Analysis
Die Abbildung 1 zeigt modellhaft den Längsschnitt einer dreiteiligen Brücke aus Holz für eine Spielzeugeisenbahn. Die Züge können sowohl über die Brücke fahren als auch darunter hindurch.
Die obere Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen der in 
definierten Funktion 
beschrieben werden. Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von 
dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die 
-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.
1.1
Zeige rechnerisch, dass die obere Randlinie achsensymmetrisch ist.
(2 BE)
1.2
Bestimme rechnerisch die Höhe und die Länge der Brücke.
(zur Kontrolle: Ein Tiefpunkt des Graphen von hat die -Koordinate 2.)
(zur Kontrolle: Ein Tiefpunkt des Graphen von
(5 BE)
1.3
Betrachtet wird derjenige Punkt der oberen Randlinie, der sich am Übergang vom mittleren zum rechten Bauteil befindet.
Prüfe, ob dieser Punkt auf halber Höhe zwischen dem höchsten Punkt der oberen Randlinie und deren rechtem Endpunkt liegt.
Prüfe, ob dieser Punkt auf halber Höhe zwischen dem höchsten Punkt der oberen Randlinie und deren rechtem Endpunkt liegt.
(3 BE)
1.4
Gib die Bedeutung des Terms 
im Sachzusammenhang an und berechne seinen Wert.
(2 BE)
1.5
Berechne die Größe des größten Steigungswinkels der Brücke, der beim Überfahren zu überwinden ist.
(5 BE)
1.6
Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in definierten Funktion 
mit 
beschrieben werden.
1.6.1
In der Abbildung 
ist die Länge einer der beiden Bodenflächen des mittleren Bauteils mit 
bezeichnet.
Bestimme alle Werte von
, die für diese Länge mindestens 
liefern.
Bestimme alle Werte von
(4 BE)
1.6.2
Begründe im Sachzusammenhang, dass für die Beschreibung der unteren Randlinie beliebig große Werte von nicht infrage kommen.
(2 BE)
1.6.3
Für die Brücke gilt 
. Die drei Bauteile der Brücke werden aus massivem Holz hergestellt; 
des Holzes hat eine Masse von 
. Die Brücke ist 
breit. Ermittle die Masse des mittleren Bauteils.
(7 BE)
1.7
Während der Planung der Brückenform kamen zur Beschreibung der oberen Randlinie für das linke Bauteil eine Funktion 
und für das rechte Bauteil eine Funktion 
infrage. Auch bei Verwendung dieser Funktionen wäre die obere Randlinie achsensymmetrisch gewesen.
Beurteile jede der folgenden Aussagen:
Beurteile jede der folgenden Aussagen:
(4 BE)
1.8
Die Form und die Größe der Brücke werden verändert, indem im bisher verwendeten Modell die obere Randlinie des Längsschnitts mithilfe der in definierten Funktion 
beschrieben wird. Die Bauteile der veränderten Brücke lassen sich nach dem in der Abbildung 
dargestellten Prinzip aus einem quaderförmigen Holzblock sägen. Der beim Sägen auftretende Materialverlust soll im Folgenden vernachlässigt werden.
1.8.1
Der Graph von 
ist symmetrisch bezüglich jedes seiner Wendepunkte.
Beschreibe, wie diese Eigenschaft mit dem in der Abbildung dargestellten Prinzip zusammenhängt.
Beschreibe, wie diese Eigenschaft mit dem in der Abbildung
(2 BE)
1.8.2
Ermittle mithilfe des Funktionsterms von den Flächeninhalt der gesamten in der Abbildung gezeigten rechteckigen Vorderseite des Holzblocks.
(4 BE)
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1.1
Der Graph von ist achsensymmetrisch, wenn 
gilt.
Damit ist der Graph von achsensymmetrisch zur y-Achse.
1.2
Höhe der Brücke
Da die Funktion so definiert ist, dass die Brückenmitte über dem Punkt
liegt und die Funktion symmetrisch zur y-Achse liegt, muss der Hochpunkt bei 
liegen. Der höchste Punkt der Brücke hat also die -Koordinate 
.
Die Höhe der Brücke beträgt 
Länge der Brücke
Die beiden Tiefpunkte von geben an, wo die Brücke anfängt bzw. aufhört.
1. Schritt: Ableitungen bilden.
2. Schritt: Potentielle Tiefpunkte mit der notwendigen Bedingung für Extrema bestimmen
![\(\begin{array}[t]{rll}
f](https://mathjax.schullv.de/8de4918b9a166f1bf46307ac6f9e0dd87c6bdf2685a263e8b0f2a09bf1a2179d?color=5a5a5a)
Mit dem Satz des Nullprodukts folgt 
als x-Koordinate für das erste Extremum. Dort befindet sich bekanntlich ein Hochpunkt.
![\(\begin{array}[t]{rll}
0 & = &\dfrac{1}{5}x^2-\dfrac{4}{5} & \quad \scriptsize \mid + \frac{4}{5}\\[5pt]
\dfrac{4}{5} &=& \dfrac{1}{5}x^2 & \quad \scriptsize \mid \cdot 5\\[5pt]
4 & = & x^2& \quad \scriptsize \mid \sqrt{\;}\\[5pt]
\pm 2 & = & x_{2;3}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/60ce7d0b84367f61526b1142988048caf873c52ad385f85942ae4af1fd96ac6f?color=5a5a5a)
Somit liegen bei 
und 
weitere Extrempunkte. Da laut Aufgabenstellung zwei Tiefpunkte existieren, müssen diese an den Stellen 
vorliegen.
3. Schritt: Länge der Brücke bestimmen
Die Länge der Brücke entspricht gerade dem Abstand der-Koordinaten der Tiefpunkte von 
Damit ist die Brücke 
lang.
Da die Funktion so definiert ist, dass die Brückenmitte über dem Punkt
Die beiden Tiefpunkte von
Die Länge der Brücke entspricht gerade dem Abstand der
1.3
Der Punkt, der auf dem Übergang zwischen dem mittleren und dem rechten Bauteil liegt, hat die -Koordinate 
Damit folgt der Funktionswert von an dieser Stelle:
Der maximale Funktionswert und der Funktionswert an der Stelle 
von im Intervall ![\([-2;2]\)](https://mathjax.schullv.de/a81f3ea00c2ef2ac578efb53941c90cd2c26dc653e46e0d1b95d495a4c151746?color=5a5a5a)
lautet:
Damit gilt für die Mitte zwischen diesen beiden Werten gerade 
. Dies entspricht nicht dem Funktionswert von an der Stelle 
. Somit liegt der Punkt der oberen Randlinie, der sich am Übergang vom mittleren zum rechten Bauteil befindet nicht auf halber Höhe zwischen dem höchsten Punkt der oberen Randlinie und deren rechtem Endpunkt.
1.4
Der Term ist der Differenzenquotient zwischen den Punkten 
und 
. Er gibt die mittlere Steigung der oberen Randlinie zwischen diesen Punkten, also dem rechten Bauteil, an.
1.5
1. Schritt: Stellen der stärksten Steigung bestimmen
Die Punkte mit der stärksten Steigung eines Graphen befinden sich an seinen Wendestellen. Mit der notwendigen Bedingung für Wendestellen folgt:![\(\begin{array}[t]{rll}
f](https://mathjax.schullv.de/37b39b521df850fac2ecc31b184ae609ce4b9930d20ae602b0e3841199c515f4?color=5a5a5a)
Mit 
folgt die hinreichende Bedingung für Wendestellen:
Damit liegen bei 
Wendestellen und somit die Stellen mit der größten Steigung vor. Da der größte zu überwindende Steigungswinkel gesucht ist, wird der Steigungswinkel an der Stelle 
gesucht.
2. Schritt: Steigungswinkel berechnen
Der Steigungswinkel an der Stelle lässt sich wie folgt berechnen.
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\alpha)&=& f](https://mathjax.schullv.de/a2a13455830be874ce43e5792660a939785b699caa6db31fce7607144371f389?color=5a5a5a)
Die Größe des größten Steigungswinkels des Brücke beträgt etwa 
Die Punkte mit der stärksten Steigung eines Graphen befinden sich an seinen Wendestellen. Mit der notwendigen Bedingung für Wendestellen folgt:
Der Steigungswinkel an der Stelle
1.6.1
Damit eine Länge von mindestens 
beträgt, muss der Graph von 
bei 
die -Achse schneiden. Dies ist der Fall wenn 
gilt.
Für alle 
beträgt die Länge von mindestens 
1.6.2
Die Größe der Durchfahrt unter der Brücke wird durch den Graphen von vorgegeben. Je größer dabei der Wert von , desto schmaler ist der Graph von q. Wird der Wert von also zu groß, können keine Züge mehr hindurch fahren.
1.6.3
1. Schritt: Nullstellen von berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
q(x) & = & 0 & \quad \scriptsize \\[5pt]
0 & = & 0,8-1,25\cdot x^2 & \quad \scriptsize \mid \; + 1,25x^2\\[5pt]
1,25x^2 & = & 0,8& \quad \scriptsize \mid \; :1,25\\[5pt]
x^2 &= & \dfrac{0,8}{1,25} & \quad \scriptsize \\[5pt]
x &= & \pm 0,8 & \quad \scriptsize \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7a2b4d521f77e721a9983a070f5268a4029458153eed879467eb8edf85aa0014?color=5a5a5a)
2. Schritt: Flächeninhalt der Seitenfläche bestimmen
Der Flächeninhalt der Seitenfläche des mittleren Bauteils setzt sich aus dem Flächeninhalt des Graphen von ohne den Flächeninhalt des Graphen von zusammen. Mit der Achsensymmetrie beider Graphen folgt:
3. Schritt: Masse berechnen
Das Masse des mittleren Bauteils beträgt 
Der Flächeninhalt der Seitenfläche des mittleren Bauteils setzt sich aus dem Flächeninhalt des Graphen von
1.7
1. Aussage
für 
Die Gleichung beschreibt eine Punktsymmetrie bezüglich des Koordinatenursprungs der beiden Graphen und im Bereich . Da sich die Graphen für die äußeren beiden Bauteile eignen, müssen sie jedoch symmetrisch bezüglich der 
-Ache liegen. Damit ist die Aussage falsch.
2. Aussage
für
Die Aussage ist richtig. Die Graphen und liegen, im Bereich des Längsschnitts der oberen Randlinien des linken bzw. rechten Bauteils symmetrisch bezüglich der -Achse. Es gilt:
für 
und
für
und
1.8.1
Abbildung lässt sich entnehmen, dass die mittleren, linken und rechten Bauteile vom Graphen von abhängen. Mit der Symmetrie bezüglich seiner Wendepunkte folgt, dass die mittleren, linken und rechten Bauteile in jedem Abschnitt jeweils die gleiche Form haben.
1.8.2
1. Schritt: Länge des Holzblocks bestimmen
Auf dem Holzblock sind eineinhalb Perioden von zu sehen. Die Periodenlänge von hängt ausschließlich vom Term 
ab und lässt sich wie folgt berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos \left( \dfrac{\pi}{3} x_1 \right)&=& cos(0) &\quad \scriptsize \mid \; \cos(\;)^{-1} \\[5pt]
\dfrac{\pi}{3} x_1 &= & 0 \\[5pt]
x_1& =& 0
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/2a93571826d4b739aeee6a84f3d184e3840f34544416ca52fc461e9067a3b481?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos \left( \dfrac{\pi}{3} x_2 \right)&=& cos(2 \pi) &\quad \scriptsize \mid \; \cos(\;)^{-1} \\[5pt]
\dfrac{\pi}{3} x_2 &= & 2 \pi& \quad \scriptsize \mid \; \cdot \frac{3}{\pi} \\[5pt]
x_2 & = & 6
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/427e277c3178163dd417c9ab606b48af8584e3bf2e786c354f45f3148f9155f9?color=5a5a5a)
Damit beträgt die Periodenlänge 
und die Länge des Holzblocks beträgt 
2. Schritt: Höhe des Holzblocks bestimmen
Aufgrund der Punktsymmetrie bezüglich der Wendepunkte, befindet sich der Graph von an der Stelle 
genau in der Mitte des Holzblocks. Damit lässt sich die Höhe wie folgt berechnen:
3. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Auf dem Holzblock sind eineinhalb Perioden von
Aufgrund der Punktsymmetrie bezüglich der Wendepunkte, befindet sich der Graph von