Pflichtaufgaben

1 Analysis

Eine in $\mathbb{R}$ definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion $f$ mit erster Ableitungsfunktion $\(f$ und zweiter Ableitungsfunktion $\(f$ hat folgende Eigenschaften:

$f$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle.
Es gilt $\(f$ und $\(f$
$\(f$ hat ein Minimum an der Stelle $x_3.$

Die Abbildung zeigt die Positionen von $x_1,x_2$ und $x_3.$

1.1

Begründe, dass der Grad von $f$ mindestens $3$ ist.

(2 BE)

1.2

Skizziere in der Abbildung einen möglichen Graphen von $f.$

(3 BE)

2 Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=-x^2+2 a x$ und $a \in\left] 1 ;+\infty \right[.$ Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2a.$

2.1

Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, den Inhalt $\dfrac{4}{3} a^3$ hat.

(2 BE)

2.2

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, überein.
Bestimme den Wert von $a.$

(3 BE)

3 Analytische Geometrie

Gegeben ist die Gerade $g: \overrightarrow{x} =\pmatrix{0 \\ 1 \\ 1}+\lambda \cdot\pmatrix{1 \\ 0 \\ -1}$ mit $\lambda \in \mathbb{R}.$

3.1

Zeige, dass $g$ in der Ebene mit der Gleichung $x+y+z=2$ liegt.

(2 BE)

3.2

Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden $h_a: \overrightarrow{x}=\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}+\mu \cdot\pmatrix{1 \\ a \\ 0}$ mit $\mu \in \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}.$ Weis nach, dass $g$ und $h_a$ für jeden Wert von $a$ windschief sind.

(3 BE)

4 Stochastik

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, auf denen jeweils eine Zahl steht. Auf drei der Kugeln steht die Zahl $2,$ auf zwei der Kugeln die negative Zahl $a.$ Zweimal nacheinander wird eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.

4.1

Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5}$ berechnet werden kann.

(1 BE)

4.2

Die Zufallsgröße $X$ gibt das Produkt der Zahlen an, die auf den beiden entnommenen Kugeln stehen. Der Erwartungswert von $X$ ist $4.$
Bestimme den Wert von $a.$

(4 BE)

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1 Analysis

1.1

$\(f$ besitzt ein Minimum an der Stelle $x_3$ und muss somit mindestens vom Grad $2$ sein. Dann ist $f$ mindestens vom Grad $3.$

1.2

2 Analysis

2.1

$\begin{array}[t]{rll} &&\displaystyle\int_{0}^{2a}f(x)\;\mathrm dx\\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{2a}(-x^2+2ax)\;\mathrm dx\\[5pt] &=& \left[- \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{2a}{2}x^2\right]_0^{2a} \\[5pt] &=& \left[- \dfrac{1}{3}x^3 + ax^2\right]_0^{2a} \\[5pt] &=& \left(- \dfrac{1}{3} \cdot (2a)^3 + a \cdot (2a) ^2\right) - 0 \\[5pt] &=& - \dfrac{1}{3} \cdot 8a^3 + 4 a^3 \\[5pt] &=& - \dfrac{8}{3} \cdot a^3 + \dfrac{12}{3} \cdot a^3 \\[5pt] &=& \dfrac{4}{3}a^3 \; [\text{FE}] \end{array}$

2.2

1. Schritt: Koordinaten des Hochpunkts bestimmen

$f$ ableiten:

$\(f$

Notwendige Bedingung für eine Extremstelle anwenden:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Auf das Überprüfen der hinreichenden Bedingung kann verzichtet werden, da der Aufgabenstellung entnommen werden kann, dass es sich bei dem Extremum um einen Hochpunkt handelt.

$x = a$ in $f(x)$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} f(a)&=&-a^2 + 2a \cdot a \\[5pt] &=& -a^2 + 2 a^2 \\[5pt] &=& a^2 \end{array}$

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ hat also die Koordinaten $(a \mid a^2).$

2. Schritt: Flächinhalt berechnen

Da der Hochpunkt des Graphen von $f$ auf der oberen Seite des Quadrats liegt, muss die Seitenlänge des Quadrats $a^2$ betragen. Der Flächeninhalt des Quadrats ist somit $a^2 \cdot a^2 = a^4 \; [\text{FE}].$

3. Schritt: $a$ bestimmen

Gleichsetzen und nach $a$ auflösen:

$\begin{array}[t]{rll} a^4&=& \dfrac{4}{3}a^3&\quad \scriptsize \mid\; -\dfrac{4}{3}a^3 \\[5pt] a^4 -\dfrac{4}{3}a^3 &=& 0 \\[5pt] a^3\left(a- \dfrac{4}{3}\right) &=& 0 \\[5pt] a_1 &=& 0 \\[5pt] a_2 &=& \dfrac{4}{3} \end{array}$

Da $a \in \left]1; + \infty \right[$ , gilt $a = \dfrac{4}{3}.$

3 Analytische Geometrie

3.1

Aus der Geradengleichung von $g$ folgt, $x = \lambda,$ $y = 1$ und $z = 1- \lambda.$

Einsetzen in die Ebenengleichung:

$\begin{array}[t]{rll} \lambda + 1 + 1-\lambda&=& 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] 2 &=& 2 \end{array}$

Jeder Punkt der Gerade erfüllt die Gleichung der Ebene, also liegt $g$ in der Ebene.

3.2

Zwei Geraden sind windschief zueinander, wenn

die Richtungsvektoren der Geraden nicht kollinear sind
sich die Geraden nicht schneiden

1. Schritt: Richtungsvektoren auf Kollinearität prüfen

Der Richtungsvektor von $g$ ist $\pmatrix{1\\ 0 \\-1 }$ und der Richtungsvektor von $h_a$ ist $\pmatrix{1 \\ a\\ 0}.$ Wenn die Vektoren kollinear wären, müssten sie Vielfache voneinander sein.

$s \cdot \pmatrix{1\\ 0 \\-1 } = \pmatrix{1 \\ a\\ 0}$

$g$ und $h_a$ sind nicht kollinear, da $s = 1$ und $-s = 0$ gelten müsste.

2. Schritt: Geraden auf Schnittpunkt prüfen

$g$ und $h_a$ gleichsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} g&=& h_a \\[5pt] \pmatrix{0 \\ 1 \\ 1}+\lambda \cdot\pmatrix{1 \\ 0 \\ -1}&=& \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}+\mu \cdot\pmatrix{1 \\ a \\ 0} \end{array}$

Es ergibt sich fogendes Gleichungssystem:

$\(\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&\lambda&=& \mu &\\ \text{II}\quad&1&=& \mu \cdot a &\quad \\ \text{III}\quad&1-\lambda& = &1&\quad \scriptsize\mid\;-1; \; :(-1) \\ \hline \text{I}\quad&\lambda&=& \mu &\\ \text{II}\quad&1&=& \mu \cdot a &\quad \\ \text{III$

Einsetzen von $\(\text{III$ in $\text{I}$ ergibt $\mu = 0.$ Dann gilt aber $\mu \cdot a = 0,$ was im Widerspruch zu $\text{II}$ steht.

$g$ und $h_a$ schneiden sich nicht und sind somit für jeden Wert von $a$ windschief.

4 Stochastik

4.1

Auf beiden entnommenen Kugeln stehen unterschiedliche Zahlen.

4.2

Die Zufallsgröße $X$ gibt das Produkt der Zahlen an, die auf den beiden entnommenen Kugeln stehen. $X$ kann somit die Werte $2 \cdot 2 = 4,$ $2 \cdot a = 2a$ und $a \cdot a = a^2$ annehmen.
Für die Wahrscheinlichkeiten der unterschiedlichen Werte ergibt sich folgende Tabelle:

$\color{#ffffff}{X}$	$\color{#ffffff}{P(X)}$
$4$	$\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{5} = \left(\dfrac{3}{5}\right)^2$
$2a$	$\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{5}$
$a^2$	$\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{2}{5} = \left( \dfrac{2}{5}\right)^2$

$E(X) = 4 \cdot \dfrac{9}{25} + 2 a \cdot \dfrac{12}{25} + a^2 \cdot \dfrac{4}{25}$

Gleichsetzen und nach $a$ auflösen:

$\begin{array}[t]{rll} 4 \cdot \dfrac{9}{25} + 2 a \cdot \dfrac{12}{25} + a^2 \cdot \dfrac{4}{25}&=& 4 & \quad \scriptsize \mid\; \cdot 25 \\[5pt] 36 + 24 a + 4a^2 &=& 100 &\quad \scriptsize \mid\; -100 \\[5pt] -64 + 24 a + 4a^2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] a^2 +6a-16 &=& 0 \\[5pt] \end{array}$

$pq$ -Formel anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} a_{1,2}&=& -\dfrac{6}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{6}{2}\right)^2-(-16)} \\[5pt] &=& -3 \pm \sqrt{9+16} \\[5pt] &=& -3 \pm \sqrt{25} \\[5pt] &=& -3 \pm 5 \end{array}$

Es ergibt sich also $a_1 = -8$ und $a_2 = 2.$ Da $a$ negativ sein muss, gilt $a = -8.$

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