Wahlteil A2

Bestimme die Koordinaten der Punkte und
Stelle das Prisma grafisch dar.
Zeige, dass die Grundfläche ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck ist.
Überprüfe, ob es sich bei dem Prisma um ein gerades Prisma handelt.

Es gibt eine Faustregel, die besagt, dass einem Fisch im Aquarium pro Zentimeter Körperlänge etwa Liter Wasser zur Verfügung stehen sollen. Im Aquarium sollen Guppys gehalten werden. Diese Fische können bis zu lang werden. Bestimme, wie viele Guppys man in diesem Aquarium unter der Beachtung der Faustregel höchstens halten könnte, wenn das Wasser bis zu unter der Aquariumoberkante steht.

Auf den Boden des Aquariums wird Sand mit einer Dichte von eingebracht.
Die Oberfläche des Sandes ist eben aber zur Grundfläche geneigt. Der Aquariensand steht an den Kanten und jeweils an der Kante hoch. Ermittle, wie viel Kilogramm Sand benötigt werden.

Ein gerader Stab berührt den Boden im Punkt ragt im Punkt aus dem Sand und lehnt im Punkt an der Wand des Aquariums. Erstelle eine Koordinatengleichung der Ebene Bestimme die Gesamtlänge des Stabs und unter welchem Winkel er gegen die Wand gelehnt ist.

  Koordinaten bestimmen Der Punkt entsteht durch Verschiebung des Punktes entlang des Vektors Da eine Kante des Prismas ist und die Grundfläche die Eckpunkte und besitzt, müssen die Kanten und parallel zur Kante sein und die gleiche Länge besitzen. Daher entsteht durch Verschiebung des Punkts entlang des Vektors und durch Verschiebung von entlang des gleichen Vektors. Der Punkt besitzt die Koordinaten der Punkt die Koordinaten   Prisma grafisch darstellen In einem dreidimensionalen Koordinatensystem ergibt sich beispielsweise folgende Darstellung:   Gleichschenkligkeit nachweisen Die Seitenlängen des Dreiecks lassen sich über die Beträge der zugehörigen Verbindungsvektoren berechnen: Das Dreieck besitzt also genau zwei gleich lange Seiten, und   Rechtwinkligkeit nachweisen Das Dreieck besitzt bei einen rechten Winkel, wenn das Skalarprodukt der zu den einschließenden Seiten gehörenden Verbindungsvektoren und null ist. Das Skalarprodukt von und ist null, die beiden Vektoren stehen also senkrecht zueinander. Das Dreieck besitzt also bei einen rechten Winkel.   Nachweisen, dass es sich um ein gerades Prisma handelt Es handelt sich um ein gerades Prisma, wenn die Kanten und senkrecht zur Grundfläche verlaufen.
Da bei allen drei Eckpunkten der Grundfläche die -Koordinate null ist, liegen diese alle in der --Ebene. Bei dem Verbindungsvektor sind die beiden ersten Koordinaten null, wodurch er senkrecht zur --Ebene verläuft. Gleiches gilt dadurch auch für die Kante des Prismas. Diese verläuft damit auch senkrecht zur Grundfläche
Da die Kanten und parallel zu verlaufen, verlaufen diese ebenfalls senkrecht zur Grundfläche. Das Prisma ist also gerade.

  Anzahl Guppys berechnen Wegen der Rechtwinkligkeit des Dreiecks mit dem rechten Winkel bei lässt sich der Inhalt der Grundfläche wie folgt berechnen: Da das Prisma gerade ist, entspricht die Höhe des Prismas der Länge der Kante und kann damit über den Betrag des Verbindungsvektors berechnet werden: Das Wasser soll bis unterhalb der Aquariumoberkante stehen, also beträgt die Höhe des Wassers Für das Volumen des Wassers folgt damit: Im Aquarium befinden sich Wasser. Pro Zentimeter Körperlänge sollen ca. Liter Wasser berechnet werden. Guppys werden bis zu lang. Ein Guppy benötigt also ca. Wasser. In dem Aquarium könnte man höchstens Guppys halten.

  Menge benötigten Sandes berechnen Insgesamt nimmt der Sand also folgendes Volumen ein: Das Gewicht ergibt sich dann zu: Es werden ca. Sand benötigt.

  Koordinatengleichung erstellen Ein möglicher Normalenvektor der Ebene kann mit dem Kreuzprodukt von beispielsweise und berechnet werden. Mit dem crossP-Befehl des CAS ergibt sich: Da nur die Richtung des Normalenvektors von Bedeutung ist, kann auch der gekürzte Vektor verwendet werden. Eine Punktprobe liefert: Eine Koordinatengleichung der Ebene lautet:   Gesamtlänge des Stabs berechnen Die Länge des Stabs ergibt sich durch den Abstand der beiden Endpunkte und Der Stab liegt auf der Geraden durch die Punkte und . Der Punkt muss daher ebenfalls auf liegen und ist der Schnittpunkt von mit der Ebene in der die Grundfläche des Aquariums liegt, also der --Ebene. kann durch folgende Gleichung beschrieben werden: Die Punkte auf der Geraden haben also die Koordinaten Eine Gleichung der --Ebene lautet Einsetzen von in die Ebenengleichung liefert: Einsetzen in die Geradengleichung liefert den Ortsvektor von hat also die Koordinaten Mit dem norm-Befehl des CAS kann der Betrag des Verbindungsvektors berechnet werden:   Winkelgröße bestimmen Gesucht ist der Schnittwinkel der Geraden mit der Ebene Dieser kann mithilfe eines Normalenvektors und einem Richtungsvektor der Geraden wie folgt berechnet werden: Der Stab ist im Winkel von ca. gegen die Wand gelehnt.