Wahlteil B2

Ein Logistikunternehmen testet auf einer Strecke zwischen Festland und einer Insel die Paketzustellung mithilfe eines Flugkörpers, einer sogenannten Drohne. In einem kartesischen Koordinatensystem wird das horizontale Gelände, über dem sich die Drohne bewegt, modellhaft durch die $xy$ -Ebene darstellt, die Lage des Startplatzes durch den Punkt $S (7320 \mid -1750 \mid 0)$ und die Lage des regulären Landeplatzes durch den Punkt $L (-990 \mid 6990 \mid 0 )$ .

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
Die Drohne soll über dem Startplatz zunächst vertikal aufsteigen, bis sie eine Höhe von $50 \, \text m$ erreicht hat, und anschließend geradlinig in konstanter Geschwindigkeit in die Richtung des Landeplatzes fliegen. Die vorgesehene horizontale Flugbahn der Drohne verläuft im Modell entlang der Gerade $g: \overrightarrow{x} = \pmatrix{7320\\-1750\\50} + r\cdot \pmatrix{-8310\\8740\\0}$ mit $\text r\in\mathbb{R}$ .

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2.1

$100$ Sekunden nachdem die Drohne die Höhe von $50 \text m$ erreicht hat, wird ihre Position durch den Punkt $P(6489 \mid -876 \mid 50)$ dargestellt.

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2.1.1

Zeige, dass sich die Drohne auf der vorgesehenen Flugbahn befindet.
Bestimme die Koordinaten des Punkts, der die Position der Drohne nach weiteren $200$ Sekunden Flugzeiten auf der vorgesehenen Flugbahn darstellt.

(3 BE)

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2.1.2

Bestimme die Geschwindigkeit der Drohne während des horizontalen Flugs.

(2 BE)

$\,$

2.2

Die Drohne soll ihren Weg zum Landeplatz selbstständig zurücklegen können. Während der Testphase wird ihr Flug jedoch von einer Bodenstation aus überwacht und die Flugbahn bei Bedarf korrigiert. Die Position der Bodenstation aus überwacht und die Flugbahn bei Bedarf korrigiert. Die Position der Bodenstation wird durch den Punkt $B (0\mid 0 \mid 0)$ dargestellt, ihre Reichweite beträgt $6000 \, \text m$

Weise nach, dass sich die Drohne auf dem horizontalen Teil der vorgesehenen Flugbahn über eine Strecke von mehr als $8,5 \, \text {km}$ innerhalb der Reichweite der Bodenstation befindet.

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2.3

Einer Korrektur der Bodenstation folgend weicht die Drohne im Modell im Punkt $Q (3996 \mid 1746 \mid 50)$ von der vorgesehenen Flugbahn ab und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von $5 \dfrac{\text m}{\text s}$ geradlinig auf einen Ausweichlandeplatz zu, der durch den Punkt $A (4050 \mid 1810 \mid 0)$ dargestellt wird.

$\,$

2.3.1

Bestimme die Größe des Neigungswinkels der Flugbahn gegenüber dem Gelände beim Anflug auf den Ausweichlandeplatz.

(3 BE)

$\,$

2.3.2

Berechne, um wie viele Meter sich die Flughöhe pro Sekunde verringert.

(3 BE)

In der Nähe des Startplatzes der Drohne auf dem Festland befindet sich ein Schwimmbad.

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2.4

Für das Schwimmbad besitzen 2000 Personen eine Jahreskarte. Für einen bestimmten Tag beschreibt die Zufallsgröße $X$ die Anzahl an Jahreskartenbesitzer, die das Schwimmbad besuchen. Vereinfachend soll davon ausgegangen werden, dasss $X$ binomialverteilt ist. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Jahreskartenbesitzer an diesem Tag das Schwimmbad besucht, $10 \,\%$

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2.4.1

Es gilt $P(X=210) \approx 2,2\,\%$ .
Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang.

(2 BE)

$\,$

2.4.2

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass am betrachteten Tag mehr als $210$ Jahreskartenbesitzer das Schwimmbad besuchen.

(2 BE)

$\,$

2.4.3

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von $X$ höchstens um eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße abweicht.

(5 BE)

$\,$

2.4.4

Bestimme die größte natürliche Zahl $k$ , für die die Wahrscheinlichkeit dafür, dass am betrachteten Tag weniger als $k$ Jahreskartenbesitzer das Schwimmbad besuchen, kleiner als $10 \,\%$ ist.

(3 BE)

$\,$

2.4.5

Beschreibe im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, das durch das abgebildete Baumdiagramm dargestellt wird.
Gib ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit $1-(\text {r+s})$ beträgt.

Baumdiagramm mit Entscheidungswegen und Wahrscheinlichkeiten.

(2 BE)

2.1.1

Position überprüfen

Damit sich die Drohne auf der vorgesehenen Flugbahn befindet muss folgendes für ein $r\in \mathbb{R}$ gelten:

$\pmatrix{6489 \\ -876 \\ 50} = \pmatrix{7320\\-1750\\50} + r\cdot \pmatrix{-8310\\8740\\0}$

Für die erste Zeile gilt:

$\begin{array}[t]{rll} 6489&=& 7320 -8310r&\quad \scriptsize \mid\; -7320\\[5pt] - 831&=& -8310r &\quad \scriptsize \mid\; :(-8310) \\[5pt] 0,1 &=& r \end{array}$

Einsetzen in die Geradengleichung liefert:

$...= \pmatrix{6489 \\ -876 \\ 50}$

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Der Punkt $P$ erfüllt also die Geradengleichung von $g.$ Die Drohne befindet sich in dieser Position also auf ihrer vorgesehenen Flugbahn.

Position bestimmen

Da für $r=0,1$ die Position der Drohne nach $100$ Sekunden beschrieben wird, wird sie nach $300$ Sekunden mit $r=0,3$ dargestellt:

$... = \pmatrix{4827 \\ 872\\50}$

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Nach weiteren $200$ Sekunden wird die Position der Drohne durch die Koordinaten $(4827 \mid 872\mid50)$ beschrieben.

2.1.2

Da die Gerade $g$ für $r=0,1$ die Position der Drohne nach $100$ Sekunden beschreibt, gilt:
Innerhalb von $1000$ Sekunden legt die Drohne einen Weg zurück, dessen Länge der Länge des Richtungsvektors der Geraden entspricht. Zur Berechnung des entsprechenden Vektorbetrags kannst du auch den norm-Befehl deines CAS verwenden.

$\approx 12060,00 \,[\text{m}]$

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In $1000$ Sekunden legt die Drohne während des horizontalen Flugs also ca. $1206,00\,\text{m}$ zurück. Dies entspricht einer Geschwindigkeit von ca. $12\,\frac{\text{m}}{\text{s}}.$

2.2

Während des horizontalen Fluges wird die Position der Drohne durch die Punkte der Geraden $g$ beschrieben. Diese Punkte haben die Koordinaten:

$P_r(7320 - 8310r \mid -1750 +8740r \mid 50)$

Gesucht ist nun der Bereich, in dem sich $P_r$ befinden kann, sodass er von $B$ noch einen Abstand von höchstens $6000$ besitzt. Der Abstand wird in Abhängigkeit von $r$ durch $\left|\overrightarrow{BP_r} \right|$ beschrieben.
Bestimme also $r,$ sodass $\left|\overrightarrow{BP_r} \right| \leq 6000$ ist.

$...\leq 6000$

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Löse nun die Gleichung

$...=6000$

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mit dem solve-Befehl deines CAS:

$0,1601\leq r \leq 0,8867.$

$r= 0,1601$ entspricht der Position $P_2(5989,569 \mid -350,726 \mid 50),$ $r= 0,8867$ entspricht der Position $P_3(-48,477 \mid 5999,758 \mid 50).$

Die Länge der Strecke zwischen diesen beiden Positionen kannst du wieder über den Vektorbetrag berechnen:

$\approx 8763 \, \text{[m]}$

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Auf einer Strecke von ca. $8763 \, \text{m}$ befindet sich die Drohne also in Reichweite der Bodenstation. Dieser Teil der Flugstrecke ist länger als $8,5\,\text{km}.$

2.3.1

Die abgeänderte Flugbahn kann durch die Gerade mit der folgenden Gleichung beschrieben werden:

$h: \, \overrightarrow{x} = ...$

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Der Neigungswinkel der abgeänderten Flugbahn gegenüber dem Gelände entspricht dem Schnittwinkel der Geraden $h$ mit der $xy$ -Ebene, die durch die Gleichung $z=0$ beschrieben werden kann.
Ein Normalenvektor dieser Ebene ist $\overrightarrow{n}_z = \pmatrix{0\\0\\1}.$ Mit der Formel für den Schnittwinkel $\alpha$ einer Gerade und einer Ebene folgt:

$\alpha \approx 30,8^{\circ}$

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Der Neigungswinkel der abgeänderten Flugbahn gegenüber dem Gelände ist ca. $31^{\circ}$ groß.

2.3.2

Vom Punkt $Q$ zum Punkt $A$ verringert die Drohne ihre Höhe um $50\,\text{m}.$ Berechne die Zeit, die die Drohne für diese Strecke benötigt, indem du zunächst die Länge der Strecke berechnest, die die Drohne dabei zurücklegt:

$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{QA} \right|&=& \left| \pmatrix{54\\64 \\-50} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{9512} \end{array}$

Die Drohne legt auf dem Weg also eine Strecke von $\sqrt{9512} \,\text{m}$ zurück. Sie fliegt mit einer Geschwindigkeit von $5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}.$ Sie benötigt für diese Strecke also:

$\sqrt{9512} \,\text{m} : 5\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = \frac{\sqrt{9512} }{5}\,\text{s}$

In $\frac{\sqrt{9512} }{5}\,\text{s}$ verringert die Drohne ihre Höhe also um $50\,\text{m}.$

Die Höhe pro Sekunde ergibt sich daher zu:

$50\,\text{m} : \frac{\sqrt{9512} }{5}\,\text{s} \approx 2,56\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Pro Sekunde verringert sich die Flughöhe der Drohne um ca. $2,56\,\text{m}.$

2.4.1

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $2,2\,\%$ besuchen an einem bestimmten Tag genau $210$ Jahreskartenbesitzer das Schwimmbad.

2.4.2

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 5 $\to$ 5 $\to$ E: Binomial Cdf

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf

$P(X\gt 210)\approx 21,6\,\%$

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Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $21,6\,\%$ besuchen mehr als $210$ Jahreskartenbesitzer das Schwimmbad.

2.4.3

Da $X$ binomialverteilt ist, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& 200\\[10pt] \sigma(X)&\approx& 13,4 \\[5pt] \end{array}$

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Für die Wahrscheinlichkeit folgt:

$...\approx 37,2\,\%$

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Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $37,2\,\%$ weicht der Wert von $X$ um höchstens eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße ab.

2.4.4

Gesucht ist das größte $k$ mit: