2 Analytische Geometrie

Die Abbildung zeigt den Körper $ABCDEF$ mit $A(6 \mid 3\mid 0),$ $B(0\mid 6\mid 0),$ $C(3 \mid 0 \mid 0),$ $D(6 \mid 3 \mid 6),$ $E(0\mid 6 \mid 6)$ und $F(3 \mid 0 \mid 12).$

2.1

Die Punkte $D,$ $E$ und $F$ liegen in der Ebene $L.$ Ermittle eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $2 x+4 y+3 z-42=0$ )

(4 BE)

2.2

Bestimme die Größe des Winkels, den $L$ mit der $xy$ -Ebene einschließt.

(3 BE)

2.3

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ kann mit dem Term $6 \cdot 6-\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3-2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6$ berechnet werden.
Veranschauliche diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung.

(3 BE)

2.4

Berechne das Volumen des Körpers $ABCDEF.$

(3 BE)

2.5

Die Ebene $N_k$ enthält die $z$ -Achse und den Punkt $P_k(1-k \mid k \mid 0)$ mit $k \in\left] 0 ; 1 \right[.$ Welche Kanten des Körpers von $N_{k}$ geschnitten werden, ist abhängig von $k.$ Durchläuft $k$ alle Werte zwischen $0$ und $1,$ so gibt es Bereiche $\left]a;b \right[,$ für die $N_k$ für alle Werte von $k \in \left] a ; b \right[$ jeweils die gleichen Kanten des Körpers schneidet.
Bestimme den größten dieser Bereiche und gib die zugehörigen Kanten an.

(4 BE)

2.6

Auf der Kante $\overline{AD}$ liegt der Punkt $Q,$ auf der Kante $\overline{BE}$ der Punkt $R(0 \mid 6 \mid 2).$ Das Dreieck $FQR$ hat in $Q$ einen rechten Winkel.
Bestimme die $z$ -Koordinate von $Q.$

(5 BE)

2.7

Der Körper wird so um die Gerade $AB$ gedreht, dass der mit $D$ bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der $xy$ -Ebene liegt und dabei eine positive $y$ -Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit der beschriebenen Drehung:

$\pmatrix{6 \\-3 \\ 0} \circ \left[\pmatrix{0 \\ 6 \\ 0} +\lambda \cdot \pmatrix{6 \\ -3 \\ 0} - \pmatrix{3 \\ 0 \\ 0} \right]=0$ $\Leftrightarrow \lambda=0,8,$ d. h. $S(4,8 \mid 3,6 \mid 0)$

$\overrightarrow{O T}=\overrightarrow{O S}+ \,\bigg \vert \, \overrightarrow{C S} \,\bigg \vert \, \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}$

Formuliere eine passende Aufgabenstellung und gib die Bedeutung von $S$ an.

(3 BE)

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2.1

Ein Normalenvektor von $L$ ergibt sich mit dem Kreuzprodukt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \overrightarrow{DE}\times\overrightarrow{DF} & \\[5pt] &=& \pmatrix{-6\\3\\0}\times \pmatrix{-3\\-3\\6}& \\[5pt] &=& \pmatrix{3\cdot 6-(-3)\cdot 0\\0\cdot (-3)-6\cdot (-6)\\(-6)\cdot (-3)-(-3)\cdot 3}& \\[5pt] &=& \pmatrix{18\\36\\27}& \\[5pt] &=& 9\cdot \pmatrix{2\\4\\3} \end{array}$

Einsetzen in die allgemeine Koordinatengleichung:

$L: 2\cdot x+4\cdot y+3\cdot z-c = 0$

Durch Punktprobe mit $D$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} c&=& 2\cdot 6+4\cdot 3+3\cdot 6 \\[5pt] c &=& 42 \end{array}$

Eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform ist somit gegeben durch:

$L: 2\cdot x+4\cdot y+3\cdot z -42 =0$

2.2

Als ein Normalenvektor der $xy$ -Ebene kann $\pmatrix{0 \\0\\1}$ gewählt und somit der Winkel berechnet werden.

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\varphi)&=&\dfrac{\pmatrix{2\\4\\3}\circ \pmatrix{0\\0\\1}}{\sqrt{2^2+4^2+3^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} \\[5pt] \cos(\varphi)&=& \dfrac{3}{\sqrt{29}} \scriptsize \quad \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \varphi&\approx& 56^{\circ} \\[5pt] \end{array}$

2.3

2.4

Flächeninhalt der Grundfläche:

$\begin{array}[t]{rll} A_{ABC}&=& 6 \cdot 6-\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3-2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6& \\[5pt] &=& \dfrac{27}{2} \;[\text{FE}] \end{array}$

Der Körper kann unterteilt werden in ein dreiseitiges Prisma, dessen Grundfläche das Dreieck $ABC$ bildet, und eine dreiseitige Pyramide mit der Spitze $F$ , welche sich oberhalb des Prismas befindet.

Das Volumen des dreiseitigen Prismas ergibt sich mit:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Prisma}}&=& A_{ABC}\cdot h_{\text{Prisma}}\\[5pt] &=& \dfrac{27}{2} \cdot 6 \\[5pt] &=& 81 \;[\text{VE}] \end{array}$

Das Volumen der dreiseitigen Pyramide folgt durch:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Pyramide}}&=& \dfrac{1}{3}\cdot A_{ABC} \cdot h_{\text{Pyramide}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{27}{2} \cdot 6 \\[5pt] &=& 27 \;[\text{VE}] \end{array}$

Das Gesamtvolumen des Körpers ist also gegeben durch:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& A_{\text{Prisma}}+A_{\text{Pyramide}}& \\[5pt] &=& 81+27& \\[5pt] &=& 108 \;[\text{VE}] \end{array}$

2.5

Es gibt zwei Bereiche, in denen immer jeweils die gleichen Kanten geschnitten werden.

Der erste Bereich liegt in der Abbildung links vom Punkt $A.$ Dort werden durch die Ebene jeweils die Kanten $\overline{AC}, \overline{DF}$ und $\overline{CB}$ geschnitten.

Der zweite Bereich liegt in der Abbildung rechts vom Punkt $A.$ Dort werden jeweils die Kanten $\overline{AB}, \overline{CB},\overline{DE}$ und $\overline{EF}$ geschnitten.

$P_k$ liegt genau dann auf der Strecke $\overline{OA},$ wenn gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x_A}{y_A}&=& \dfrac{x_P}{y_P} & \\[5pt] \dfrac{6}{3}&=& \dfrac{1-k}{k} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot k \\[5pt] 2k&=& 1-k &\quad \scriptsize \mid\; +k \\[5pt] 3k&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] k&=& \dfrac{1}{3} \end{array}$

Der größte Bereich ist somit Bereich 2, der die Kanten $\overline{AB}, \overline{CB},\overline{DE}$ und $\overline{EF}$ schneidet, mit $k\in\; \bigg] \frac{1}{3};1 \bigg[.$

2.6

Sei $q$ die gesuchte $z$ -Koordinate von $Q$ , dann gilt:

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{Q R} \circ \overrightarrow{Q F}&=& 0&\\[5pt] &...& \\[5pt] q_1 &=& 3 \\[5pt] q_2 &=& 11 \end{array}$

Da $Q$ auf der Kante $\overline{BE}$ liegt, kommt für die $z$ -Koordinate nur $q_1=3$ infrage.

2.7

Aufgabenstellung formulieren

„Der mit $C$ bezeichnete Eckpunkt des Körpers wird nach der Drehung mit $T$ bezeichnet. Ermittle die Koordinaten von $T.$ "

Bedeutung angeben

Der Punkt $S$ ist der Fußpunkt des Lots von $C$ auf die Gerade durch $A$ und $B.$

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