Lerninhalte in Mathe

Abi-Aufgaben GK (WTR)

Abi-Aufgaben GK (CAS)

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Wahlteil A3

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)= \left(1-\frac{1}{2}x \right)\cdot \mathrm e^x$ mit $x\in \mathbb{R}.$
Der Graph von $f$ ist $K,$ der Graph der 1. Ableitungsfunktion von $f$ ist $L.$

3.1

Berechne die Nullstelle von $f.$

(2 BE)

3.2

Zeige, dass

$f‘(x)= \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x\right)\cdot \mathrm e^x$

die 1. Ableitungsfunktion von $f$ ist.
Bestimme die Koordinaten des Extrempunktes von $K$ und ermittle die Art des Extremums.
Berechne die Koordinaten des Wendepunkts $W(x_W\mid f(x_W))$ von $K.$
Begründe, dass für $K$ bei $W$ ein Wechsel von linksgekrümmt nach rechtsgekrümmt erfolgt.
Skizziere $K$ im Intervall $-4\leq x \leq 2,1.$

(12 BE)

3.3

Zeige rechnerisch, dass $K$ und $L$ keine gemeinsamen Punkte haben.
Skizziere $L$ im Intervall $-4\leq x \leq 2,1$ im vorhandenen Koordinatensystem.

(4 BE)

3.4

Im Punkt $(0\mid f(0))$ wird an $K$ die Tangente gelegt.
Bestimme eine Gleichung dieser Tangente.

(3 BE)

3.5

Die Koordinatenachsen und $L$ begrenzen eine Fläche vollständig.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.

(3 BE)

3.6

Die Gerade $x=u$ mit $u\in \mathbb{R}$ schneidet $K$ im Punkt $P$ und $L$ im Punkt $Q.$
Ermittle den Wert von $u,$ sodass die Strecke $\overline{PQ}$ eine Länge von $1$ hat.

(4 BE)

3.7

Die Gerade $s$ schneidet $K$ in den Punkten $\left(1\mid \frac{1}{2}\mathrm e \right)$ und $(2\mid 0).$
Die Gerade $g$ verläuft parallel zu $s$ und durch den Punkt $\left(\frac{1}{2}\mid \frac{1}{4}\mathrm e \right).$
Sowohl $s$ und die Koordinatenachsen als auch $g$ und die Koordinatenachsen schließen je eine Dreiecksfläche ein.
Berechne das Verhältnis der Flächeninhalte dieser Dreiecke.

(7 BE)

3.1

$\blacktriangleright$ Nullstelle berechnen

$2 = x$

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Da $\mathrm e^x$ keine Nullstelle besitzt ist die einzige Nullstelle von $f$ $x = 2.$

3.2

$\blacktriangleright$ Ableitungsfunktion zeigen

Mit der Produkt- und der Kettenregel ergibt sich:

$f‘(x) = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}x \right)\cdot \mathrm e^x$

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$\blacktriangleright$ Koordinaten der Extrempunkte ermitteln

Mit dem notwendigen Kriterium für Extrempunkte ergibt sich:

$1 = x$

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Der Graph $K$ besitzt einen möglichen Extrempunkt an der Stelle $x =1.$ Für das hinreichende Kriterium folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘(x)&=&-\frac{1}{2}x \cdot \mathrm e^x \\[10pt] f‘‘(1)&=& -\frac{1}{2}\cdot \mathrm e \lt 0 \end{array}$

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Der Graph $K$ besitzt also an der Stelle $x =1$ einen Hochpunkt.

$f(1)= \frac{1}{2}\cdot \mathrm e$

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$K$ besitzt genau einen Extrempunkt, bei dem es sich um einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H\left(1\mid \frac{1}{2}\mathrm e\right)$ handelt.

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Wendepunkts bestimmen

Mit dem notwendigen Kriterium für Wendepunkte ergibt sich:

$x=0$

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Der Graph $K$ besitzt also möglicherweise an der Stelle $x_W =0$ einen Wendepunkt. Mit dem hinreichenden Kriterium für Wendepunkte folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘‘(x)&=& ...\\[10pt] f‘‘‘(0)&=& -\frac{1}{2} \neq 0\\[5pt] \end{array}$

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An der Stelle $x=0$ besitzt $K$ also tatsächlich einen Wendepunkt.

$f(0)=1$

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Der Graph $K$ besitzt genau einen Wendepunkt. Dieser hat die Koordinaten $W(0\mid 1).$

$\blacktriangleright$ Krümmungswechsel begründen

Der Graph ist an den Stellen $x$ linksgekrümmt, an denen $f‘‘(x)\gt 0$ gilt, rechtsgekrümmt, wenn $f‘‘(x)\lt 0$ gilt. Damit im Punkt $W$ also ein Wechsel von Linkskrümmung zu Rechtskrümmung stattfindet, muss bei der zweiten Ableitungsfunktion $f‘‘$ an der stelle $x_W=0$ ein Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ stattfinden.
Da $f‘‘(x_W)=0$ und $f‘‘‘(x_W) = -\frac{1}{2} \lt 0$ ist, besitzt der Graph $L$ von $f‘$ an der Stelle $x_W$ einen Hochpunkt. Besitzt der Graph einer Funktion $g$ an einer Stelle $x_E$ einen Hochpunkt, erfolgt bei der ersten Ableitung $g‘$ an dieser Stelle $x_E$ ein Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ.
An der Stelle $x_W =0$ findet daher für $f‘‘$ ein Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ statt, wodurch der Graph von $f$ an dieser Stelle von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergeht.

$\blacktriangleright$ Graphen skizzieren

Mit den bisherigen Ergebnissen und den Funktionswerten an den Stellen $x =-4$ und $x=2,1$ ergibt sich in etwa der folgende Graph.

$\begin{array}[t]{rll} f(-4)&\approx& 0,055 \\[10pt] f(2,1)&\approx& -0,408 \\[5pt] \end{array}$

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Graf einer mathematischen Funktion mit Achsen und Gitterlinien.

Abb. 1: $K$ für $-4\leq x\leq 2,1$

3.3

$\blacktriangleright$ Nachweisen, dass $\boldsymbol{K}$ und $\boldsymbol{L}$ keine gemeinsamen Punkte haben

$\frac{1}{2}=0$

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Dies ist ein Widerspruch. Es gibt kein $x,$ das die Gleichung $f(x)=f‘(x)$ erfüllt. Dadurch besitzen die beiden zugehörigen Graphen $L$ und $K$ keine gemeinsamen Punkte.

$\blacktriangleright$ Graphen skizzieren

Mit den bisherigen Ergebnissen und den Funktionswerten von $f‘$ an den Stellen $x=-4$ und $x=2,1$ ergibt sich in etwa folgende Abbildung.

$\begin{array}[t]{rll} f‘(-4)&\approx& 0,046\\[10pt] f‘(2,1)&\approx& -4,491 \\[5pt] \end{array}$

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Mathematisches Diagramm mit zwei Kurven und Achsenbeschriftungen auf einem Gitter.

Abb. 2: $L$ für $-4\leq x \leq 2,1$

3.4

$\blacktriangleright$ Tangentengleichung bestimmen

Für die Tangente $t:\; y = m\cdot x + b$ an den Graphen $K$ von $f$ im Punkt $(0 \mid f(0))$ muss gelten:

$t$ besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f$ im Punkt $(0 \mid f(0))$ , also $m = f‘(0)$ .
$t$ verläuft durch den Punkt $(0 \mid f(0)),$ also $t(0)=f(0) =1.$

$\begin{array}[t]{rll} m&=& f‘(0) \\[5pt] &=&\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot 0 \right)\cdot \mathrm e^0 \\[5pt] &=&\frac{1}{2} \end{array}$

Einsetzen in die Tangentengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 1&=&\frac{1}{2}\cdot 0 +b \\[5pt] 1&=& b \end{array}$

Eine Gleichung der Tangente an den Graphen $K$ von $f$ im Punkt $(0\mid f(0))$ lautet also $t: \; y = \frac{1}{2}x +1.$

3.5

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Der gesuchte Flächeninhalt kann mithilfe eines Integrals über $f‘$ in den Grenzen $x_1 =0$ und $x_2 = 1$ berechnet werden. Dabei wird verwendet, dass $f‘$ die erste Ableitungsfunktion von $f$ und damit $f$ eine Stammfunktion von $f‘$ ist.

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \displaystyle\int_{0}^{1}f‘(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& f(1) - f(0) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\mathrm e - 1\\[5pt] &\approx& 0,36 \end{array}$

Die Fläche, die $L$ vollständig mit den Koordinatenachsen begrenzt, besitzt einen Flächeninhalt von $\frac{1}{2}\mathrm e - 1 \approx 0,36$ Flächeneinheiten.

3.6

$\blacktriangleright$ Wert von $\boldsymbol{u}$ ermitteln

Die Gerade $x=u$ ist eine parallele zur $y$ -Achse. Die Punkte $P$ und $Q$ haben also dieselbe $x$ -Koordinate $x=u.$ Für die $y$ -Koordinaten gilt $y_P = f(u),$ da $P$ auf $K$ liegen soll, und $y_Q = f‘(u),$ da $Q$ auf $L$ liegen soll. Die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ ergibt sich dann als die Differenz der beiden $y$ -Koordinaten:

$\ln (2)=u$

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Für $u= \ln (2)$ hat die Strecke $\overline{PQ}$ eine Länge von $1.$

3.7

$\blacktriangleright$ Verhältnis der Flächeninhalte berechnen

Die Steigung der beiden Geraden ist identisch und ergibt sich mit Hilfe des Differenzenquotienten und den beiden Punkten $\left(1\mid \frac{1}{2}\mathrm e \right)$ und $\left( 2\mid 0\right)$ wie folgt:

$m =-\frac{1}{2}\mathrm e$

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Für die Gerade $s$ gilt daher:

$\mathrm e= b_s$

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Eine Gleichung der Gerade $s$ ist also $s: \, y =-\frac{1}{2}\mathrm e \cdot x + \mathrm e.$ Für $g$ folgt:

$\frac{1}{2}\mathrm e= b_g$

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Eine Gleichung der Gerade $g$ lautet demnach $g:\quad y = -\frac{1}{2}\mathrm e \cdot x + \frac{1}{2}\mathrm e.$

$s$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $(0\mid \mathrm e)$ und die $x$ -Achse im Punkt $(2\mid 0).$ Das Dreieck, das $s$ mit den Koordinatenachsen bildet ist also rechtwinklig und besitzt die beiden Kathetenlängen $\mathrm e$ und $2.$ Der Flächeninhalt $A_s$ dieses Dreiecks ergibt sich daher zu:

$A_1 = \mathrm e$

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$g$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $\left(0\mid \frac{1}{2}\mathrm e\right).$ Für die Nullstelle folgt:

$x =1$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Das Dreieck, das $g$ mit den Koordinatenachsen bildet, ist ebenfalls rechtwinklig mit den beiden Kathetenlängen $\frac{1}{2}\mathrm e$ und $1.$ Also ergibt sich der Flächeninhalt $A_2$ dieses Dreiecks wie folgt:

$A_2=\frac{1}{4}\mathrm e$

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Das Verhältnis der beiden Flächeninhalte $A_2:A_1$ ist $1:4.$

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