Wahlteil B1

Analysis und Stochastik

1.1

Gegeben ist eine Funktionsschar $f_a$ durch die Gleichung

$f_a(x)=\dfrac{x^2-4a}{x^2-a}$ mit $x\in\mathbb{R};a\in\mathbb{R}; a\gt 0; x^2\neq a$ .

Die zugehörige Kurvenschar ist $G_a$

1.1.1

Gib die Gleichungen aller Asymptoten von $G_a$ an.

Berechne die Koordinaten des Extrempunktes von $G_a$ in Abhängigkeit von $a$ und begründe mit Hilfe der ersten Ableitung die Art des Extremums.

Beschreibe das Monotonieverhalten von $G_a$ im gesamten Definitionsbereich.

1.1.2

Für jeden Wert von $a$ schneidet $G_a$ die $x-$ Achse für $x\gt 0$ im Punkt $A$ . Betrachtet werden in $A$ die Tangente $t$ und die Normale $n$ an $G_a$ .

Bestimme je eine Gleichung für $t$ und $n$ in Abhängigkeit von $a$ .

Die Tangente $t$ und die Koordinatenachsen begrenzen das Dreieck $D_t$ .
Die Normale $n$ und die Koordinatenachsen begrenzen das Dreieck $D_n$ .
$D_t$ und $D_n$ rotieren um die $x-$ Achse. Die entstehenden Rotationskörper besitzen die Volumina $V_t$ bzw. $V_n$ .

Ermittle den Wert von $a$ so, dass $V_n$ neunmal so groß ist wie $V_t$ .

1.1.3

Zeige, dass $F_a(x)=\dfrac{3}{2}\sqrt{a}\cdot \mathrm{ln}(x+\sqrt{a})$ - $\dfrac{3}{2}\sqrt{a}\cdot \mathrm{ln}(x-\sqrt{a})+x$

eine Stammfunktion von $f_a$ mit $a\gt 0$ und $x\gt \sqrt{a}$ ist.

1.2

Eine Urne enthält eine rote Kugel, zwei blaue, drei grüne und vier schwarze Kugeln.
Bei einem Spiel zahlt ein Spieler zunächst einen Einsatz in der Höhe $e$ an den Spielleiter. Anschließend zieht der Spieler mit einem Griff drei Kugeln aus der Urne.

Haben alle gezogenen Kugeln die gleiche Farbe, so erhält der Spieler das Achtfache seines Einsatzes vom Spielleiter zurück.
Sind zwei Kugeln blau, so erhält der Spieler das Vierfache seines Einsatzes zurück.
Wurde eine blaue, eine grüne und eine schwarze Kugel gezogen, so erhält der Spieler das Doppelte seines Einsatzes zurück.
Bei allen anderen Ausgängen verliert der Spieler seinen Einsatz.

Gib die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Gewinn des Spielers an.
Entscheide, ob das Spiel fair ist und begründe.

(30P)

1.1.1

$\blacktriangleright$ Asymptoten bestimmen

Du hast die Funktion $f_a$ gegeben und sollst nun die Gleichungen aller Asymptoten bestimmen. Die Funktion $f_a$ ist hierbei mit der Gleichung $f_a(x)=\dfrac{x^2-4a}{x^2-a}$ gegeben.

Nun sollst du zur gegebenen Funktion die Gleichungen aller Asymptoten bestimmen.

Beginne hierbei zunächst mit der senkrechten Asymptote. Eine senkrechte Asymptote liegt vor, wenn der Nenner der Funktion gleich Null ist. Somit folgt für die Gleichung der Asymptoten:

$\begin{array}[t]{rll} x^2-a&=& 0 & \scriptsize \quad \mid \, +a \\[5pt] x^2&=& a & \scriptsize \quad \mid \, \sqrt{} \\[5pt] x_1&=& +\sqrt{a} \\[5pt] x_2&=& -\sqrt{a} \\[5pt] \end{array}$

Für die senkrechten Asymptoten gelten somit die Gleichungen $x_1= +\sqrt{a}$ und $x_2= -\sqrt{a}$ .

Für die waagrechten Asymptoten muss man das Grenzverhalten von $f_a$ untersuchen für $x\to\infty$ . Für die Gleichung der Asymptoten gilt dann $y=\lim\limits_{x\to\infty} f_a(x)$ . Somit folgt:

$\lim\limits_{x\to\infty} f_a(x)= \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{x^2-4a}{x^2-a}$

Hierbei würdest du den Ausdruck $\dfrac{+\infty}{+\infty}$ erhalten. Ist dies der Fall $\left(\text{ oder auch } \dfrac{- \infty}{-\infty}, \dfrac{0}{0}\right)$ kannst du die Regel von l‘Hospital verwenden:

$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{g(x)}{h(x)} = \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{g‘(x)}{h‘(x)}$

Mit der Regel von l‘Hospital folgt:

$\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{x^2-4a}{x^2-a} = 1$

Vollständige Lösung anzeigen

Somit lautet die Gleichung der waagrechten Asymptoten $y=1$ .

Koordinaten des Extrempunktes bestimmen

In dieser Teilaufgabe sollst du die Koordinaten des Extrempunktes von $G_a$ in Abhängigkeit von $a$ bestimmen und mithilfe der ersten Ableitung die Art des Extremums bestimmen.

Du kannst also wie folgt vorgehen:

Bestimme die erste Ableitungsfunktion $f‘$ .
Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f‘(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
Überprüfe das hinreichende Kriterium, mithilfe der ersten Ableitung.
Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& \dfrac{x^2-4a}{x^2-a} \\[5pt] f_a(x)&=& (x^2-4a) \cdot \dfrac{1}{x^2-a}\\[5pt] f_a‘(x)&=& 2x \cdot \dfrac{1}{x^2-a} + (x^2-4a) \cdot (-1) \cdot \dfrac{1}{(x^2-a)^2} \cdot 2x \\[5pt] &=& \dfrac{2x}{x^2-a} - \dfrac{2x\cdot (x^2-4a)}{(x^2-a)^2}\\[5pt] &=& \dfrac{2x\cdot (x^2-a)}{(x^2-a)^2} - \dfrac{2x\cdot (x^2-4a)}{(x^2-a)^2}\\[5pt] &=& \dfrac{2x\cdot (x^2-a-x^2+4a)}{(x^2-a)^2}\\[5pt] &=& \dfrac{6ax}{(x^2-a)^2}\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Durch Gleichsetzen von $f‘(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:

$\begin{array}[t]{rll} f_a ‘(x)&=& 0 \\[5pt] \dfrac{6ax}{(x^2-a)^2}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x^2-a)^2 \\[5pt] 6ax &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:6a \\[5pt] x&=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Somit besitzt $G_a$ bei $x=0$ einen Extrempunkt.

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen und Monotomieverhalten beschreiben.

Die erste Ableitungsfunktion ist mit $f_a ‘(x)=\dfrac{6ax}{(x^2-a)^2}$ gegeben. Nun sollst du mit dieser Ableitung begründen, um welche Art es sich bei diesem Extrempunkt handelt.

Wenn du den Nenner betrachtest weißt du, dass er immer größer Null sein muss, da $x^2\neq 0$ gilt.

Der Zähler der Ableitungsfunktion ist positiv für $x\gt 0$ und negativ für $x\lt 0$ , da $a$ immer größer als Null ist. Somit ist der Graph von $f_a$ für $x\lt 0$ streng monoton fallend und für $x\gt 0$ streng monoton steigend. Daraus folgt, dass es sich bei der Extremstelle, um ein Minimum handeln muss.

4. Schritt: Funktionswert berechnen

Nun sollst du noch den Funktionswert des Extrempunktes berechnen, um die Koordinaten des Extrempunktes anzugeben.

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& \dfrac{x^2-4a}{x^2-a} \\[5pt] f(0)&=& \dfrac{0-4a}{0-a} \\[5pt] &=& 4 \end{array}$

Somit besitzt $G_a$ einen Extrempunkt mit den Koordinaten $(0\mid 4)$ .

1.1.2

$\blacktriangleright$ Tangenten- und Normalengleichung aufstellen

In dieser Aufgabe sollst du die Tangentengleichungen $t$ und die Normalengleichungen $n$ im Punkt $A$ in Abhängigkeit von $a$ bestimmen. Der Punkt $A$ ist als Nullstelle von $f_a$ für $x\gt 0$ gegeben. Berechnen also zuerst die Nullstelle für $x\gt 0$ in Abhängigkeit von $a$ und setze anschließend die Koordinaten von $A$ in die allgemeine Tangenten- und Normalengleichung ein.

Punkt $\boldsymbol{A}$ bestimmen

Zur Berechnung der Nullstelle von $f_a$ musst du $f_a(x)=0$ setzen und nach $x$ auflösen. Somit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& 0 \\[5pt] \dfrac{x^2-4a}{x^2-a} &=& 0 & \scriptsize \quad \mid \, \cdot (x^2-a) \\[5pt] x^2-4a&=& 0 & \scriptsize \quad \mid \, +4a \\[5pt] x^2&=& 4a & \scriptsize \quad \mid \, \sqrt{} \\[5pt] x_1&=& +2\cdot \sqrt{a}\\[5pt] x_2&=& -2\cdot \sqrt{a}\\[5pt] \end{array}$

Da hierbei muss $x=+2\cdot \sqrt{a}$ sein, da $x\gt 0$ gelten muss und $a\gt 0$ gilt. Somit besitzt der Punkt $A$ die Koordinaten $(2\cdot \sqrt{a}\mid 0)$

Tangenten- und Normalengleichung aufstellen

Die allgemeine Tangentengleichung lautet:

$t(x)= f_a ‘(x_1) \cdot (x-x_1)+y_1$

Für die allgemeine Normalengleichung gilt:

$n(x)= - \dfrac{1}{f ‘(x_1)} \cdot (x-x_1)+y_1$

Hiebei geben $x_1$ und $y_1$ die Koordinaten des Punktes $A$ an.

Somit gilt für die Gleichung von $t$ :

$\begin{array}[t]{rll} t(x)&=& f_a ‘(x_1) \cdot (x-x_1)+y_1 \\[5pt] &=& f_a ‘(2\cdot \sqrt{a}) \cdot (x-2\cdot \sqrt{a})+0 \\[5pt] &=& \dfrac{6a\cdot 2\cdot \sqrt{a}}{((2\cdot \sqrt{a})^2-a)^2}\cdot (x-2\cdot \sqrt{a})\\[5pt] &=& \dfrac{12a\cdot \sqrt{a}}{(4a-a)^2} \cdot (x-2\cdot \sqrt{a})\\[5pt] &=& \dfrac{12a\cdot \sqrt{a}}{(3a)^2}\cdot (x-2\cdot \sqrt{a})\\[5pt] &=& \dfrac{12a\cdot \sqrt{a}}{9a^2}\cdot (x-2\cdot \sqrt{a})\\[5pt]\\[5pt] &=& \dfrac{4\cdot \sqrt{a}}{3a}\cdot (x-2\cdot \sqrt{a})\\[5pt]\\[5pt] &=& \dfrac{4\cdot \sqrt{a}}{3a}\cdot x- \dfrac{8}{3}\\[5pt]\\[5pt] \end{array}$

Für die Normalengleichung folgt:

$\begin{array}[t]{rll} n(x)&=& f_a ‘(x_1) \cdot (x-x_1)+y_1 \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{f_a ‘(2\cdot \sqrt{a})} \cdot (x-2\cdot \sqrt{a})+0 \\[5pt] &=& - \dfrac{3a}{4\cdot \sqrt{a}} \cdot (x-2\cdot \sqrt{a})\\[5pt] &=& - \dfrac{3\sqrt{a}}{4} \cdot (x-2\cdot \sqrt{a})\\[5pt] &=& -\dfrac{3\sqrt{a}}{4}\cdot x +\dfrac{3\sqrt{a}}{4} \cdot 2\cdot \sqrt{a})\\[5pt] &=& -\dfrac{3\sqrt{a}}{4}\cdot x +\dfrac{3}{2} \cdot a\\[5pt]\\[5pt] \end{array}$

Volumen der Rotationskörper bestimmen

In dieser Aufgabe bilden die Tangete $t$ und die Normale $n$ zusammen mit den Koordinatenachsen das Dreieck $D_t$ und das Dreieck $D_n$ . Diese Dreiecke rotieren um die $x$ -Achse. Die entstehenden Rotationskörper besitzen die Volumina $V_t$ und $V_n$ . Nun sollst du den Wert von $a$ ermitteln, sodass $V_n$ neunmal so groß ist wie $V_t$ .

In dieser Aufgabe rotieren Dreiecke, um die $x$ -Achse, das bedeutet, dass der entstehende Rotationskörper die Form eines Kegels besitzt. Für das Volumen eines Kegels gilt folgende Formel:

$V=\dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$

Nun musst du dir nur verdeutlichen, welcher Größe in unserem Fall der Höhe $h$ und dem Radium $r$ etspricht.

Der Radius $r$ entspricht genau dem Betrag des $y$ -Achsenabschnitts unserer Tangenten- bzw. Normalenfunktion. Somit folgt:

$r_n=\dfrac{3}{2} \cdot a$ und $r_t=\dfrac{8}{3}$

Nun musst du noch die jeweilige Höhe $h$ bestimmen. Die Höhe $h$ entspricht der Nullstelle der Tangenten- bzw. Normalengleichung. Da die Tangente bzw. die Normale allerdings immer durch die Nullstelle der Funktion $f_a$ geht, weißt du, dass die Nullstelle der Funktion $f_a$ auch mit der Nullstelle der Tangenten- und Normalengleichung übereinstimmt. Dadurch gilt für die entsprechenden Höhen $h_t$ und $h_n$ :

$h_t=h_n=2\cdot \sqrt{a}$

Aus derr Aufgabe ist außerdem bekannt, dass $\dfrac{V_n}{V_t}=9$ gelten muss. Nun kannst du wiefolgt nach $a$ auflösen:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{V_n}{V_t}&=& 9\\[5pt] \dfrac{\dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot r_n^2 \cdot h_n}{\dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot r_t^2 \cdot h_t}&=& 9\\[5pt] \dfrac{\dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot r_n^2 \cdot h_n}{\dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot r_t^2 \cdot h_t}&=& 9\\[5pt] \dfrac{r_n^2}{r_t^2}&=& 9\\[5pt] \dfrac{\left(\frac{3}{2}a\right)^2}{\left(\frac{8}{3}\right)^2}&=& 9\\[5pt] \dfrac{\frac{9}{4}a^2}{\frac{64}{9}}&=& 9\\[5pt] \dfrac{81}{256}a^2&=& 9 & \scriptsize \quad \mid \, \cdot \dfrac{256}{81}\\[5pt] a^2&=& \dfrac{256}{9} & \scriptsize \quad \mid \, \sqrt{}\\[5pt] a&=& \pm \dfrac{16}{3}\\[5pt] \end{array}$

Da $a\gt 0$ sein muss, gilt $a = \dfrac{16}{3}$ .

1.1.3

$\blacktriangleright$ Stammfunktion zeigen

In dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass die Funktion $F_a(x)=\dfrac{3}{2}\cdot \sqrt{a} \cdot \ln(x+ \sqrt{a})-\dfrac{3}{2}\sqrt{a}\cdot \ln(x-\sqrt{a})+x$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Berechne dazu die Ableitung der gegebenen Stammfunktion und überprüfe, ob diese Ableitung mit der Funktion $f_a(x)$ übereinstimmt.

Hierbei musst du wie folgt ableiten und umformen:

$\begin{array}[t]{rll} F_a(x)&=&\dfrac{3}{2}\cdot \sqrt{a} \cdot \ln(x+ \sqrt{a})-\dfrac{3}{2}\sqrt{a}\cdot \ln(x-\sqrt{a})+x &\quad \scriptsize \\[5pt] F_a ‘(x)&=&\dfrac{\frac{3}{2} \sqrt{a}}{x+ \sqrt{a}}- \dfrac{\frac{3}{2} \sqrt{a}}{x- \sqrt{a}}+1 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{3}{2} \sqrt{a} \cdot (x-\sqrt{a})}{(x+ \sqrt{a})\cdot (x-\sqrt{a})}- \dfrac{\frac{3}{2} \sqrt{a}\cdot (x+\sqrt{a})}{(x- \sqrt{a})\cdot (x+\sqrt{a})}+\dfrac{x^2 -a}{x^2 -a}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{\frac{3}{2} \sqrt{a} \cdot x-\frac{3}{2}a}{x^2-a}- \dfrac{\frac{3}{2} \sqrt{a}\cdot x-\frac{3}{2}a}{x^2- a} +\dfrac{x^2 -a}{x^2 -a} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{-\frac{3}{2} a -\frac{3}{2} a+x^2 -a}{x^2-a} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{x^2 -4a}{x^2-a} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Da nun $F_a ‘(x)=f_a(x)$ gilt, ist $F_a$ eine Stammfunktion der Funktion $f_a$ .

1.2

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeitsverteilung angeben

In dieser Aufgabe sollst du eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Gewinn des Spielers angeben. Als Gewinn des Spielers wird hierbei der echte Gewinn bezeichnet, also den erhaltenen Betrag subtrahiert mit dem Einsatz. Stelle hierbei eine Tabelle für die jeweiligen Gewinnstufen auf.

Da hierbei drei Kugeln in einem Griff gezogen werden handelt es sich , um eine ungeordnete Stichprobe ohne zurücklegen. Zunächst musst du also die Anzahl aller Möglichkeiten berechnen, die auftreten können, wenn man mit einem Griff drei Kugeln aus der gegebenen Urne zieht. Anschließend musst du die Anzahl der Möglichkeiten für die verschiedenen Ereignisse berechnen und erhalten so die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

Insgesamt befinden sich $10$ Kugeln in der Urne. Da stets $3$ Kugeln gezogen werden gilt für die Anzahl aller Möglichkeiten $n_{Ges}$ :

$\begin{array}[t]{rll} n_{Ges} &=& \binom{10}{3}\\[5pt] &=& \dfrac{10!}{3!\cdot(10-3)!}\\[5pt] &=& \dfrac{10!}{3!\cdot(10-3)!}\\[5pt] &=& 120\\[5pt] \end{array}$

Somit gilt, dass es insgesamt $120$ Möglichkeiten gibt.

Du weißt außerdem, dass der Spieler bei drei gleichfarbenen Kugeln das achtfache seines Einsatzes zurück bekommt, dass bedeutet, dass er einen Gewinn von $7 \cdot e$ einstreicht. Die Wahrscheinlichkeit drei Kugeln mit der gleichen Farbe zu ziehen setzt sich hierbei wie folgt zusammen:

$P(„\text{drei gleiche} “)=P(„\text{drei schwarze} “) + P(„\text{drei grüne} “)$

Somit musst du die Anzahl der Möglichkeiten drei schwarze Kugeln $n_{3s}$ und drei grüne Kugeln $n_{3g}$ zu ziehen berechnen. Insgesamt gibt es in einer Urne drei grüne Kugeln und vier schwarze Kugeln. Hiermit folgt:

$n_{3s} = \binom{4}{3} =4$

$n_{3g} = \binom{3}{3} =1$

Somit folgt für die Wahrscheinlichkeit drei gleichfarbene Kugeln zu ziehen:

$\begin{array}[t]{rll} P(„\text{drei gleiche} “)&=& P(„\text{drei schwarze} “) + P(„\text{drei grüne} “)\\[5pt] &=& \dfrac{n_{3s}}{n_{Ges}} + \dfrac{n_{3g}}{n_{Ges}}\\[5pt] &=& \dfrac{4}{120} + \dfrac{1}{120}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{24} \\[5pt] \end{array}$

Der Spieler streicht einen Gewinn von $3\cdot e$ ein, falls zwei Kugeln der drei gezogenen Kugeln blau sind. Somit berechnet sich die Anzahl der Möglichkeiten zwei blaue Kugeln aus insgesamt zwei blauen Kugeln und eine andersfarbige aus den restlichen $8$ Kugeln zu ziehen wie folgt:

$n_{2b} = \binom{2}{2} \cdot \binom{8}{1} =8$

Somit folgt für die Wahrscheinlichkeit zwei blaue Kugeln zu ziehen:

$\begin{array}[t]{rll} P(„\text{zwei blaue} “)&=& \dfrac{n_{2b}}{n_{Ges}}\\[5pt] &=& \dfrac{8}{120}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{15} \\[5pt] \end{array}$

Der Spieler streicht einen Gewinn von $e$ ein, falls eine blaue, eine grüne und eine schwarze Kugel gezogen werden. Dieses Ereignis kannst du beispielsweise mit $A$ bezeichnen. Somit berechnet sich die Anzahl der Möglichkeiten $n_{1bgs}$ wie folgt:

$n_{1bgs} = \binom{2}{1} \cdot \binom{3}{1} \cdot \binom{4}{1}=24$

Hiermit folgt für die Wahrscheinlichkeit eine blaue, eine grüne und eine schwarze Kugel zu ziehen:

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& \dfrac{n_{1bgs}}{n_{Ges}}\\[5pt] &=& \dfrac{24}{120}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{5} \\[5pt] \end{array}$

Bei allen anderen Ausgängen des Spiels verliert der Spieler seinen Einsatz. Somit folgt für die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler seinen Einsatz verliert mit dem Gegenereignis:

$\begin{array}[t]{rll} P(„ \text{Verlust} “)&=& 1- P(A) - P(„\text{zwei blaue} “) - P(„\text{drei gleiche} “)\\[5pt] &=& 1 -\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{15} - \dfrac{1}{24}\\[5pt] &=& \dfrac{83}{120}\\[5pt] \end{array}$

Daraus ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:

Gewinn	$-e$	$e$	$3e$	$7e$
Wahrscheinlichkeiten	$\dfrac{83}{120}$	$\dfrac{1}{5}$	$\dfrac{1}{15}$	$\dfrac{1}{24}$

Entscheide, ob das Spiel fair ist

In dieser Teilaufgabe sollst du entscheiden, ob das Spiel fair ist und deine Entscheidung begründen. Hierzu musst du den Erwartungswert berechnen. Falls hierbei $E(X)=0$ gilt, wird das Spiel als fair bezeichnet.

Der Erwartungswert lässt sich mit folgender Formel berechnen:

$E(X) = x_1 \cdot P(X=x_1) +x_2\cdot P(X=x_2) +x_3\cdot P(X=x_3) + x_4 \cdot P(X=x_4)$

Dadurch folgt für den Erwartungswert:

$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& x_1 \cdot P(X=x_1) +x_2\cdot P(X=x_2) +x_3\cdot P(X=x_3) + x_4 \cdot P(X=x_4) \\[5pt] &=& -e \cdot \dfrac{83}{120} +e\cdot \dfrac{1}{5} +3e\cdot\dfrac{1}{15} + 7e \cdot \dfrac{1}{24} \\[5pt] &=& -\dfrac{83}{120}e +\dfrac{1}{5}e +\dfrac{3}{15}e + \dfrac{7}{24}e \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Für den Erwartungswert gilt somit $E(X)=0$ . Deshalb ist das angegebene Spiel fair.