SchulLV

Aufgabenstellung

Eine Firma stellt Bodenfliesen aus Keramik her. Damit eine Fliese als „1. Wahl“ gilt, muss sie strenge Qualitätsnormen erfüllen. Alle anderen Fliesen werden als „2. Wahl“ bezeichnet.

Eine Fliese ist erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von $p = 0,2$ „2. Wahl“ (d. h. mit der Wahrscheinlichkeit von 0,8 „1. Wahl“), unabhängig von allen anderen Fliesen.

Jede Packung enthält 20 Fliesen.

a) (1) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung genau vier „2. Wahl“-Fliesen enthalten sind.

(2P)

(2) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung mindestens $90\,$ % der Fliesen die Qualität „1. Wahl“ haben.

(3P)

(3) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen höchstens um 2 von der erwarteten Anzahl abweicht.

(4P)

b) Die 20 Fliesen einer Packung wurden in 4 Reihen mit jeweils 5 Fliesen verlegt.

(1) Bestimme die Wahrscheinlichkeit $\tilde{p}$ dafür, dass eine zufällig ausgewählte Reihe nur „1. Wahl“-Fliesen enthält. [Kontrollergebnis $\tilde{p}=0,32768$ ]

(2P)

(2) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es mindestens eine Reihe gibt, die nur „1. Wahl“-Fliesen enthält.

(5P)

(3) In einer Reihe wurden sogar genau zwei Fliesen der Qualität „2. Wahl“ verlegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Fliesen direkt nebeneinander liegen.

(6P)

c) Für besonders anspruchsvolle Kunden soll eine Sorte „Premium“ angeboten werden, die nur aus „1. Wahl“-Fliesen besteht.
Dazu will die Firma die „2. Wahl“-Fliesen aus der Produktion aussortieren. Für einen ersten Sortiervorgang wird ein Testgerät verwendet, das allerdings nicht immer optimal funktioniert:
Das Testgerät erkennt eine „2. Wahl“-Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 und sortiert sie aus. Andererseits wird eine „1. Wahl“-Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,05 zu Unrecht als „2. Wahl“ aussortiert.

(1) Stelle die Situation graphisch dar (mit einer Vierfeldertafel oder einem Baumdiagramm mit allen Pfadwahrscheinlichkeiten).
Gib die Wahrscheinlichkeit an, mit der das Testgerät eine zufällig ausgewählte Fliese als „1. Wahl“ einstuft (also nicht aussortiert).

(8P)

(2) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Fliese, die bei der Prüfung nicht aussortiert wurde, in Wirklichkeit eine „2. Wahl“-Fliese ist.

(4P)

d) Die Maschine, mit der die Fliesen hergestellt werden, wird neu eingestellt, da die „2. Wahl“-Wahrscheinlichkeit von $p = 0,2$ zu groß ist. Der Produktionsleiter möchte mit einem Test überprüfen, ob die neue Einstellung tatsächlich zu einer Verringerung des Ausschussanteils geführt hat. Er entnimmt daher der Tagesproduktion der neu eingestellten Maschine zufällig 100 Fliesen und lässt die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen in dieser Stichprobe bestimmen.

(1) Ermittle einen geeigneten Hypothesentest (gib geeignete Hypothesen an, begründe die Wahl von $H_0$ und ermittle eine Entscheidungsregel) für die genannte Stichprobe von 100 Fliesen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens $5\,$ %.

(11P)

(2) Die Wahrscheinlichkeit für „2. Wahl“-Fliesen wurde durch die neue Einstellung tatsächlich auf $p = 0,15$ gesenkt.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ihre Entscheidungsregel aus (1) zu einer Fehlentscheidung führt.

(5P)

Tabelle 1: $\sigma$ - Regeln für Binomialverteilungen

Eine mit den Parametern $n$ und $p$ binomialverteilte Zufallsgröße $X$ hat den Erwartungswert $\mu=n\cdot p$ und die Standardabweichung $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$ .
Wenn die LAPLACE-Bedingung $\sigma \gt 3$ erfüllt ist, gelten die $\sigma$ -Regeln:

Tabelle 2: Kumulierte Binomialverteilung für n=10 und n=20

$F(n;p;k)=B(n;p;0)+...+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+...+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$

Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. $p\geq0,5$ , gilt: $F(n;p;k)=1-$ abgelesener Wert

Tabelle 3: Kumulierte Binomialverteilung für n=100

$F(n;p;k)=B(n;p;0)+...+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+...+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$

Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. $p\geq0,5$ , gilt: $F(n;p;k)=1-$ abgelesener Wert

Tabelle 4: Normalverteilung

$\phi(z)=0,...$
$\phi(-z)=1-\phi(z)$

Beispiele für den Gebrauch:

$\phi(2,32)=0,9898$

$\phi(z)=0,994\Rightarrow z=2,51$

$\phi(-0,9)=1-\phi(0,9)=0,1841$