2 Analysis und Analytische Geometrie

2.1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=(4-2x)\cdot \mathrm{e}^x$ und $x \in \mathbb{R}.$ Die Funktion $f$ hat eine Nullstelle.

2.1.1

Begründe, dass $x = 2$ die Nullstelle von $f$ ist.

(1 BE)

2.1.2

Untersuche das Verhalten von $f$ für $x \to -\infty$ und $x \to +\infty.$

(2 BE)

2.1.3

Der Graph von $f$ und die Koordinatenachsen schließen eine Fläche vollständig ein.

Berechne den Inhalt dieser Fläche.

Eine Gerade $x = a$ mit $0 \lt a \lt 2$ halbiert diese Fläche. Bestimme den Wert von $a.$

(5 BE)

2.1.4

Die Funktion $f$ gehört zur Funktionenschar $f_k$ mit $f_k(x) = (4 - kx)\cdot \mathrm{e}^x$ und $k \in \mathbb{R}, k > 0.$

Begründe, dass es einen Punkt gibt, den alle Graphen von $f_k$ gemeinsam haben.

(2 BE)

2.2

Gegeben sind die beiden sich schneidenden Geraden $g$ und $h$ mit

$g: \overrightarrow{x} = \pmatrix{7\\-2\\0} + r \cdot \pmatrix{-2\\0\\1}$

und

$h: \overrightarrow{x} = \pmatrix{3\\-4\\-5} + s \cdot \pmatrix{-1\\1\\4}$ sowie $r, s \in \mathbb{R}.$

2.2.1

Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes von $g$ und $h.$

(3 BE)

2.2.2

Bestimme die Größe des Schnittwinkels von $g$ und $h$ .

(2 BE)

2.2.3

Die Geraden $g$ und $h$ verlaufen in einer Ebene $E.$ Ermittle eine Gleichung der Ebene $E$ in Koordinatenform.

(3 BE)

2.2.4

Gib den Wert für $k$ an, sodass die Geraden $g$ und $i_k$ mit

$i_k: \overrightarrow{x} = \pmatrix{3\\-4\\-5} + t \cdot \pmatrix{-2\\k\\k+1}$ und $t, k \in \mathbb{R}$

echt parallel sind.

Begründe deine Angabe.

(2 BE)

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2.1

2.1.1

$\begin{array}[t]{rll} f(2)&=&(4 - 2 \cdot 2) \cdot \mathrm{e}^2 \\[5pt] &=&0 \cdot \mathrm{e}^2 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

2.1.2

Da für $x \to -\infty$ gilt $\mathrm{e}^x \to 0$ sowie $(4 - 2x) \to \infty$ und die $\mathrm e$ -Funktion schneller fällt, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)&=&\lim\limits_{x \to -\infty}\left((4 - 2x) \cdot \mathrm{e}^x\right) \\[5pt] &=&\infty\cdot0 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Für $x \to +\infty$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x \to \infty} f(x)&=&\lim\limits_{x \to \infty}\left((4 - 2x) \cdot \mathrm{e}^x\right) \\[5pt] &=&-\infty\cdot\infty \\[5pt] &=&-\infty \end{array}$

2.1.3

Inhalt der Fläche berechnen

Die Nullstelle von $f$ ist nach Aufgabenteil 2.1.1 gegeben durch $x=2.$ Der gesuchte Flächeninhalt $A$ ist somit wie folgt gegeben:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=&\displaystyle\int_{0}^{2}(4 - 2x) \cdot \mathrm{e}^x\;\mathrm dx \\[5pt] &=&\left[-2\cdot\left(x - 3\right)\cdot\mathrm{e}^{x}\right]_0^2 \\[5pt] &=&2\mathrm e^2-6 \end{array}$

Wert von $\boldsymbol{a}$ bestimmen

Auflösen der Gleichung $\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)\;\mathrm dx= \frac{1}{2}\cdot(2\mathrm e^2-6)$ nach $a$ mit Hilfe des solve-Befehls des CAS liefert unter der Rahmenbedingung $0\lt a \lt 2:$

$a\approx0,91$

2.1.4

$\begin{array}[t]{rll} f_k(0)&=&(4 - k \cdot 0) \cdot \mathrm{e}^0 \\[5pt] &=&4 \end{array}$

Da dieser Wert unabhängig von $k$ ist, haben alle Funktionen der Schar $f_k$ einen gemeinsamen Punkt.

2.2

2.2.1

Gleichsetzen der Geradengleichungen von $g$ und $h$ liefert:

$\pmatrix{7 \\ -2 \\ 0}+ r\cdot\pmatrix{-2 \\ 0 \\ 1}$ $= \pmatrix{3 \\ -4 \\ -5} + s\cdot\pmatrix{-1 \\ 1 \\ 4}$

Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&7 - 2r&=& 3 - s \\ \text{II}\quad&-2&=&-4 + s \\ \text{II}\quad&r&=&-5 + 4s \\ \end{array}$

Lösen des Gleichungssystems mit dem CAS liefert $r=3$ und $s=2.$

Für den Ortsvektor des Schnittpunkts folgt somit:

$\overrightarrow{OS} = \pmatrix{7 \\ -2 \\ 0}+ 3\cdot\pmatrix{-2 \\ 0 \\ 1} = \pmatrix{1 \\ -2 \\ 3}$

Der Schnittpunkt hat somit die Koordinaten $(1\mid -2\mid 3).$

2.2.2

Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 50,77^\circ$

2.2.3

Mit den beiden Richtungsvektoren der Geraden als Spannvektoren und dem Ortsvektor von z.B. der Gerade $g$ folgt als Parametergleichung der Ebene:

$\pmatrix{x \\ y \\ z}=\pmatrix{7 \\ -2 \\ 0}$ $+r\cdot\pmatrix{-2 \\ 0 \\ 1}+s\cdot\pmatrix{-1 \\ 1 \\ 4}$

Diese lässt sich mit dem CAS nach $x$ in Abhängigkeit von $y$ und $z$ auflösen und es ergibt sich:

$x=7y-2z+21$

Damit folgt $E:x-7y+2z=21$ als eine Ebenengleichung von $E$ in Koordinatenform.

2.2.4

Die Geraden $g$ und $i_k$ sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind. Da die $y$ -Koordinate des Richtungsvektors von $g$ Null ist, kann das nur für $k=0$ der Fall sein. Einsetzen von $k=0$ in den Richtungsvektor von $i_k$ liefert, dass die Geraden $i_0$ und $g$ den gleichen Richtungsvektor besitzen und somit parallel zueinander verlaufen.
Da die Stützvektoren unterschiedliche $y$ -Koordinaten haben und die $y$ -Koordinate der Richtungsvektoren Null beträgt, besitzen die beiden Geraden zudem keinen gemeinsamen Punkt und sind damit echt parallel.

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