Wahlteil B2

Berechne den Steigungswinkel von Flugzeug auf dem Weg von nach .

Zum selben Zeitpunkt, in dem sich das Flugzeug im Punkt befindet, passiert Flugzeug den Punkt . Untersuche, nach welcher Zeit beide Flugzeuge die gleiche Flughöhe haben, wenn man voraussetzt, dass sich beide mit einer konstanten Geschwindigkeit von bewegen.

Bestimme die kürzeste Entfernung des zweiten Flugzeuges zur Spitze des Sendemastes.

Begründe, dass der Punkt auf der Startbahn liegt. Gäste auf der Besucherterasse des Flughafengebäudes haben den start vin Flugzeig beobachtet. Es war deutlich zu erkennen, dass das Flugzeug vom Abheben von der Startbahn bis zum Punkt deutlich steiler aufgestiegen ist als später von nach .
Ein Gast behauptet: „ Das war‘n ja mindestens Grad“. Überprüfe diese Behauptung. Später hat sich ein drittes Flugzeug von dieser Startbahn vom Startpunkt aus mit einem konstanten Steigungswinkel von zum Punkt bewegt. Bestimme die Koordinaten von .

Die Besucherterrasse wird von einem Sonnensegel in Dreiecksform beschattet. Bei leerer Terrasse fällt der Schatten des Segels vollständig auf den Terrassenboden. Der Boden liegt in der Ebene mit der Gleichung: . Die Eckpunkte des Sonnensegels befinden sich in den Punkten , , . Die Sonnenstrahlen verlaufen in Richtung - Berechne die Größe des Sonnensegels in .
Vergleiche diese Größe mit der Größe des Schattens des Sonnensegels.

  Steigungswinkel berechnen Gesucht ist der Steigungswinkel von Flugzeug auf dem Weg von nach . Laut Aufgabenstellung können die Flugbahnen der Flugzeuge als Geraden modelliert werden.
Stelle also die Gleichung einer Gerade auf, die die Flugbahn von Flugzeug von nach modelliert. Der Boden wird durch die --Ebene dargestellt. Gesucht ist also der Schnittwinkel zwischen und der --Ebene. Einen solchen Schnittwinkel kannst du mit folgender Formel berechnen: Dabei ist ein Normalenvektor der Ebene und ein Richtungsvektor der Gerade. Ein Normalenvektor der --Ebene ist . Ein Richtungsvektor der Gerade ist beispielsweise der Verbindungsvektor . Setze in die Formel ein: Auf dem Weg von nach steigt das Flugzeug im Winkel .

  Zeitpunkt der gleichen Flughöhe bestimmen Du sollst untersuchen, nach welcher Zeit Flugzeug und Flugzeug die gleiche Flughöhe erreicht haben. Flugzeug ist dabei auf dem Weg von nach und Flugzeug auf dem Weg von zu . Die -Koordinate entspricht laut Aufgabenstellung der Höhe. Damit beide Flugzeuge die gleiche Flughöhe haben, müssen also die -Koordinaten der Punkte, in denen sich die Flugzeuge gerade befinden, identisch sein. Stelle dazu die Gleichungen zweier Geraden auf, die die jeweilige Flugbahn der Flugzeuge beschreiben. Setze dann die -Koordinaten der beiden Geraden gleich. 1. Schritt: Geradengleichungen aufstellen Wähle als Richtungsvektor jeweils den Verbindungsvektor zwischen Start- und Endpunkt. Als Stützvektor wählst du den Ortsvektor des jeweiligen Startpunkts: Der Parameter beschreibt hier die Zeit in Stunden, nachdem die Flugzeuge ihren jeweiligen Startpunkt bzw. passiert haben. Es ergeben sich dann folgende Geradengleichungen: 2. Schritt: Gleichsetzen der -Koordinate Setze nun die Koordinaten der Geraden gleich. So erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von : Für haben die beiden Geraden die gleiche -Koordinate. Nach Stunden haben Flugzeug und Flugzeug die gleiche Flughöhe.

  Kürzeste Entfernung bestimmen Die Spitze des Sendemastes liegt im Punkt , die Flugbahn des zweiten Flugzeugs wird durch die Gerade beschrieben. Du kannst die kürzeste Entfernung des Sendemastes zum Flugzeug also als Abstand des Punkts zur Gerade bestimmen. Du kannst dazu wie folgt vorgehen:

1. Stelle die Gleichung einer Hilfsebene auf, die senkrecht auf steht und enthält.
2. Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts von und . Dies ist der Fußpunkt des Lotes von auf .
3. Berechne die Länge der Strecke .

1. Schritt: Gleichung der Hilfsebene aufstellen Verwende eine Koordinatengleichung. Dazu benötigst du einen Normalenvektor und die Koordinaten eines Punktes in der Ebene. Die Ebene soll senkrecht auf stehen, du kannst also den Richtungsvektor von als Normalenvektor verwenden. Der Punkt soll in der Ebene liegen. Setze nun die Koordinaten von ein, um zu bestimmen: Die Gleichung der Hilfseben lautet also: 2. Schritt: Schnittpunkt bestimmen Setze die Koordinaten von in die Koordinatengleichung von ein und löse die Gleichung nach auf. Setzt du dieses in die Geradengleichung ein, erhältst du den Ortsvektor des Schnittpunkts der Hilfsebene und der Gerade : Einsetzen in liefert: Setze dies nun in die Geradengleichung ein: Die Gerade schneidet die Hilfsebene im Punkt . 3. Schritt: Abstand berechnen Berechne nun den Abstand der beiden Punkte und über den Betrag des Verbindungsvektors. Der kürzeste Abstand zwischen dem Flugzeug und der Spitze des Sendemastes beträgt ungefähr .

  Lage des Punktes begründen Du sollst begründen, dass der Punkt auf der Startbahn liegt. Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Startbahn im Ursprung beginnt und in Nord-Ost Richtung verläuft. Verwende die Ausrichtungen der Koordinatenachsen und betrachte die Koordinaten von . Die -Achse verläuft von Westen nach Osten, die -Achse von Süden nach Norden. Der positive Bereich der -Achse beschreibt also den östlichen Teil und der positive Teil der -Achse den nördlichen Teil. Da die Startbahn im Ursprung startet und dann in Nord-Ost-Richtung verläuft, müssen also die - und -Koordinaten aller Punkte auf der Startbahn positiv sein. Wird die Startbahn als Gerade aufgefasst, müssen wegen der Nord-Ost-Ausrichtung die - und -Koordinaten der Punkte auf der Gerade gleich sein.
Zudem liegt die Startbahn auf dem Boden, also innerhalb der --Ebene. Ihre Punkte müssen also die Koordinate haben.
Der Punkt liegt also auf der Geraden, die die Startbahn modelliert. Nun muss noch die Länge der Startbahn berücksichtigt werden, um auszuschließen, dass der Punkt zwar in der richtigen Richtung, aber trotzdem außerhalb der Startbahn liegt.
Die Startbahn ist lang. Der Punkt darf also höchstens vom Ursprung entfernt sein: Also muss der Punkt auf der Startbahn liegen.   Steigungswinkel überprüfen Betrachtest du die Koordinaten des Punktes , kannst du erkennen, dass er über der verlängerten Startbahn liegt, aber nicht direkt über der Startbahn. Der Flug in Richtung des Punktes ist demnach am flachsten, wenn das Flugzeug direkt am Beginn der Startbahn abheben würde. Am steilsten ist der Flug, wenn das Flugzeug erst am Endpunkt der Startbahn abhebt. Berechne also zunächst die Koordinaten des Endpunkts und anschließend den Steigungswinkel der Gerade durch die Punkte und . 1. Schritt: Koordinaten des Endpunkts berechnen Im Aufgabenteil zuvor hast du bereits gesehen, dass für die Punkte auf der Startbahn gelten muss und . Da die Startbahn lang ist, liegt der Endpunkt vom Ursprung entfernt.
Den Abstand zwischen dem Punkt und dem Ursprung kannst du wie folgt berechnen: Dieser Abstand soll betragen: Der Endpunkt der Startbahn hat also die Koordinaten . 2. Schritt: Steigungswinkel berechnen Den Steigungswinkel kannst du wie in Aufgabe 2.1 mit Hilfe des Richtungsvektors berechnen: Der Steigungswinkel ergibt sich dann wie folgt: Beim Abflug in Richtung des Punktes steigt das Flugzeug maximal mit einem Winkel von ca. . Die Behauptung stimmt also nicht.   Koordinaten bestimmen Die sollst die Koordinaten des Punktes bestimmen, von dem aus das dritte Flugzeug in einem Winkel von ca. in Richtung fliegt. Du kannst dazu wie folgt vorgehen:

1. Stelle die Koordinaten aller Punkte auf der Startbahn in Abhängigkeit eines Parameters auf.
2. Bilde mit Hilfe dieser Koordinaten den Verbindungsvektor
3. Setze diesen Verbindungvektor zusammen mit dem geforderten Winkel in die Formel für den Steigungswinkel ein. So erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von , die du lösen kannst.

1. Schritt: Koordinaten der Startbahn bestimmen Du weißt bereits, dass für die Punkte auf der Startbahn und gelten muss. Es gibt also nur eine Unbekannte. Setzt du für diese den Parameter ein, erhältst du folgende Koordinaten für die Punkte auf der Startbahn: 2. Schritt: Verbindungsvektor aufstellen Der Verbindungsvektor ist der Richtungsvektor der Geraden, auf der sich das Flugzeug bewegt: 3. Schritt: Gleichung aufstellen Gesucht ist das , bei dem der Steigungswinkel beträgt. Setze dies also wie zuvor in die Formel ein:

  Größe der Fläche des Sonnensegels berechnen Du kennst die Eckpunkte des Sonnensegels. Diese bilden ein Dreieck. Die Größe der Fläche eines solchen Dreiecks kannst du mit folgender Formel berechnen: Dabei sind und zwei der Verbindugnsvektoren der Eckpunkte, die das Dreieck aufspannen. Das vorliegende Dreieck wird von den Punkten , und gebildet. Verwende also beispielsweise die beiden Verbindungsvektoren und . Das Kreuzprodukt kannst du mit folgender Formel oder mit dem crossP-Befehl deines CAS berechnen: Setze also in die Formel ein. Die Verbindungsvektoren ergeben sich wie folgt: Die Fläche des Sonnensegels ist ca. groß.   Größen vergleichen Die Größe des Sonnensegels hast du bereits berechnet. Um die Größe mit der des Schattens zu vergleichen, musst du zuerst die Größe des Schattens berechnen. Dazu benötigst du die Koordinaten der Eckpunkte des Schattens. Dies sind die Schattenpunkte , und der ursprünglichen Eckpunkte , und . Gehe also wie folgt vor:

1. Stelle für jeden Punkt , und die Gleichung der Schattengerade auf, entlang welcher die Sonnenstrahlen verlaufen. Diese Gerade verläuft durch den jeweiligen Punkt in Richtung der Sonnenstrahlen.
2. Die Schnittpunkte der Geraden mit der Ebene , in der der Terrassenboden liegt, sind die Schattenpunkte der Eckpunkte.
3. Berechne mit der Formel aus dem vorherigen Aufgabenteil die Größe des Schattens.
4. Vergleiche die beiden Größen miteinander, indem du berechnest, um wie viel die Fläche des Schattens größer bzw. kleiner ist als die des Sonnensegels.

1. Schritt: Geradengleichungen aufstellen Verwende für die Geraden den Vektor der Sonnenstrahlen als Richtungsvektor und den Ortsvektor des jeweiligen Punktes als Stützvektor. 2. Schritt: Koordinaten der Schattenpunkte berechnen Berechne die Schnittpunkte der drei Geraden mit der Ebene , indem du jeweils die Koordinaten der Punkte auf der Gerade in die Ebenengleichung einsetzt und nach auflöst. Dieses kannst du dann wiederum in die zugehörige Geradengleichung einsetzen und so den Ortsvektor des Schnittpunkts berechnen. Da in der Ebene nur die -Koordinate vorkommt, reicht es diese abzulesen: Setze dies in die Ebenengleichung ein: Einsetzen in die Geradengleichung liefert den gesuchten Ortsvektor: Der Schattenpunkt von hat also die Koordinaten . Einsetzen in die Geradengleichung liefert den gesuchten Ortsvektor: Der Schattenpunkt von hat also die Koordinaten . Dies ist die gleiche -Koordinate wie bei . Du erhältst also wieder . Der Schattenpunkt von hat also die Koordinaten . 3. Schritt: Größe des Schattens berechnen Zwei der Verbindungsvektoren sind beispielsweise: Setze diese in die Formel ein: 4. Schritt: Größen vergleichen Berechne, um wie viel Prozent die Schattenfläche kleiner als die Fläche des Sonnensegels ist: Die Fläche des Schattens besitzt ca. der Größe der Fläche des Sonnensegels.

  Steigungswinkel berechnen Gesucht ist der Steigungswinkel von Flugzeug auf dem Weg von nach . Laut Aufgabenstellung können die Flugbahnen der Flugzeuge als Geraden modelliert werden.
Stelle also die Gleichung einer Gerade auf, die die Flugbahn von Flugzeug von nach modelliert. Der Boden wird durch die --Ebene dargestellt. Gesucht ist also der Schnittwinkel zwischen und der --Ebene. Einen solchen Schnittwinkel kannst du mit folgender Formel berechnen: Dabei ist ein Normalenvektor der Ebene und ein Richtungsvektor der Gerade. Ein Normalenvektor der --Ebene ist . Ein Richtungsvektor der Gerade ist beispielsweise der Verbindungsvektor . Setze in die Formel ein: Auf dem Weg von nach steigt das Flugzeug im Winkel .

  Zeitpunkt der gleichen Flughöhe bestimmen Du sollst untersuchen, nach welcher Zeit Flugzeug und Flugzeug die gleiche Flughöhe erreicht haben. Flugzeug ist dabei auf dem Weg von nach und Flugzeug auf dem Weg von zu . Die -Koordinate entspricht laut Aufgabenstellung der Höhe. Damit beide Flugzeuge die gleiche Flughöhe haben, müssen also die -Koordinaten der Punkte, in denen sich die Flugzeuge gerade befinden, identisch sein. Stelle dazu die Gleichungen zweier Geraden auf, die die jeweilige Flugbahn der Flugzeuge beschreiben. Setze dann die -Koordinaten der beiden Geraden gleich. 1. Schritt: Geradengleichungen aufstellen Wähle als Richtungsvektor jeweils den Verbindungsvektor zwischen Start- und Endpunkt. Als Stützvektor wählst du den Ortsvektor des jeweiligen Startpunkts: Der Parameter beschreibt hier die Zeit in Stunden, nachdem die Flugzeuge ihren jeweiligen Startpunkt bzw. passiert haben. Es ergeben sich dann folgende Geradengleichungen: 2. Schritt: Gleichsetzen der -Koordinate Setze nun die Koordinaten der Geraden gleich. So erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von : Für haben die beiden Geraden die gleiche -Koordinate. Nach Stunden haben Flugzeug und Flugzeug die gleiche Flughöhe.

  Kürzeste Entfernung bestimmen Die Spitze des Sendemastes liegt im Punkt , die Flugbahn des zweiten Flugzeugs wird durch die Gerade beschrieben. Du kannst die kürzeste Entfernung des Sendemastes zum Flugzeug also als Abstand des Punkts zur Gerade bestimmen. Du kannst dazu wie folgt vorgehen:

1. Stelle die Gleichung einer Hilfsebene auf, die senkrecht auf steht und enthält.
2. Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts von und . Dies ist der Fußpunkt des Lotes von auf .
3. Berechne die Länge der Strecke .

1. Schritt: Gleichung der Hilfsebene aufstellen Verwende eine Koordinatengleichung. Dazu benötigst du einen Normalenvektor und die Koordinaten eines Punktes in der Ebene. Die Ebene soll senkrecht auf stehen, du kannst also den Richtungsvektor von als Normalenvektor verwenden. Der Punkt soll in der Ebene liegen. Setze nun die Koordinaten von ein, um zu bestimmen: Die Gleichung der Hilfseben lautet also: 2. Schritt: Schnittpunkt bestimmen Setze die Koordinaten von in die Koordinatengleichung von ein und löse die Gleichung nach auf. Setzt du dieses in die Geradengleichung ein, erhältst du den Ortsvektor des Schnittpunkts der Hilfsebene und der Gerade : Einsetzen in liefert: Setze dies nun in die Geradengleichung ein: Die Gerade schneidet die Hilfsebene im Punkt . 3. Schritt: Abstand berechnen Berechne nun den Abstand der beiden Punkte und über den Betrag des Verbindungsvektors. Der kürzeste Abstand zwischen dem Flugzeug und der Spitze des Sendemastes beträgt ungefähr .

  Lage des Punktes begründen Du sollst begründen, dass der Punkt auf der Startbahn liegt. Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Startbahn im Ursprung beginnt und in Nord-Ost Richtung verläuft. Verwende die Ausrichtungen der Koordinatenachsen und betrachte die Koordinaten von . Die -Achse verläuft von Westen nach Osten, die -Achse von Süden nach Norden. Der positive Bereich der -Achse beschreibt also den östlichen Teil und der positive Teil der -Achse den nördlichen Teil. Da die Startbahn im Ursprung startet und dann in Nord-Ost-Richtung verläuft, müssen also die - und -Koordinaten aller Punkte auf der Startbahn positiv sein. Wird die Startbahn als Gerade aufgefasst, müssen wegen der Nord-Ost-Ausrichtung die - und -Koordinaten der Punkte auf der Gerade gleich sein.
Zudem liegt die Startbahn auf dem Boden, also innerhalb der --Ebene. Ihre Punkte müssen also die Koordinate haben.
Der Punkt liegt also auf der Geraden, die die Startbahn modelliert. Nun muss noch die Länge der Startbahn berücksichtigt werden, um auszuschließen, dass der Punkt zwar in der richtigen Richtung, aber trotzdem außerhalb der Startbahn liegt.
Die Startbahn ist lang. Der Punkt darf also höchstens vom Ursprung entfernt sein: Also muss der Punkt auf der Startbahn liegen.   Steigungswinkel überprüfen Betrachtest du die Koordinaten des Punktes , kannst du erkennen, dass er über der verlängerten Startbahn liegt, aber nicht direkt über der Startbahn. Der Flug in Richtung des Punktes ist demnach am flachsten, wenn das Flugzeug direkt am Beginn der Startbahn abheben würde. Am steilsten ist der Flug, wenn das Flugzeug erst am Endpunkt der Startbahn abhebt. Berechne also zunächst die Koordinaten des Endpunkts und anschließend den Steigungswinkel der Gerade durch die Punkte und . 1. Schritt: Koordinaten des Endpunkts berechnen Im Aufgabenteil zuvor hast du bereits gesehen, dass für die Punkte auf der Startbahn gelten muss und . Da die Startbahn lang ist, liegt der Endpunkt vom Ursprung entfernt.
Den Abstand zwischen dem Punkt und dem Ursprung kannst du wie folgt berechnen: Dieser Abstand soll betragen: Der Endpunkt der Startbahn hat also die Koordinaten . 2. Schritt: Steigungswinkel berechnen Den Steigungswinkel kannst du wie in Aufgabe 2.1 mit Hilfe des Richtungsvektors berechnen: Der Steigungswinkel ergibt sich dann wie folgt: Beim Abflug in Richtung des Punktes steigt das Flugzeug maximal mit einem Winkel von ca. . Die Behauptung stimmt also nicht.   Koordinaten bestimmen Die sollst die Koordinaten des Punktes bestimmen, von dem aus das dritte Flugzeug in einem Winkel von ca. in Richtung fliegt. Du kannst dazu wie folgt vorgehen:

1. Stelle die Koordinaten aller Punkte auf der Startbahn in Abhängigkeit eines Parameters auf.
2. Bilde mit Hilfe dieser Koordinaten den Verbindungsvektor
3. Setze diesen Verbindungvektor zusammen mit dem geforderten Winkel in die Formel für den Steigungswinkel ein. So erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von , die du lösen kannst.

1. Schritt: Koordinaten der Startbahn bestimmen Du weißt bereits, dass für die Punkte auf der Startbahn und gelten muss. Es gibt also nur eine Unbekannte. Setzt du für diese den Parameter ein, erhältst du folgende Koordinaten für die Punkte auf der Startbahn: 2. Schritt: Verbindungsvektor aufstellen Der Verbindungsvektor ist der Richtungsvektor der Geraden, auf der sich das Flugzeug bewegt: 3. Schritt: Gleichung aufstellen Gesucht ist das , bei dem der Steigungswinkel beträgt. Setze dies also wie zuvor in die Formel ein:

  Größe der Fläche des Sonnensegels berechnen Du kennst die Eckpunkte des Sonnensegels. Diese bilden ein Dreieck. Die Größe der Fläche eines solchen Dreiecks kannst du mit folgender Formel berechnen: Dabei sind und zwei der Verbindugnsvektoren der Eckpunkte, die das Dreieck aufspannen. Das vorliegende Dreieck wird von den Punkten , und gebildet. Verwende also beispielsweise die beiden Verbindungsvektoren und . Das Kreuzprodukt kannst du mit folgender Formel oder mit dem crossP-Befehl deines CAS berechnen: Setze also in die Formel ein. Die Verbindungsvektoren ergeben sich wie folgt: Die Fläche des Sonnensegels ist ca. groß.   Größen vergleichen Die Größe des Sonnensegels hast du bereits berechnet. Um die Größe mit der des Schattens zu vergleichen, musst du zuerst die Größe des Schattens berechnen. Dazu benötigst du die Koordinaten der Eckpunkte des Schattens. Dies sind die Schattenpunkte , und der ursprünglichen Eckpunkte , und . Gehe also wie folgt vor:

1. Stelle für jeden Punkt , und die Gleichung der Schattengerade auf, entlang welcher die Sonnenstrahlen verlaufen. Diese Gerade verläuft durch den jeweiligen Punkt in Richtung der Sonnenstrahlen.
2. Die Schnittpunkte der Geraden mit der Ebene , in der der Terrassenboden liegt, sind die Schattenpunkte der Eckpunkte.
3. Berechne mit der Formel aus dem vorherigen Aufgabenteil die Größe des Schattens.
4. Vergleiche die beiden Größen miteinander, indem du berechnest, um wie viel die Fläche des Schattens größer bzw. kleiner ist als die des Sonnensegels.

1. Schritt: Geradengleichungen aufstellen Verwende für die Geraden den Vektor der Sonnenstrahlen als Richtungsvektor und den Ortsvektor des jeweiligen Punktes als Stützvektor. 2. Schritt: Koordinaten der Schattenpunkte berechnen Berechne die Schnittpunkte der drei Geraden mit der Ebene , indem du jeweils die Koordinaten der Punkte auf der Gerade in die Ebenengleichung einsetzt und nach auflöst. Dieses kannst du dann wiederum in die zugehörige Geradengleichung einsetzen und so den Ortsvektor des Schnittpunkts berechnen. Da in der Ebene nur die -Koordinate vorkommt, reicht es diese abzulesen: Setze dies in die Ebenengleichung ein: Einsetzen in die Geradengleichung liefert den gesuchten Ortsvektor: Der Schattenpunkt von hat also die Koordinaten . Einsetzen in die Geradengleichung liefert den gesuchten Ortsvektor: Der Schattenpunkt von hat also die Koordinaten . Dies ist die gleiche -Koordinate wie bei . Du erhältst also wieder . Der Schattenpunkt von hat also die Koordinaten . 3. Schritt: Größe des Schattens berechnen Zwei der Verbindungsvektoren sind beispielsweise: Setze diese in die Formel ein: 4. Schritt: Größen vergleichen Berechne, um wie viel Prozent die Schattenfläche kleiner als die Fläche des Sonnensegels ist: Die Fläche des Schattens besitzt ca. der Größe der Fläche des Sonnensegels.