Wahlteil A2
Die Rote Pyramide in Dahschur, Ägypten, hat ein für Touristen zugängliches Kammersystem. Das Modell der Pyramide besitzt in einem kartesischen Koordinatensystem die Eckpunkte 
, 
, 
, 
und 
. Der Eingang ins Innere der Pyramide hat in diesem Modell die Koordinaten 
. Eine Längeneinheit ist 
.
2.1
Stelle die Pyramide grafisch dar.
(3 BE)
2.2
Begründe, dass die Pyramide 
quadratisch und gerade ist.
(6 BE)
2.3
Die Rote Pyramide besteht aus Kalkstein der Dichte 
.
Berechne ihre Masse in Tonnen, wenn sie vollständig aus Kalkstein bestehen würde und keine Hohlräume besäße.
(4 BE)
2.4
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Seitenflächen 
liegt.
Berechne den Neigungswinkel dieser Ebene gegenüber der
-Ebene.
Berechne den Neigungswinkel dieser Ebene gegenüber der
(5 BE)
2.5
Die nördliche Seitenfläche der Pyramide ist im Modell die Seitenfläche 
. Die Ebene 
, in der die Seitenfläche liegt, wird durch die Koordinatengleichung 
beschrieben.
2.5.1
Zeige, dass der Punkt 
in der Ebene liegt.
Begründe, dass nicht in der 
-Ebene liegt.
(3 BE)
2.5.2
Bei einer Übung der Pharaonenfeuerwehr hält ein Leiterwagen nördlich der Pyramide und richtet die Leiter so aus, dass das hintere Ende der Leiter durch den Punkt 
und das vordere Ende durch 
beschrieben wird. Dann wird die Leiter gerade ausgefahren, bis sie auf die nördliche Seitenfläche trifft.
Bestimme den Abstand dieses Auftreffpunktes vom Eingang der Pyramide.
Bestimme den Abstand dieses Auftreffpunktes vom Eingang der Pyramide.
(7 BE)
2.6
Der Roten Pyramide fehlt das Pyramidion, der besondere Stein an der Spitze der Pyramide. In der Umgebung der Roten Pyramide, in der sich weitere Pyramiden mit anderen Neigungswinkeln befinden, wurde ein Pyramidion in Form einer geraden quadratischen Pyramide mit der Grundseitenlänge 
und einer Höhe von 
gefunden.
Beurteile, ob dieses gefundene Pyramidion zur Roten Pyramide gehören könnte.
(3 BE)
2.7
Es gibt einen Punkt 
im Inneren der Pyramide , der von der Grundfläche und den vier Seitenflächen denselben Abstand hat.
Bestimme die Koordinaten von .
(4 BE)
2.1
2.2
Alle Eckpunkte der Grundfläche liegen in der -Ebene. Zudem besitzen jeweils 
und 
sowie 
und 
die gleichen 
-Koordinaten. Die Seiten 
und 
liegen also parallel zur 
-Achse.
Gleiches gilt für die-Koordinaten von und sowie und 
Die Seiten 
und 
liegen also parallel zur -Achse.
Damit ist erfüllt, dass jeweils gegenüberliegende Seiten parallel verlaufen, sowie nebeneinanderliegende Seiten einen rechten Winkel bilden.
Aufgrund der betragsgleichen Koordinaten ist auch die gleiche Länge aller vier Seiten erfüllt.
Es handelt sich also um eine quadratische Pyramide.
Alle vier Eckpunkte haben den gleichen Abstand zur
-Achse. Der Punkt 
liegt auf der -Achse. Daher handelt es sich um eine gerade Pyramide.
Gleiches gilt für die
Damit ist erfüllt, dass jeweils gegenüberliegende Seiten parallel verlaufen, sowie nebeneinanderliegende Seiten einen rechten Winkel bilden.
Aufgrund der betragsgleichen Koordinaten ist auch die gleiche Länge aller vier Seiten erfüllt.
Es handelt sich also um eine quadratische Pyramide.
Alle vier Eckpunkte haben den gleichen Abstand zur
2.3
Wenn die Pyramide vollständig aus Kalkstein bestehen würde und keine Hohlräume besäße, würde ihre Masse 
betragen.
Vollständige Lösung anzeigen
2.4
Koordinatengleichung
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{n} &=& \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AS} \\[5pt]
&=& \pmatrix{0\\220\\0}\times \pmatrix{-110 \\ 110\\105} \\[5pt]
&=& \pmatrix{23\,100\\ 0\\24\,200} \\[5pt]
&=& 100\cdot \pmatrix{231 \\ 0 \\ 242}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/09f6fd1c6d34b5028388cdf0e2993e044a9c7ead11cd058690bc260d938395f1?color=5a5a5a)
Einsetzen:
Eine Gleichung der Ebene, in der die Seitenfläche liegt, lautet:
Neigungswinkel
Der Neigungswinkel der Ebene gegenüber der -Ebene beträgt ca. 
2.5.1
Lage in
Die Koordinaten des Punktes erfüllen also die Ebenengleichung von 
Der Punkt liegt daher in der Ebene
Lage in der yz-Ebene
Alle Punkte in der -Ebene besitzen die -Koordinate Null. Dies ist bei nicht der Fall. kann also nicht in der -Ebene liegen.
2.5.2
Die Leiter liegt im Modell auf der Geraden 
mit:
![\(\begin{array}[t]{rll}
g: \, \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OP} + r\cdot \overrightarrow{PQ} \\[5pt]
&=& \pmatrix{20\\120\\2} + r\cdot \pmatrix{-3,5 \\ -7,8 \\ 5,1}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/94a94abb323bc2aefb74eed82e9578ff3e4b8aaa6ec0a2bd82e390538b2200d9?color=5a5a5a)
Die Koordinaten der Punkte auf 
lauten 
Einsetzen in die Ebenengleichung von liefert:
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
Der Abstand zum Punkt ergibt sich zu:
Die Leiter trifft ca. 
vom Eingang der Pyramide entfernt auf.
2.6
Da die Pyramide und das Pyramidion gerade und quadratisch sind, kann der Neigungswinkel der Seitenflächen des Pyramidions gegenüber seiner Grundfläche mit dem Tangens berechnet werden.
Die Seitenflächen des Pyramidions sind um ca. 
gegneüber der Grundfläche geneigt. Der entsprechende Winkel der Roten Pyramide ist ca. 
groß. Das gefundene Pyramidion gehört also wahrscheinlich nicht zur Roten Pyramide.
2.7
Der gesuchte Punkt muss auf der -Achse liegen. Er hat also Koordinaten der Form 
Der Abstand von zur Grundfläche beträgt dann 
Der Abstand eines Punkts zur Ebene beträgt beispielsweise:
Einsetzen liefert:
Die Koordinaten lauten ungefähr 
Der Abstand von
Der Abstand eines Punkts zur Ebene