Wahlteil B2

Bei der Herstellung eines Pokals wird als Ausgangsprodukt für den oberen Teil ein primenförmiger Körper verwendet, der im Modell durch die Eckpunkte $A(0\mid 0\mid 0),$ $B(-3\mid 5\mid 4),$ $C(4\sqrt{2} -3\mid 5\mid 3\sqrt{2}+4),$ $D(4\sqrt{2}\mid 0\mid 3\sqrt{2})$ und $E(-3\mid -5\mid 4)$ sowie $F,$ $G$ und $H$ in einem kartesischen Koordinatensystem beschrieben wird (siehe Abbildung 1).

Abb. 1

2.1

Weise nach, dass es sich bei dem Körper $ABCDEFGH$ um einen Würfel handelt.

(5 BE)

2.2

Die Lage eines solchen Modells wird als ideal bezeichnet, wenn bei einer senkrechten Projektion auf die $xy$ -Ebene der Bildpunkt von $G$ mit dem Punkt $A$ übereinstimmt.
Prüfe, ob die Lage des gegebenen Modells ideal ist.

(2 BE)

2.3

Der Winkel zwischen $\overrightarrow{AD}$ und der $xy$ -Ebene ist $\alpha.$
Der Winkel zwischen der Ebene durch die Punkte $A,$ $B,$ $E$ und der $x$ -Achse ist $\beta.$
Zeige: Die Summe der Winkelgrößen von $\alpha$ und $\beta$ beträgt $90^{\circ}.$

(6 BE)

2.4

Damit eine Fläche zum Verkleben mit dem Pokalsockel entsteht, wird bei der Herstellung ein Teil des Ausgangsprodukts abgeschnitten. Im Modell verläuft diese Schnittebene durch den Punkt $R\left(-1\mid \frac{5}{3}\mid \frac{4}{3}\right)$ und parallel zu der Ebene $\epsilon_{BDE}.$
Weise nach, dass $R$ auf der Körperkante $\overline{AB}$ liegt. Berechne die Größe der Schnittfläche.

(8 BE)

2.5

Mit Hilfe einer neuen Technologie ist es möglich, den Würfel innen zu beschriften. Die Fläche der Beschriftung befindet sich im Modell in der Ebene, die die Raumdiagonale $\overline{DF}$ enthält und parallel zur $y$ -Achse verläuft.
Bestimme eine Gleichung dieser Ebene in Koordinatenform.

(5 BE)

2.6

Der Hersteller der Pokale behauptet gegenüber einem Händler, dass höchstens $10\,\%$ der Pokale fehlerhaft sind. Die Anzahl der fehlerhaften Pokale wird als binomialverteilt angenommen.
Die Behauptung des Herstellers soll anhand einer Stichprobe vom Umfang $100$ überprüft werden. Es wird eine Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\,\%$ festgelegt.
Ermittle eine Entscheidungsregel für diesen Test aus der Sicht des Händlers.

(4 BE)

$k$	$F_{100;0,1}(k)$
$0$	$0,0000$
$1$	$0,0003$
$2$	$0,0019$
$3$	$0,0078$
$4$	$0,0237$
$5$	$0,0576$
$6$	$0,1172$
$7$	$0,2061$
$8$	$0,3209$
$9$	$0,4513$

$k$	$F_{100;0,1}(k)$
$10$	$0,5832$
$11$	$0,7030$
$12$	$0,8018$
$13$	$0,8761$
$14$	$0,9274$
$15$	$0,9601$
$16$	$0,9794$
$17$	$0,9900$
$18$	$0,9954$
$19$	$0,9980$

Bildnachweise [nach oben]

[1]

2.1

$\blacktriangleright$ Würfelform nachweisen

Es ist bereits angegeben, dass $ABCDEFGH$ die Form eines achteckigen Prismas hat. Es handelt sich um einen Würfel, wenn $ABCD$ ein Quadrat ist und die anliegende Kante $\overline{AE}$ senkrecht dazu ist.

1. Schritt: Quadrat nachweisen

Für ein Quadrat ist nachzuweisen, dass alle Seiten gleich lang sind und nebeneinander liegende Seiten senkrecht zueinander stehen.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=& \pmatrix{-3\\5\\4} \\[5pt] \overrightarrow{DC}&=& \pmatrix{-3\\5\\4} \\[5pt] \overrightarrow{AD}&=& \pmatrix{4\sqrt{2}\\0\\3\sqrt{2}} \\[5pt] \overrightarrow{BC}&=& \pmatrix{4\sqrt{2}\\0\\3\sqrt{2}} \\[5pt] \end{array}$

Es ist also $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}.$ Die jeweils gegenüberliegenden Seiten sind also parallel und gleich lang.

$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AB} \right|&=\sqrt{50} \\[10pt] \left|\overrightarrow{AD} \right|&= \sqrt{50} \\[10pt] \end{array}$