1 Analysis

1.1

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a(x)=\left(x^2-a\right) \cdot \mathrm e^{-x}$ mit $x \in \mathbb{R};$ $a \in \mathbb{R},$ $a \geq 0.$ Die Graphen von $f_a$ sind $K_a$ .

1.1.1

Gib die Nullstellen von $f_3$ an.

(2 BE)

1.1.2

Für alle Werte von $a$ hat $f_a$ zwei Extremstellen.

Weis nach, dass $\(f_a$ die 1. Ableitungsfunktion von $f_a$ ist.

Zeige, dass $x_{E1}=1+\sqrt{1+a}$ und $x_{E 2}=1-\sqrt{1+a}$ die Extremstellen von $f_{a}$ sind.

(5 BE)

1.1.3

In Abbildung 1 ist der Graph von $\(f_3$ dargestellt. Zeichne $K_3$ in dieses Koordinatensystem.

Abbildung 1

(3 BE)

1.1.4

Für einen Wert von $a$ schneiden sich $K_{a}$ und der Graph von $\(f_{a}$ zweimal so, dass die Schnittstellen einen Abstand von $3$ zueinander haben.
Berechne den Wert von $a.$

(5 BE)

1.2

Im Rahmen der Untersuchung eines Patienten werden seine Blutzuckerwerte $b$ in $\dfrac{\mathrm{mmol}}{\ell}$ gemessen.

Der Graph in der Abbildung 2 stellt die momentane Änderungsrate $\(b$ dieser Messwerte in Abhängigkeit von der Zeit $t$ für den Zeitraum $0 \leq t \leq 4,5$ dar. Dabei wird $t$ in Stunden angegeben.

Zu Messbeginn hat der Patient einen Blutzuckerwert $b_0.$

Abbildung 2

1.2.1

Beschreibe mithilfe des Graphen aus Abbildung 2 den Verlauf der Blutzuckerwerte für den oben angegebenen Zeitraum; gehe dabei auch auf die Bedeutung des Tiefpunktes ein.

(5 BE)

1.2.2

Gib die Bedeutung des Terms $\dfrac{1}{2} \cdot 0,83 \cdot 7,2$ im Sachzusammenhang an.

(2 BE)

1.2.3

Beurteile die folgende Aussage:

Der Betrag der Abweichung des maximalen Blutzuckerwertes vom Ausgangswert $b_0$ ist größer als der Betrag der Abweichung des minimalen Blutzuckerwertes von $b_0.$

(4 BE)

1.2.4

Interpretiere die Gleichung $\(b$ im Sachzusammenhang und gib den Zeitpunkt $t_1$ mithilfe der Abbildung 1 an.

(3 BE)

1.3

Durch die Gleichung $k(x)=-\dfrac{9}{20} x^3+\dfrac{22}{5} x^2-12 x+\dfrac{36}{5}$ ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $k$ gegeben (vgl. Abbildung 3). Die Punkte $A(2 \mid k(2))$ und $C(4 \mid k(4))$ sind Eckpunkte des Vierecks $ABCD.$

Abbildung 3

1.3.1

Die Punkte $B$ und $D$ liegen so, dass $ABCD$ ein Quadrat ist. Skizziere dieses Quadrat in Abbildung 3.

(2 BE)

1.3.2

Berechne für das Quadrat $ABCD$ die $x$ -Koordinate von $B.$

(7 BE)

1.3.3

Die Punkte $B_i$ und $D_i$ mit $i \in \mathbb{N}$ bilden gemeinsam mit $A$ und $C$ die Eckpunkte der Drachenvierecke $AB_iCD_i,$ bei denen die Seiten $\overline{A B_i}$ und $\overline{A D_i}$ gleich lang sind. Weiterhin besitzen diese Drachenvierecke rechte Winkel in den Punkten $B_i$ und $D_i.$

Beschreibe die Lage dieser Punkte $B_i$ und $D_i.$

(2 BE)

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1.1.1

$\begin{array}[t]{rll} f_3(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] (x^2-3) \cdot \text{e}^{-x}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \text{e}^{x} \\[5pt] x^2 -3 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] x^2 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_1 &=& \sqrt{3} \\[5pt] x_2 &=& -\sqrt{3} \end{array}$

1.1.2

Ableitungsfunktion nachweisen

Mit der Produktregel folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a(x) &=& \left(x^2-a\right) \cdot \mathrm e^{-x}\\[5pt] f_a$

Extremstellen zeigen

Um die notwendige Bedingung für Extremstellen zu überprüfen, werden die $x$ -Koordinaten in die erste Ableitungsfunktion eingesetzt:

$x_{E1}$ in $\(f$ einsetzen:

Rechenweg anzeigen

$\( f$

$x_{E2}$ in $\(f$ einsetzen:

Rechenweg anzeigen

$\( f$

1.1.3

Stammfunktion - Mecklenburg-Vorpommern Abi LK WTR 2023

1.1.4

Schnittstellen von $f_a$ und $\(f$ berechnen:

Rechenweg anzeigen

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a&=& f$

Abstand der Schnittstellen gleich $3$ setzen und nach $a$ auflösen:

Rechenweg anzeigen

$a=2$

1.2.1

Der Blutzuckerwert steigt an und erreicht zum Zeitpunkt $0,83$ Stunden sein Maximum. Danach nimmt der Blutzuckerwert wieder ab und erreicht zum Zeitpunkt $3,6$ Stunden nach Beobachtungsbeginn sein Minimum. Danach steigt der Wert wieder an. $2$ Stunden nach Messbeginn (der Graph hat an dieser Stelle seinen Tiefpunkt) nimmt der Blutzuckerwert am stärksten ab.

1.2.2

Der Term $\frac{1}{2} \cdot 0,83 \cdot 7,2$ berechnet näherungsweise den Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der $x$ -Achse im Bereich zwischen $0$ und $0,83.$ Somit wird also die Zunahme des Blutzuckerwertes in $\frac{\mathrm{mmol}}{\mathrm{l}}$ innerhalb der ersten $0,83$ Stunden näherungsweise berechnet.

1.2.3

Der Betrag der Differenz vom maximalen Blutzuckerwert und $b_0$ entspricht dem Inhalt der Fläche, die vom Graphen in der Abbildung und den Koordinatenachsen eingeschlossen wird. Der Betrag der Differenz vom minimalen Blutzuckerwert und $b_0$ entspricht dem Betrag des bestimmten Integrals der Funktion im Intervall $[0 ; 3,6]$ beziehungsweise dem Inhalt der Fläche, die der Graph mit der $x$ -Achse im IV. Quadranten einschließt, verringert um den Wert von ca. $\frac{1}{2} \cdot 0,83 \cdot 7,2 \approx 3.$ Dieser Wert ist kleiner als $3.$ Die Aussage ist wahr.

1.2.4

Die Gleichung gibt an, dass die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt $t_1$ gleich der momentanen Änderungsrate $2,2$ Stunden später ist. Mithilfe der Abbildung lässt sich $t_1 = 1,0$ bestimmen.

1.3.1

1.3.2

Koordinaten der Punkte $A$ und $C$ berechnen:

$k(2)= -\dfrac{9}{20}\cdot 2^3+\dfrac{22}{5}\cdot 2^2-12 \cdot 2+\dfrac{36}{5}$ $= -\dfrac{14}{5}$

$A\left(2 \,\bigg \vert \, -\dfrac{14}{5}\right),$

$k(4)= -\dfrac{9}{20}\cdot 4^3+\dfrac{22}{5}\cdot 4^2-12 \cdot 4+\dfrac{36}{5}$ $= \dfrac{4}{5}$

$C\left(4 \,\bigg \vert \, \dfrac{4}{5}\right)$

Koordinaten des Mittelpunktes $M_{AC}$ von $\overline{AC}$ bestimmen:

$x_M = \dfrac{4+2}{2} = 3$

$y_M= \left(\dfrac{\dfrac{4}{5}+\left(-\dfrac{14}{5}\right)}{2}\right) = -1$

$M_{AC} (3 \mid -1)$

Steigung der Gerade durch die Punkte $A$ und $C$ bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} m_{AC} &=& \dfrac{\dfrac{4}{5}-\left(-\dfrac{14}{5}\right)}{4-2} &\\[5pt] &=&\dfrac{\dfrac{18}{5}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{18}{5}\cdot \dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{9}{5} \end{array}$

Da die Strecke $\overline{BD}$ im rechten Winkel zur Strecke $\overline{AC}$ sein muss, ist die Steigung der Gerade durch die Punkte $B$ und $D$ gegeben durch $m_{BD} = -\frac{5}{9}.$

$M_{AC}$ in $y = - \frac{5}{9}x+c$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} -1 &=& - \dfrac{5}{9} \cdot 3 +c \\[5pt] -1 &=& -\dfrac{5}{3} +c &\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{5}{3} \\[5pt] \dfrac{2}{3} &=& c \end{array}$

Ein allgemeiner Punkt $P_{BD},$ der auf der Gerade durch die Punkte $B$ und $D$ liegt, hat also die Koordinaten $\left(x \mid \frac{5}{9}x + \frac{2}{3}\right).$

Länge der Strecke $\overline{AM_{AC}}$ bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} \mid \overline{AM_{AC}}\mid &=& \sqrt{(3-2)^2+\left(-1+\dfrac{14}{5}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{106}{25}} \end{array}$

Punkte auf der Gerade durch die Punkte $B$ und $D$ bestimmen, die den selben Abstand zum Punkt $M_{AC}$ haben wie der Punkt $A:$

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} \mid \overline{AM_{AC}}\mid&=& \mid \overline{P_{BD}M_{AC}}\mid \\[5pt] &...& \\[5pt] x_1 &=& \dfrac{24}{5} \\[5pt] x_2 &=& \dfrac{6}{5} \end{array}$

Da die $x$ -Koordinate des Punkts $B$ größer sein muss als die des Punkts $A,$ muss $x_1 = \frac{24}{5}$ die gesuchte $x$ -Koordinate von $B$ sein.

1.3.3

Die Punkte $B_i$ und $D_i$ liegen auf dem Kreis um den Punkt $M_{A C}$ mit dem Radius $\frac{1}{2} \mid \overline{AC} \mid.$

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