Pflichtaufgabe B0

1 Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)= -x^3+9x^2-15x-25.$
Weise nach, dass $f$ folgende Eigenschaften besitzt:

1.1

Der Graph von $f$ besitzt an der Stelle $x=0$ die Steigung $-15.$

1.2

Der Graph von $f$ besitzt im Punkt $A\left(5\mid f(5)\right)$ die $x$ -Achse als Tangente.

1.3

Die Tangente $t$ an den Graphen der Funktion $f$ im Punkt $B\left(-1\mid f(-1) \right)$ kann durch die Gleichung $y=-36x-36$ beschrieben werden.

(5 BE)

2 Analysis

Für jeden Wert von $k$ $(k\in \mathbb{R})$ ist eine Funktion $f_k$ durch $f_k(x)= x^3-k\cdot x$ $(x\in \mathbb{R})$ gegeben.
Die in der Abbildung dargestellten Graphen $A$ und $B$ sind Graphen von $f_k$ für zwei verschiedene Werte von $k.$
Der Graph $A$ schneidet die $x$ -Achse an der Stelle $x=1.$
Der Graph $B$ hat einen Tiefpunkt mit der $x$ -Koordinate $1.$

Abb. 1

2.1

Bestimme zu den Graphen $A$ und $B$ jeweils den zugehörigen Wert von $k.$

(3 BE)

2.2

Zeige, dass alle Graphen von $f_k$ genau einen gemeinsamen Punkt haben.

(2 BE)

3 Analytische Geometrie

Für jeden Wert von $a$ mit $a\in \mathbb{R}$ ist eine Gerade $g_a$ gegeben durch

$g_a:\quad \overrightarrow{X} =$ $\pmatrix{2\\a-4\\4} +t\cdot \pmatrix{2\\-2\\1},$ $t \in \mathbb{R}.$

3.1

Bestimme in Abhängigkeit von $a$ die Koordinaten des Punkts, in dem $g_a$ die $xy$ -Ebene schneidet.

(2 BE)

3.2

Für genau einen Wert von $a$ hat die Gerade $g_a$ einen Schnittpunkt mit der $z$ -Achse. Ermittle die Koordinaten dieses Schnittpunkts.

(3 BE)

4 Stochastik

Betrachtet wird ein Bernoulli-Experiment mit unbekannter Trefferwahrscheinlichkeit $p.$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei zweimaliger Durchführung dieses Bernoulli-Experimentes genau ein Treffer erzielt wird, beträgt $\frac{3}{8}.$

4.1

Zeige, dass $\frac{3}{4}$ ein möglicher Wert der Trefferwahrscheinlichkeit $p$ ist.

(2 BE)

4.2

Weise nach, dass für alle möglichen Werte der Trefferwahrscheinlichkeit $p$ die Gleichung $p^2-p +\frac{3}{16} =0$ gilt.

(3 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

1 Analysis

1.1

$\blacktriangleright$ Steigung nachweisen

Die Steigung des Graphen von $f$ wird durch $\(f$ beschrieben.

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

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Der Graph von $f$ besitzt also an der Stelle $x=0$ die Steigung $-15.$

1.2

$\blacktriangleright$ Tangente nachweisen

Die $x$ -Achse ist im Punkt $A(5\mid f(5))$ eine Tangente an den Graphen von $f,$ wenn dort sowohl der Funktionswert, als auch die Steigung übereinstimmen.

$\(\begin{array}[t]{rll} f(5)&=& 0 \\[10pt] f$

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Die $x$ -Achse mit der Gleichung $y= 0$ ist also eine Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $A.$

1.3

$\blacktriangleright$ Tangente nachweisen

Die Gerade zu $y= -36x-36$ besitzt die Steigung $-36.$ Für die Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $B$ folgt:

$\( f$

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Die Steigung der Geraden stimmt also mit der Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $B$ überein. Für die Funktionswerte folgt:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& 0 \\[10pt] f(-1)&=&0 \end{array}$

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Sowohl Steigung, als auch Funktionswert der Gerade zu $y= -36x-36$ stimmen mit den Werten für $f$ überein. Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $B$ kann also durch $y= -36x-36$ beschrieben werden.

2 Analysis

2.1

$\blacktriangleright$ Parameterwerte bestimmen

Graph $A$ schneidet laut Aufgabenstellung die $x$ -Achse an der Stelle $x=1.$ Es ist also $f_k(1)=0:$

$k=1$

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Graph $A$ gehört also zum Wert $k=1.$

Graph $B$ besitzt an der Stelle $x=1$ einen Tiefpunkt. Hier muss also $f_k‘(1)=0$ gelten:

$k=3$

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Graph $B$ gehört also zum Wert $k=3.$

2.2

$\blacktriangleright$ Gemeinsamen Punkt zeigen

$x=0$

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Unabhängig der beiden Werte $k_1$ und $k_2$ mit $k_1\neq k_2$ gibt es also genau eine Stelle, $x=0,$ an denen sich die Graphen $k_1$ und $k_2$ schneiden.

3 Analytische Geometrie

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punkts bestimmen

Für die $xy$ -Ebene gilt die Gleichung $z=0.$ Aus der letzten Zeile der Geradengleichung folgt daher:

$t = -4$

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Einsetzen in die Geradengleichung liefert:

$...=\pmatrix{-6\\a+4\\0}$

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Die Gerade $g_a$ schneidet die $xy$ -Ebene im Punkt $P_a(-6\mid a+4\mid 0).$

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Schnittpunkts bestimmen

Bei allen Punkten auf der $z$ -Achse ist $x=y=0.$ Einsetzen in die Geradengleichung liefert:

Aus der ersten Zeile der Geradengleichung von $g_a$ folgt:

$t = -1$

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Für die zweite Zeile der Geradengleichung folgt mit dem Ergebnis:

$a = 2$

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Einsetzen in die Geradengleichung liefert:

$... = \pmatrix{0\\0\\3}$

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Die Gerade $g_a$ schneidet für $a=2$ die $z$ -Achse im Punkt $P(0\mid 0\mid 3).$

4 Stochastik

4.1

$\blacktriangleright$ Möglichen Wert zeigen

Mit $p=\frac{3}{4}$ ergibt sich mithilfe der Pfadregeln folgende Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer bei zweimaliger Durchführung:

$\begin{array}[t]{rll} & \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \\[5pt] =& \frac{6}{16} \\[5pt] =& \frac{3}{8} \end{array}$

Mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p=\frac{3}{4}$ ist also die geforderte Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer bei zweimaliger Durchführung erfüllt. $p=\frac{3}{4}$ ist also ein möglicher Wert für die Trefferwahrscheinlichkeit.

4.2

$\blacktriangleright$ Gleichung zeigen

Mit den Pfadregeln folgt für die Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer bei zweimaliger Durchführung:

$\begin{array}[t]{rll} & p\cdot (1-p) + (1-p)\cdot p \\[5pt] =& p -p^2 +p -p^2 \\[5pt] =& 2p-2p^2 \end{array}$

Diese Wahrscheinlichkeit soll $\frac{3}{8}$ betragen:

$\begin{array}[t]{rll} 2p-2p^2 &=& \frac{3}{8} \\[5pt] p^2-p +\frac{3}{16}&=& 0 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Aufgrund der angegebenen Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer bei zweimaliger Durchführung gilt die Gleichung für alle möglichen Werte der Trefferwahrscheinlichkeit.