Analysis

1.1

Ein Teil der Atomkerne eines Präparates ist radioaktiv. Für die Beschreibung der Masse dieser radioaktiven Atomkerne im Präparat kann die Funktion $m$ mit $m(t)=a\cdot\mathrm e^{-k\cdot t}$ und $a,k,t\in\mathbb{R}_0^+$ verwendet werden. Dabei gibt $m(t)$ die Masse der vorhandenen radioaktiven Atomkerne in Milligramm an. Die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit wird mit $t$ in Sekunden angegeben. Zu Beginn der Beobachtung beträgt diese Masse $2000\,\text{mg}$ , $30\,\text{s}$ später noch $1472\,\text{mg}.$

1.1.1

Ermittle für den angegebenen Sachverhalt die Werte von $a$ und $k.$ Runde dabei den Wert von $k$ auf zwei Nachkommastellen.

zur Kontrolle: $a=2000,$ $k\approx 0,01$

Berechne den Zeitpunkt, zu dem sich die Masse der vorhandenen radioaktiven Kerne halbiert hat.

(4 BE)

1.1.2

Die Masse der vorhandenen radioaktiven Atomkerne in Milligramm kann im Zeitraum $0\leq t\leq 220$ näherungsweise auch durch eine lineare Funktion $h$ beschrieben werden.

Dabei gilt: $h(0)=m(0)$ und $h(200)=m(200)$

Zeichne die Graphen der Funktionen $m$ und $h$ in ein gemeinsames Koordinatensystem.

Ermittle eine Gleichung der Funktion $h.$

zur Kontrolle: Anstieg von $h$ etwa $-8,7$

(4 BE)

1.1.3

Berechne den Zeitpunkt $t_1,$ für den sich die durch die Funktionen $m$ und $h$ modellierten Massen am stärksten unterscheiden.

Weise das Maximum nach. Gib das Maximum an.

(6 BE)

1.2

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=2\cdot \mathrm e^{-0,1x}$ mit $x\in\mathbb{R}_0^+$ . $F$ ist diejenige Stammfunktion von $f$ mit $F(0)=0.$

Ermittle eine Gleichung von $F.$

Begründe, dass für den Wertebereich von $F$ gilt: $0\leq y\lt 20$

Zeige, dass gilt: $\(F$

(5 BE)

1.3

Gegeben sind die Funktionen $p_{b;c}$ mit $p_{b;c}(x)=\dfrac{1}{b^2\cdot c}\cdot \mathrm e^{-b\cdot x}$ und $q_{b;c}$ mit $q_{b;c}=c\cdot \mathrm e^{b\cdot x}$ und $x,b,c\in\mathbb{R}^+.$

An derselben Stelle wird jeweils eine Tangente an den Graphen von $p$ und an den Graphen von $q$ gelegt.

Begründe, dass der Schnittwinkel der beiden Tangenten unabhängig von den Parametern $b$ und $c$ ist.

(5 BE)

1.4

Gegeben ist die Funktion $w$ durch $w(x)=x\cdot \sin(x)$ mit $x\in\mathbb{R}.$ Der Graph von $w$ ist $L.$

1.4.1

Begründe, dass folgende Aussagen wahr sind:

I. $L$ ist an der Stelle $x=\dfrac{2}{3}\pi$ rechtsgekrümmt

II: $\int x\cdot \sin(x)\mathrm dx=\sin(x)-x\cdot \cos(x)+c$

(5 BE)

1.4.2

$L$ und die $x$ -Achse begrenzen für $0\leq x\leq 2\pi$ zwei Flächen vollständig.

Berechne das Verhältnis der Inhalte dieser Flächen.

(5 BE)

1.4.3

Für jeden reellen Wert von $u$ wird im Punkt $R(u\mid w(u))$ mit $0\lt u \lt \frac{\pi}{2}$ die Tangente und die Normale an $L$ gelegt.

Ermittle eine Gleichung der Tangente in Abhängigkeit von $u.$

Begründe, dass der Anstieg jeder dieser Normalen negativ ist.

(6 BE)

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1.1.1

Wert von $a:$ $m(0)=2000,$ also $a=2000$

Wert von $k:$

$\begin{array}[t]{rll} m(30)&=&1472 \\[5pt] 2000\cdot \mathrm e^{(-30k)}&=&1472\quad \scriptsize \mid\;:2000\\[5pt] \mathrm e^{(-30k)}&=&\dfrac{1472}{2000}\quad \scriptsize \mid\;\ln()\\[5pt] -30k&=&\ln\left(\dfrac{1472}{2000}\right)\quad \scriptsize \mid\;:(-30)\\[5pt] k&\approx&0,01 \end{array}$

Zeitpunkt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} 2000\cdot \mathrm e^{\left(-0,01\cdot t\right)}&=&1000\quad \scriptsize \mid\;:2000 \\[5pt] \mathrm e^{\left(-0,01\cdot t\right)}&=&\dfrac{1}{2}\quad \scriptsize \mid\;\ln()\\[5pt] -0,01\cdot t&=&\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\quad \scriptsize \mid\;:(-0,01)\\[5pt] t&\approx&69 \end{array}$

Nach 69 Sekunden hat sich die betrachtete Masse halbiert.

1.1.2

Mecklenburg-Vorpommern Abi 2022 Atomkerne Graphen

Die Gleichung von $h$ wird über ein Steigungsdreieck ermittelt. Dazu wird z.B. der Punkt $P(150\mid 700)$ abgelesen.

$\dfrac{\Delta m}{\Delta t}=-\dfrac{1300}{150}\approx -8,7$

$h(t)=-8,7t+2000$

1.1.3

$d(t)=h(t)-m(t)$ $=-8,7t+2000-2000\cdot\mathrm e^{-0,01\cdot t}$

$\(d$

$\(d$ daraus folgt, dass ein lokales Maximum vorliegt

Maximum angeben

$\(\begin{array}[t]{rll} d$

$d(83)$ $=-8,7\cdot 83+2000-2000\cdot \mathrm e^{-0,01\cdot 83}$ $\approx 406$

Überprüfung der Grenzen:

$d(0)=0$ und $d(220)\approx -136,$ d.h. bei $t\approx 83$ liegt ein globales Maximum vor.

1.2

$\int 2\mathrm e^{-0,1x}\mathrm dx$ $=\left\{\frac{2}{-0,1}\cdot \mathrm e^{-0,1x}+c\right\}$ $=\left\{-20\cdot \mathrm e^{-0,1x}+c\right\}$

$\begin{array}[t]{rll} F(0)&=&0 \\[5pt] -20\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 0}+c&=&0 \\[5pt] -20+c&=&0 \quad \scriptsize \mid\;+20 \\[5pt] c&=&20 \end{array}$

$F(x)=20-20\mathrm e^{-0,1x}$

Wertebereich begründen

$F(0)=0$ und $\lim\limits_{x\to\infty}F(x)=20,$ daraus folgt für den Wertebereich $W_F=\left[0,20\right[$

Zeigen, dass gilt...

$\(\begin{array}[t]{rll} 2\mathrm e^{-0,1x}&=&0,1\cdot \left(20-\left(20-20\mathrm e^{-0,1x}\right)\right) \\[5pt] 2\mathrm e^{-0,1x}&=&2\mathrm e^{-0,1x} \\[5pt] F$

1.3

Ableitungsfunktionen aufstellen:

$\(p_{b;c}$

$\(q_{b;c}$

Die beiden Ableitungsfunktionen werden nun miteinander multipliziert:

$\(p_{b;c}$ $=-\dfrac{1}{bc}\cdot \mathrm e^{-bx}\cdot bc\cdot \mathrm e^{bx}$ $=-1\cdot \mathrm e^0=-1$

Wenn die Steigungen von zwei Tangenten miteinander multipliziert werden und $-1$ ergeben, dann sind diese senkrecht zueinander. Der Schnittwinkel beträgt deshalb unabhängig von $b$ und $c$ immer $90^\circ.$

1.4.1

Aussage I

$\(w$

$\(w$ $L$ ist an der Stelle $x=\dfrac{2}{3}\pi$ also rechtsgekrümmt.

Aussage II

$\(\left(\sin(x)-x\cdot \cos(x)\right)$ $=\cos(x)-\left(\cos(x)-x\cdot \sin(x)\right)$ $=x\cdot \sin(x)$

Aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt somit Aussage II.

1.4.2

Zunächst werden die Nullstellen berechnet:

$x\cdot \sin(x)=0,$ daraus folgt: $x_1=0,$ $x_2=\pi$ und $x_3=2\pi$

Inhalt der ersten Fläche:

$A_1=\displaystyle\int_{0}^{\pi}w(x)\;\mathrm dx$ $=[\sin(x)-x\cdot \cos(x)]_0^\pi=\pi-0=\pi$

Inhalt der zweiten Fläche:

$A_2=\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi}w(x)\;\mathrm dx$ $=[\sin(x)-x\cdot \cos(x)]_\pi^{2\pi}=-2\pi-\pi=-3\pi$

Verhältnis berechnen:

$\dfrac{\left|-3\pi\right|}{\pi}=\dfrac{3}{1}$

Das Verhältnis ist also $3:1.$

1.4.3

Tangentengleichung ermitteln

Die allg. Tangentengleichung lautet: $w(u)=m\cdot u+n$

Steigung ermitteln

$\(m=w$

$y$ -Achsen-Abschnitt ermitteln

Die allg. Tangentengleichung umgeformt ergibt:

$n=w(u)-m\cdot u$ $=u\cdot \sin(u)-u(\sin(u)+u\cdot \cos(u))$ $=-u^2\cos(u)$

Die Tangentengleichung lautet also $t(x)=(\sin(u)+u\cdot \cos(u))\cdot x-u^2\cdot \cos(u)$

Begründen

Für $0\lt u\lt\dfrac{\pi}{2}$ sind $\sin(u),$ $u$ und $\cos(u)$ positiv, somit hat jede Tangente mit $m_t=(\sin(u)+u\cdot \cos(u))$ auch einen positiven Anstieg. Jede Normale hat den negativen Anstieg $-\dfrac{1}{m_t}.$

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