwa haben.
Eine Faustregel besagt, dass bei annähernd gleicher Neigung der Dachflächen gilt: „Firstlänge Länge des Hauses - Breite des Hauses“ Beurteile, ob die Faustregel für dieses Haus anwendebar ist und die Maße des Hauses die Regel bestätigen.

Ein Balken verbindet die Mittelpunkte des Firstes und der Dachkante
Weise nach, dass es sich bei dem Balken um einen Sparren handelt und berechne seine Länge.

Das Haus wird mit gewellten Hohlfalzziegeln eingedeckt, deren Maße betragen.
Bei der Verlegung der Dachziegel muss aufgrund von Überlappung und Verschnitt mit einem Mehrbedarf von gerechnet werden.
Berechne die Anzahl der benötigten Ziegel für das vollständige Decken des Daches.

Ermittle das Volumen des Dachraumes

Am Ende eines im Punkt befestigten Seiles soll ein als punktförmig angenommener Beleuchtungskörper aufgehängt werden.
Prüfe, ob bei einer Seillänge von der Abstand des Beleuchtungskörpers von der Dachfläche noch mindestens beträgt.

  Koordinaten bestimmen Da ein Rechteck ist, lässt sich der Ortsvektor von wie folgt bestimmen: Die Koordinaten lauten   Koordinatengleichung ermitteln Einen Normalenvektor der Ebene kannst du mithilfe des Kreuzprodukts zweier Verbindungsvektoren der drei Punkte bestimmen. Dazu kannst du den crossP-Befehl deines CAS verwenden. Du kannst nun sowohl die gekürzte als auch die ungekürzte Variante verwenden. Setze den berechneten Normalenvektor in die allgemeine Koordinatengleichung einer Ebene ein: Setze dort nun die Koordinaten eines der drei Punkte oder ein, um zu berechnen: Eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Dachfläche liegt, lautet also:

  Länge der Traufe berechnen Die Länge der Traufe kann über den Umfang des Rechtecks berechnet werden. Die zugehörigen Seitenlängen können über die Beträge der entsprechenden Verbindngsvektoren berechnet werden: Der Gesamtumfang des Rechtecks beträgt also: Die Traufe ist lang.

  Anwendung der Faustregel beurteilen Die Faustregel ist anwendbar, wenn alle Dachflächen annähernd gleich geneigt sind. Die Neigung der trapezförmigen Dachflächen ist mit bekannt. Bestimme also die Neigung der dreieckigen Dachflächen, die laut Aufgabenstellung bei beiden gleich ist. Die vier Eckpunkte des Dachbodens besitzen alle die gleiche -Koordinate, Dadurch liegt die Dachbodenfläche in der Ebene Die dreiecksförmige Dachfläche liegt in der Ebene Berechne also den Neigungswinkel der beiden Ebenen mit der entsprechenden Formel. Ein Normalenvektor der Ebene ist In der Aufgabenstellung ist angegeben, dass die beiden dreiecksförmigen Dachflächen im gleichen Winkel geneigt sind.
Die Neigung der dreiecksförmigen Dachflächen weicht also nur um ca. von der Neigung der trapezförmigen Dachflächen ab. Man kann also von einer annähernd gleichen Neigung sprechen und daher die Faustregel anwenden.   Einhaltung der Maße beurteilen Oben hast du bereits die Länge des Hauses über den Vektorbetrag und die Breite über den Vektorbetrag berechnet: und Berechne nun noch die Länge des Firstes über den entsprechenden Vektorbetrag: Nach der Regel müsste die Firstlänge ungefähr betragen. Die tatsächliche Länge des Firstes weicht um ca. davon ab. Dies kann man noch als angemessene Abweichung ansehen. Die Faustregel kann bei dem betrachteten Haus also als erfüllt angesehen werden.

  Sparren nachweisen 1. Schritt: Mittelpunkte bestimmen Mit der entsprechenden Formel folgt: 2. Schritt: Rechtwinkligkeit überprüfen Der Balken verläuft rechtwinklig zum First und zur Dachkante, wenn die zugehörigen Vektoren rechtwinklig zueinander stehen. Zwei Vektoren sind senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist. Der Balken verläuft also rechtwinklig von der Traufe zum First. Es handelt sich bei diesem Balken also um einen Sparren.   Länge berechnen Mithilfe des Vektorbetrags ergibt sich: Der Balken ist ca. lang.

  Anzahl der benötigten Ziegel berechnen 1. Schritt: Flächeninhalt der trapezförmigen Dachflächen berechnen Da der Dachboden rechteckig ist und die beiden dreiecksförmigen Dachflächen kongruent und gleichschenklig sind, sind auch die beiden trapezförmigen Dachflächen kongruent.
Es genügt also die Größe einer Fläche zu berechnen. Da die Strecke senkrecht zur Firststrecke und zur Dachkantenstrecke ist, entspricht ihre Länge der Höhe des Trapezes Die Längen der parallelen Seiten hast du ebenfalls bereits berechnet: und Der Flächeninhalt ergibt sich also zu: 2. Schritt: Flächeninhalt der dreieckigen Dachflächen berechnen Betrachte das Dreieck Die Länge der Grundseite des Dreiecks hast du bereits berechnet: Die Höhe kannst du über den Satz des Pythagoras berechnen, indem du zuerst die Seitenlänge berechnest: Wegen der Gleichschenkligkeit des Dreiecks folgt für die Höhe Der Flächeninhalt der dreiecksförmigen Dachfläche ergibt sich daher zu: 3. Schritt: Gesamtgröße der zu deckenden Fläche berechnen Laut Aufgabenstellung muss ein Mehrbedarf von miteinberechnet werden: 4. Schritt: Flächeninhalt eines Ziegels berechnen 5. Schritt: Anzahl der Ziegel berechnen Um das Dach vollständig zu decken, werden also ca. Hohlfalzziegel benötigt.

  Volumen des Dachraumes ermitteln 1. Schritt: Volumen des Prismas berechnen Die Höhe des Prismas entspricht der Länge der Strecke Die Grundfläche ist das gleichschenklige Dreieck Die Strecke ist die Grundseite und ist genauso lang, wie die Strecken und Die Dachbodenfläche liegt im Modell vollständig in der Ebene die parallel zur -Ebene ist. Die Höhe des Dreiecks ergibt sich also mithilfe der -Koordinate von zu: Die Grundfläche hat also folgenden Flächeninhalt: Es ergibt sich für das Prisma also folgendes Volumen: 2. Schritt: Volumen einer Pyramide berechnen Beide Pyramiden haben das gleiche Volumen. Betrachte also beispielsweise die Pyramide Die Höhe entspricht der Höhe des Dreiecks die du bereits berechnet hast: Die Seitenlänge der rechteckigen Grundfläche ergibt sich wie folgt: Die zweite Seitenlänge der Grundfläche ist: Die Größe der Grundfläche ergibt sich daher zu: Für das Volumen folgt dann: 3. Schritt: Gesamtvolumen berechnen Der gesamte Dachraum besitzt ein Volumen von

  Abstand prüfen 1. Schritt: Koordinaten des Beleuchtungspunktes bestimmen Der Punkt der den punktförmigen Beleuchtungskörper darstellt, hat die gleichen - und -Koordinaten wie da der Beleuchtungskörper an einem im Punkt befestigten Seil hängt.
Das Seil ist also lang. Die -Koordinate von ergibt sich also aus der -Koordinate von zu Insgesamt ergeben sich folgende Koordinaten: 2. Schritt: Abstand des Beleuchtungspunkts zur Dachebene bestimmen Verwende zur Abstandsberechnung die Hessesche Normalform der Ebene Der Abstand eines Punkts zur Ebene ist also Einsetzen der Koordinaten von liefert: Der Beleuchtungskörper ist also ca. von der Dachebene entfernt. Der Abstand von mindestens wird also nicht eingehalten.