1 Analysis
Gegeben sind die in
definierten Funktionen
und
mit
und
Die Abbildung 1 zeigt deren Graphen sowie mit
und
zwei ihrer Schnittpunkte.

Abbildung 1
1.1
Berechne die Koordinaten des nicht abgebildeten Schnittpunkts der beiden Graphen und gib an, in welchem Quadranten des Koordinatensystems sich dieser befindet.
(3 BE)
1.2
Bestimme den Flächeninhalt der in der Abbildung grün markierten Fläche.
(5 BE)
1.3
Im Intervall
soll der größte vertikale Abstand beider Graphen berechnet werden. Peter behauptet:
Der größte Abstand muss an der Stelle des Hochpunktes von g oder an der Stelle des Tiefpunktes von
angenommen werden.
Beurteile seine Behauptung.
(2 BE)
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1.1
Der gesuchte Punkt befindet sich an der Stelle
Es gilt
Der dritte Schnittpunkt
befindet sich im IV. Quadranten.
Der dritte Schnittpunkt
1.2
Der Flächeninhalt der gesamten Fläche zwischen den Graphen von
und
zwischen ihren Schnittstellen
und
wird mit Hilfe eines Integrals berechnet:
Ein einzelnes der sieben ausgenommenen Quadrate besitzt den Flächeninhalt
Der gesuchte Flächeninhalt beträgt somit
1.3
Peters Aussage ist falsch.
Anhand der Graphen ist zu erkennen, dass die zugehörigen vertikalen Abstände an den Stellen
(Tiefpunkt von
) und
(Hochpunkt von
) kleiner sind als der betrachtete Abstand an der Stelle
Alternativ
Unmittelbar hinter dem Tiefpunkt von
gibt es ein Intervall, in dem der Graph von
einen größeren Anstieg hat als der Graph von
Demzufolge wird der vertikale Abstand hinter dem Tiefpunkt der Graphen zunächst größer, da der Graph von
stärker ansteigt als der von
Analog gilt dies auch für ein Intervall vor der Stelle des Hochpunkts des Graphen von
Anhand der Graphen ist zu erkennen, dass die zugehörigen vertikalen Abstände an den Stellen
Demzufolge wird der vertikale Abstand hinter dem Tiefpunkt der Graphen zunächst größer, da der Graph von