Aufgabe 5

Aufgabenstellung

Eine Firma stellt Bodenfliesen aus Keramik her. Damit eine Fliese als „1. Wahl“ gilt, muss sie strenge Qualitätsnormen erfüllen. Alle anderen Fliesen werden als „2. Wahl“ bezeichnet.

Eine Fliese ist erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von $p = 0,2$ „2. Wahl“ (d. h. mit der Wahrscheinlichkeit von 0,8 „1. Wahl“), unabhängig von allen anderen Fliesen.

Jede Packung enthält 20 Fliesen.

a) (1) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung genau vier „2. Wahl“-Fliesen enthalten sind.

(2P)

(2) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung mindestens $90\,$ % der Fliesen die Qualität „1. Wahl“ haben.

(3P)

(3) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen höchstens um 2 von der erwarteten Anzahl abweicht.

(4P)

b) Die 20 Fliesen einer Packung wurden in 4 Reihen mit jeweils 5 Fliesen verlegt.

(1) Bestimme die Wahrscheinlichkeit $\tilde{p}$ dafür, dass eine zufällig ausgewählte Reihe nur „1. Wahl“-Fliesen enthält. [Kontrollergebnis $\tilde{p}=0,32768$ ]

(2P)

(2) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es mindestens eine Reihe gibt, die nur „1. Wahl“-Fliesen enthält.

(5P)

(3) In einer Reihe wurden sogar genau zwei Fliesen der Qualität „2. Wahl“ verlegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Fliesen direkt nebeneinander liegen.

(6P)

c) Für besonders anspruchsvolle Kunden soll eine Sorte „Premium“ angeboten werden, die nur aus „1. Wahl“-Fliesen besteht.
Dazu will die Firma die „2. Wahl“-Fliesen aus der Produktion aussortieren. Für einen ersten Sortiervorgang wird ein Testgerät verwendet, das allerdings nicht immer optimal funktioniert:
Das Testgerät erkennt eine „2. Wahl“-Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 und sortiert sie aus. Andererseits wird eine „1. Wahl“-Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,05 zu Unrecht als „2. Wahl“ aussortiert.

(1) Stelle die Situation graphisch dar (mit einer Vierfeldertafel oder einem Baumdiagramm mit allen Pfadwahrscheinlichkeiten).
Gib die Wahrscheinlichkeit an, mit der das Testgerät eine zufällig ausgewählte Fliese als „1. Wahl“ einstuft (also nicht aussortiert).

(8P)

(2) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Fliese, die bei der Prüfung nicht aussortiert wurde, in Wirklichkeit eine „2. Wahl“-Fliese ist.

(4P)

d) Die Maschine, mit der die Fliesen hergestellt werden, wird neu eingestellt, da die „2. Wahl“-Wahrscheinlichkeit von $p = 0,2$ zu groß ist. Der Produktionsleiter möchte mit einem Test überprüfen, ob die neue Einstellung tatsächlich zu einer Verringerung des Ausschussanteils geführt hat. Er entnimmt daher der Tagesproduktion der neu eingestellten Maschine zufällig 100 Fliesen und lässt die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen in dieser Stichprobe bestimmen.

(1) Ermittle einen geeigneten Hypothesentest (gib geeignete Hypothesen an, begründe die Wahl von $H_0$ und ermittle eine Entscheidungsregel) für die genannte Stichprobe von 100 Fliesen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens $5\,$ %.

(11P)

(2) Die Wahrscheinlichkeit für „2. Wahl“-Fliesen wurde durch die neue Einstellung tatsächlich auf $p = 0,15$ gesenkt.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ihre Entscheidungsregel aus (1) zu einer Fehlentscheidung führt.

(5P)

Tabelle 1: $\sigma$ - Regeln für Binomialverteilungen

Eine mit den Parametern $n$ und $p$ binomialverteilte Zufallsgröße $X$ hat den Erwartungswert $\mu=n\cdot p$ und die Standardabweichung $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$ .
Wenn die LAPLACE-Bedingung $\sigma \gt 3$ erfüllt ist, gelten die $\sigma$ -Regeln:

Tabelle mit Wahrscheinlichkeiten in Bezug auf statistische Werte und Normalverteilung.

Tabelle 2: Kumulierte Binomialverteilung für n=10 und n=20

$F(n;p;k)=B(n;p;0)+...+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+...+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$

Tabelle mit statistischen Werten und Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Parameter.

Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. $p\geq0,5$ , gilt: $F(n;p;k)=1-$ abgelesener Wert

Tabelle 3: Kumulierte Binomialverteilung für n=100

$F(n;p;k)=B(n;p;0)+...+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+...+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$

Tabelle mit numerischen Werten und Berechnungen in einem Rasterformat.

Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. $p\geq0,5$ , gilt: $F(n;p;k)=1-$ abgelesener Wert

Tabelle 4: Normalverteilung

$\phi(z)=0,...$
$\phi(-z)=1-\phi(z)$

Tabelle mit Zahlenwerten in mehreren Spalten und Zeilen, möglicherweise für mathematische oder statistische Zwecke.

Beispiele für den Gebrauch:

$\phi(2,32)=0,9898$

$\phi(z)=0,994\Rightarrow z=2,51$

$\phi(-0,9)=1-\phi(0,9)=0,1841$

a) (1)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass in einer Packung, die aus $20$ Fliesen besteht, genau vier „2.Wahl“-Fliesen enthalten sind.

Betrachte dazu die Zufallsvariable $X$ , die die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen in einer zufällig ausgewählten Packung beschreibt. Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit

$P(X =4)$

Da in der Aufgabenstellung angegeben ist, dass die Produktion stochastisch unabhängig ist und man davon ausgehen kann, dass jede Fliese die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt „2. Wahl“ oder „1. Wahl“ zu sein, kannst du annehmen, dass $X$ binomialverteilt ist. Die Parameter lauten hier $n =20$ und $p = 0,2$ . Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du mit dem CAS bestimmen:

5:Wahrscheinlichkeiten 5:Verteilungen D:Binomial Pdf

Screenshot eines Taschenrechners mit einer Berechnung zur binomialen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $21,82\,\%$ sind in einer Packung genau vier „2. Wahl“-Fliesen enthalten.

(2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass in einer Packung mindestens $90\,\%$ der Fliesen „1.Wahl“-Fliesen sind. Berechne dazu zunächst, wie viele Fliesen es demnach mindestens sein müssen, um die $90\,\%$ -Grenze zu erreichen und forme diese Aussage in eine Aussage über die „2. Wahl“-Fliesen um. Betrachtest du dann wieder die Zufallsvariable $X$ , so hat die gesuchte Wahrscheinlichkeit die Form $P(X\leq k)$ . Du kannst nun die kumulierte Binomialverteilung verwenden.

1. Schritt: Minimale Anzahl an „1. Wahl“-Fliesen berechnen

Mindestens $90\,\%$ der Fliesen sollen „1. Wahl“-Fliesen sein:

$90\,\% \cdot 20 = 18$

Es sollen mindestens $18$ Fliesen aus der Packung mit 20 Fliesen „1. Wahl“-Fliesen sein. Dies ist genau dann der Fall, wenn sich höchstens $2$ „2. Wahl“-Fliesen in der Packung befinden. Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit $P(X \leq 2)$ .

2. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen

Um eine Wahrscheinlichkeit der Form $P(X \leq k)$ zu bestimmen, kannst du die Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung oder den binomcdf-Befehl deines CAS verwenden.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg A: CAS

5:Wahrscheinlichkeiten 5:Verteilungen E:Binomial Cdf

Berechnung mit einer statistischen Funktion auf einem Bildschirm.

$P(X\leq 2) \approx 0,2061 = 20,61\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $20,61\,\%$ befinden sich in einer Packung mindestens $90\,\%$ „1. Wahl“-Fliesen.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg B: Tabelle

Lies aus der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung für $n =20$ den Wert aus der Spalte für $p = 0,2$ und der Zeile für $k =2$ ab. So erhältst du folgendes Ergebnis:

$P(X\leq 2) \approx 0,2061 = 20,61\,\%$ .

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $20,61\,\%$ befinden sich in einer Packung mindestens $90\,\%$ „1. Wahl“-Fliesen.

(3)

$\blacktriangleright$ Bestimmen der Wahrscheinlichkeit

Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass in einer Packung die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen höchstens um $2$ von der erwarteten Anzahl abweicht. Bestimme dazu zuerst die erwartete Anzahl an „2. Wahl“-Fliesen, mit der du den gesuchten Bereich an Fliesen bestimmen kannst. Betrachtest du dann wieder die Zufallsvariable $X$ , so kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit in Wahrscheinlichkeiten der Form $P(X\leq k)$ umformen. Du kannst nun die kumulierte Binomialverteilung oder wie in (2) deinen CAS verwenden.

1. Schritt: Erwartete Anzahl bestimmen

In einer Packung sind $20$ Fliesen. Mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,2$ ist eine Fliese „2. Wahl“. Dementsprechend ist die erwartete Anzahl an Fliesen:

$20 \cdot 0,2=4$

Die Anzahl an „2. Wahl“-Fliesen soll höchstens um $2$ von der erwarteten Anzahl abweichen, also befindet sich $X$ zwischen $2$ und $6$ , d.h. $2 \leq X \leq 6$ .

2. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen

Berechne demnach die Wahrscheinlichkeit $P\left(2 \leq X \leq 6\right)$ . Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich folgendermaßen umschreiben:

$P\left(2 \leq X \leq 6\right)= P(X \leq 6) - P(X \leq 1)$

Diese beiden Werte kannst du aus der Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung für $n=20$ , $\,p=0,2$ und $k=6$ bzw. $k=1$ ablesen oder mit dem Binomcdf-Befehl deines CAS bestimmen. Du erhältst:

$P\left(2 \leq X \leq 6\right)= P(X \leq 6) - P(X \leq 1) \approx 0,9133 - 0,0692 = 0,8441 = 84,41 \,\%$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen höchstens um $2$ von der erwarteten Anzahl abweicht, liegt bei ca. $84,41\,\%$ .

b) (1)

$\blacktriangleright$ Bestimmen der Wahrscheinlichkeit

Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass alle Fliesen in einer zufällig ausgewählten Reihe, die aus $5$ Fliesen besteht, „1. Wahl“-Fliesen sind. Betrachte dazu die Zufallsvariable $Y$ , die die Anzahl der „1. Wahl“-Fliesen in einer Reihe beschreibt. Diese ist aus den gleichen Gründen wie $X$ binomialverteilt, allerdings mit den Parametern $n = 5$ und $p = 0,8$ .
Gesucht ist dann die Wahrscheinlichkeit $P(Y =5)$ . Diese lässt sich wieder mit der Formel für die Binomialverteilung oder dem Binompdf-Befehl deines CAS berechnen. In beiden Fällen erhältst du folgendes Ergebnis:

$\begin{array}[t]{rll} P(Y=5)&=&\binom{5}{5}\cdot 0,8^5\cdot 0,2^0 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,8 ^5 &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 0,32768 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 32,768\,\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $\widetilde{p} = 0,32768 = 32,768\,\%$ besteht eine zufällig ausgewählte Reihe nur aus „1. Wahl“-Fliesen .

(2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit ermitteln

Hier sollst du nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass es unter den $4$ Reihen mindestens eine gibt, die nur „1. Wahl“-Fliesen enthält. Betrachte dazu die Zufallsvariable $R$ , die die zufällige Anzahl der Reihen beschreibt, die nur aus „1. Wahl“-Fliesen bestehen. Dann ist $R$ binomialverteilt mit den Parametern $n =4$ und $p = \widetilde{p}= 0, 32768$ , da jede der $4$ Reihen die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt nur aus „1. Wahl“-Fliesen zu bestehen und die Besetzung einer Reihe nicht von der Besetzung der übrigen Reihen abhängt.

Gesucht ist demnach nun die Wahrscheinlichkeit $P(R \geq 1)$ , welche du wieder wie oben berechnen kannst:

$\begin{array}[t]{rll} P(R \geq 1)&=&1- P(R \leq 0) &\quad \scriptsize\\[5pt] &=& 1-P(R =0)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&1- \binom{4}{0}\cdot 0, 32768^0\cdot (1-0, 32768)^4 &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&0,7957 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&79,57\,\% &\quad \scriptsize \\ \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $79,57\,\%$ gibt es unter den $4$ Reihen mindestens eine Reihe, die nur aus „1. Wahl“-Fliesen besteht.

(3)

$\blacktriangleright$ Bestimmen der Wahrscheinlichkeit

Hier ist nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, dass in einer Reihe mit $2$ Fliesen „2. Wahl“ diese Fliesen direkt nebeneinander liegen. Nenne dieses Ereignis $A$ . Jede Reihenfolge tritt mit derselben Wahrscheinlichkeit auf, also kannst du die Wahrscheinlichkeit folgendermaßen nach Laplace berechnen:

$P(A)=\dfrac{\text{Anzahl der Reihenfolgen die Fliesen so anzuordnen, dass } A \text{ gilt}} {\text{Anzahl der Reihenfolgen die Fliesen anzuordnen}}$

1. Schritt: Anzahl der Reihenfolgen die Fliesen anzuordnen

Du verteilst $2$ „2. Wahl“-Fliesen auf $5$ Plätze, der Rest wird mit „1. Wahl“-Fliesen aufgefüllt. Es handelt sich hierbei also um das Ziehen aus einer ungeordneten Stichprobe ohne Zurücklegen. Damit gibt es also $\begin{pmatrix}5\\ 2\end{pmatrix}=10$ Möglichkeiten die Fliesen anzuordnen.

2. Schritt: Anzahl der Reihenfolgen die Fliesen so anzuordnen, dass A gilt

Nummeriere hierzu die $5$ Plätze der Reihe mit den Zahlen $1$ bis $5$ durch. Nun hast du folgende Möglichkeiten, dass die beiden Fliesen nebeneinander liegen: $(1,2)$ , $(2,3)$ , $(3,4)$ und $(4,5)$ . Dies sind also $4$ Möglichkeiten.

3. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen

Nun kannst du die im 1. und 2. Schritt erhaltenen Ergebnisse einsetzen:

$P(A)=\dfrac{4}{10}=40\,\%$

Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Reihe mit $2$ Fliesen „2. Wahl“ diese Fliesen direkt nebeneinander liegen, liegt bei $40\,\%$ .

c) (1)

$\blacktriangleright$ Graphische Darstellung

Du sollst hier die neue Situation, die sich durch die Einführung der Testmaschine ergeben hat, graphisch darstellen. Für eine übersichtlichere Darstellung kannst du zunächst folgende oder ähnliche Bezeichnungen einführen:

$W_1$ : Die vorliegende Fliese ist 1. Wahl

$W_2$ : Die vorliegende Fliese ist 2. Wahl

$T_1$ : Die vorliegende Fliese wird von der Testmaschine als 1. Wahl bezeichnet

$T_2$ : Die vorliegende Fliese wird von der Testmaschine als 2. Wahl bezeichnet

Die Sortierung der Testmaschine hängt davon ab, ob eine Fliese 1. Wahl oder 2. Wahl ist. Aus diesem Grund handelt es sich hier um bedingte Wahrscheinlichkeiten. Der Aufgabenstellung kannst du bereits folgende Wahrscheinlichkeiten entnehmen:

$P(W_1) = 0,8$

$P(W_2) = 0,2$

$P(T_2\mid W_2 ) = w = 0,9$

$P(T_2\mid W_1) = 0,05$

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg A: Baumdiagramm

Um die Situation mit Hilfe eines Baumdiagramms darzustellen, überlege dir zunächst, wie viele Stufen hier vorliegen und gehe dann in jeder Stufe jede Möglichkeit durch.

Die erste Stufe ist die Produktion der Fliesen. Hier wird jede Fliese zur „1. Wahl“-Fliese oder „2. Wahl“-Fliese. Die Wahrscheinlichkeiten sind dementsprechend die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine „1. Wahl“- bzw. „2. Wahl“-Fliese produziert wird.

Die nächste Stufe ist dann die Sortierung der Testmaschine. Diese hängt von der ersten Stufe ab. Die Wahrscheinlichkeiten in dieser Stufe kannst du der Aufgabenstellung entnehmen bzw. mit Hilfe des Gegenereignisses berechnen. Insgesamt besteht das Zufallsexperiment hier also aus 2 Stufen und das Baumdiagramm ergibt sich nun wie folgt:

Diagramm eines Entscheidungsbaums mit Wahrscheinlichkeiten und Ergebnissen.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg B: Vierfeldertafel

Beginne bei der Vierfeldertafel damit die Wahrscheinlichkeiten einzutragen, die du direkt der Aufgabenstellung entnehmen kannst. Fülle anschließend die Vierfeldertafel auf, indem du aus den bekannten Wahrscheinlichkeiten die übrigen Wahrscheinlichkeiten bestimmst. Beachte dabei, dass sich der Eintrag einer Vierfeldertafel in der Spalte zu Ereignis $B$ und in der Zeile zu Ereignis $A$ aus $P(A\cap B)$ ergibt. Es gilt

$P(A\cap B) = P(A\mid B)\cdot P(B) = P(B\mid A)\cdot P(A)$

Es geht hier also um bedingte Wahrscheinlichkeiten. Daraus kannst du folgende Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe des Gegenereignisses berechnen:

$P(T_1\mid W_2) = 1-w = 0,1\quad$ und $\quad P(T_1\mid W_1) = 1- P(T_2\mid W_1) = 0,95$

Damit ergibt sich nun folgendes:

	$T_1$	$T_2$	Summe
$W_1$	$P(T_1\mid W_1)\cdot P(W_1) = 0,95\cdot 0,8 = \boldsymbol{0,76}$	$P(T_2\mid W_1)\cdot P(W_1) = 0,05\cdot 0,8= \boldsymbol{0,04}$	$\boldsymbol{0,8}$
$W_2$	$P(T_1\mid W_2)\cdot P(W_2) = 0,2\cdot 0,1 = \boldsymbol{0,02}$	$P(T_2\mid W_2)\cdot P(W_2) = 0,9\cdot0,2=\boldsymbol{0,18}$	$\boldsymbol{0,2}$
Summe	$P(T_1) = 0,76 +0,02 = \boldsymbol{0,78}$	$P(T_2)= 0,04+0,18 =\boldsymbol{ 0,22}$	$1$

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Du sollst hier die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass eine zufällig ausgewählte Fliese als 1. Wahl eingestuft wird. Gesucht ist also $P(T_1)$ . Je nachdem welchen Lösungsweg du im letzten Aufgabenteil gewählt hast, unterscheidet sich auch hier der Lösungsweg.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg A: Baumdiagramm

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich hier mit den Pfadregeln:

$\begin{array}[t]{rll} P(T_1)&=&P(T_1\mid W_1)\cdot P(W_1) + P(T_1\mid W_2)\cdot W_2 \quad \scriptsize \\[5pt] &=&0,8\cdot 0,95+ 0,2\cdot 0,1 \quad \scriptsize \\[5pt] &=&0,78 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,78 = 78\,\%$ wird eine zufällig ausgewählte Fliese von der Testmaschine als 1. Wahl eingestuft und somit nicht aussortiert.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg B: Vierfeldertafel

Mit Hilfe der Vierfeldertafel, kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit direkt ablesen:

$P(T_1) = 0,78 = 78\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,78 = 78\,\%$ wird eine zufällig ausgewählte Fliese von der Testmaschine als 1. Wahl eingestuft und somit nicht aussortiert.

(2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Hier sollst du nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass eine Fliese eine „2. Wahl“-Fliese ist unter der Bedingung, dass sie von der Maschine nicht aussortiert wurde, also als 1. Wahl eingestuft wurde. Gesucht ist also $P(W_2\mid T_1)$ . Du kannst hier den Satz von Bayes verwenden:

$P(A\mid B) = \dfrac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}$

Damit ergibt sich dann:

$\begin{array}[t]{rll} P(W_2 \mid T_1) &=& \dfrac{P(T_1\mid W_2)\cdot P(W_2)}{P(T_1)} \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{0,1\cdot 0,2}{0,78}\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&0,0256 \\[5pt] &=&2,56\,\% \\[5pt] \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $2,56\,\%$ ist eine nicht aussortierte Fliese eine „2. Wahl“-Fliese.

d) (1)

$\blacktriangleright$ Hypothesentest aufstellen

Hier soll getestet werden, ob die neu eingestellte Maschine tatsächlich zu einer Verringerung des Ausschussanteils geführt hat. Dazu ist es deine Aufgabe, einen geeigneten Hypothesentest für die genannte Stichprobe von $100$ Fliesen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens $5\,\%$ zu formulieren.
Gehe dazu schrittweise vor:

Gib geeignete Hypothesen an und begründe deine Wahl.

Ermittle eine geeignete Entscheidungsregel auf Grundlage der Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\,\%$ .

In diesem Aufgabenteil wird die Zufallsvariable $X$ betrachtet, die die zufällige Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen in einer Stichprobe mit $100$ Fliesen aus einer Palette beschreibt. $X$ kann als binomialverteilt angenommen werden mit Parametern $n=100$ und einer unbekannten Trefferwahrscheinlichkeit $p$ .

1. Schritt: Hypothese formulieren

Hier soll gezeigt werden, dass die neue Ausschusswahrscheinlichkeit niedriger als die $20\,\%$ der alten Maschine sind. Die Nullhypothese soll abgelehnt werden, dementsprechend ist die Nullhypothese wie folgt zu wählen:

$H_0: p \geq 0,2$ .

Die Alternative ist dann dementsprechend:

$H_1: p \lt 0,2$ .

2. Schritt: Hypothese begründen

Begründe nun die Wahl der Nullhypothese $H_0$ .

Überlege dir dazu zunächst, für welche Werte die Hypothese abgelehnt werden soll und welche Folgen die Bestätigung bzw. die Ablehnung der Nullhypothese für den Produktionsleiter hätte.

Wenn in der Stichprobe signifikant wenige „2. Wahl“-Fliesen gefunden werden, soll die Nullhypothese abgelehnt werden. In einem solchen Fall kann der Produktionsleiter davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Fliese „2. Wahl“ kleiner als $0,2$ ist und sich der Ausschussanteil verringert hat.
Der Produktionsleiter möchte also sicher gehen, dass sich der Ausschussanteil verringert hat und signifikant kleiner als $20\,\%$ ist. In jedem anderen Fall nimmt er an, dass sich der Anteil nicht verringert hat. Damit soll ausgeschlossen werden, dass fälschlicherweise ein zu niedriger Anteil angenommen wird.

3. Schritt: Entscheidungsregel formulieren

Hier sollst du nun eine Entscheidungsregel für den beschriebenen Hypothesentest auf Grundlage der Irrtumswahrscheinlichkeit von $\alpha = 5\,\%$ formulieren. Gesucht ist also die größte Anzahl $k$ von Fliesen zweiter Wahl, für die die Nullhypothese gerade noch verworfen wird.

Betrachte hier die in der Aufgabenstellung eingeführte Zufallsvariable $X$ , die binomialverteilt ist mit den Parametern $n =100$ und $p$ .
Die Irrtumswahrscheinlichkeit gibt an, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, die Nullhypothese fälschlicherweise zu verwerfen, höchstens $5\,\%$ betragen soll. Daraus ergibt sich folgende Ungleichung, aus der du den Wert $k$ berechnen kannst, für den die Nullhypothese gerade noch verworfen werden soll:

$P(X \leq k ) \leq 0,05$ für alle $p\geq 0,2$

Da im vorliegenden Fall nur $p = 0,2$ gelten kann, kannst du die Ungleichung unter der Annahme betrachten, dass laut Nullhypothese $p = 0,2$ gilt. Du erhältst dann einen Wert für $k$ , indem du die Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung „rückwärts“ anwendest. Suche in der Tabelle zu $n =100$ in der Spalte zu $p = 0,2$ nach dem größten $k$ , bei dem der Tabelleneintrag gerade noch $\leq 0,05$ ist. Dann findest du folgendes:

$P(X\leq 12) \approx 0,0253$

$P(X\leq 13) \approx 0,0469$

$P(X\leq 14) \approx 0,0804$

Damit ist das gesuchte $k =13$ .

Die Entscheidungsregel lautet demach wie folgt:

Werden in der Stichprobe von $100$ Fliesen höchstens $13$ Fliesen 2. Wahl gefunden, wird die Nullhypothese auf Grundlage der Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\,\%$ verworfen und der Produktionsleiter nimmt an, dass der Ausschussanteil unter $20\,\%$ liegt. Werden mehr als $13$ Fliesen 2. Wahl gefunden, kann die Nullhypothese nicht verworfen werden und es kann nicht angenommen werden, dass der Ausschussanteil kleiner als $20\,\%$ ist.

(2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für ein irrtümliches Nichtablehnen berechnen

Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die Nullhypothese nicht verworfen wird, obwohl eigentlich die Wahrscheinlichkeit $p =0,15$ gilt, der Anteil sich also tatsächlich verringert hat. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art.

Betrachte hier also die Zufallsvariable $X$ von eben, allerdings unter der Voraussetzung, dass tatsächlich $p= 0,15$ gilt. Dann ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p=0,15}(X \gt 13)$ , die du wieder wie zuvor mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung oder deinem CAS berechnen kannst, nachdem du den Term mit Hilfe des Gegenereignisses umgeformt hast:

$\begin{array}[t]{rll} P_{p=0,15}(X \gt 13)&=& 1- P_{p=0,15}(X\leq 13) &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&1- 0,3474&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,6526&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&65,26\,\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, die Hypothese irrtümlich beizubehalten, obwohl eigentlich die alternative Wahrscheinlichkeit $p=0,15$ gilt, beträgt ca. $65,26\,\%$ .

a) (1)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass in einer Packung, die aus $20$ Fliesen besteht, genau vier „2.Wahl“-Fliesen enthalten sind.

Betrachte dazu die Zufallsvariable $X$ , die die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen in einer zufällig ausgewählten Packung beschreibt. Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit

$P(X =4)$

Interactive Distrubution/Inv.Dist Discrete binomialPDf

Screenshot einer mathematischen Berechnung mit der Funktion binomialPDF und einem Ergebniswert.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $21,82\,\%$ sind in einer Packung genau vier „2. Wahl“-Fliesen enthalten.

(2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

1. Schritt: Minimale Anzahl an „1. Wahl“-Fliesen berechnen

Mindestens $90\,\%$ der Fliesen sollen „1. Wahl“-Fliesen sein:

$90\,\% \cdot 20 = 18$

2. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen

Um eine Wahrscheinlichkeit der Form $P(X \leq k)$ zu bestimmen, kannst du die Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung oder den binomcdf-Befehl deines CAS verwenden.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg A: CAS

Interactive Distrubution/Inv.Dist Discrete binomialCDf

Berechnung von binomialen Wahrscheinlichkeiten in einer Software-Anwendung.

$P(X\leq 2) \approx 0,2061 = 20,61\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $20,61\,\%$ befinden sich in einer Packung mindestens $90\,\%$ „1. Wahl“-Fliesen.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg B: Tabelle

Lies aus der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung für $n =20$ den Wert aus der Spalte für $p = 0,2$ und der Zeile für $k =2$ ab. So erhältst du folgendes Ergebnis:

$P(X\leq 2) \approx 0,2061 = 20,61\,\%$ .

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $20,61\,\%$ befinden sich in einer Packung mindestens $90\,\%$ „1. Wahl“-Fliesen.

(3)

$\blacktriangleright$ Bestimmen der Wahrscheinlichkeit

1. Schritt: Erwartete Anzahl bestimmen

In einer Packung sind $20$ Fliesen. Mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,2$ ist eine Fliese „2. Wahl“. Dementsprechend ist die erwartete Anzahl an Fliesen:

$20 \cdot 0,2=4$

Die Anzahl an „2. Wahl“-Fliesen soll höchstens um $2$ von der erwarteten Anzahl abweichen, also befindet sich $X$ zwischen $2$ und $6$ , d.h. $2 \leq X \leq 6$ .

2. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen

Berechne demnach die Wahrscheinlichkeit $P\left(2 \leq X \leq 6\right)$ . Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich folgendermaßen umschreiben:

$P\left(2 \leq X \leq 6\right)= P(X \leq 6) - P(X \leq 1)$

$P\left(2 \leq X \leq 6\right)= P(X \leq 6) - P(X \leq 1) \approx 0,9133 - 0,0692 = 0,8441 = 84,41 \,\%$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen höchstens um $2$ von der erwarteten Anzahl abweicht, liegt bei ca. $84,41\,\%$ .

b) (1)

$\blacktriangleright$ Bestimmen der Wahrscheinlichkeit

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $\widetilde{p} = 0,32768 = 32,768\,\%$ besteht eine zufällig ausgewählte Reihe nur aus „1. Wahl“-Fliesen .

(2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit ermitteln

Gesucht ist demnach nun die Wahrscheinlichkeit $P(R \geq 1)$ , welche du wieder wie oben berechnen kannst:

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $79,57\,\%$ gibt es unter den $4$ Reihen mindestens eine Reihe, die nur aus „1. Wahl“-Fliesen besteht.

(3)

$\blacktriangleright$ Bestimmen der Wahrscheinlichkeit

$P(A)=\dfrac{\text{Anzahl der Reihenfolgen die Fliesen so anzuordnen, dass } A \text{ gilt}} {\text{Anzahl der Reihenfolgen die Fliesen anzuordnen}}$

1. Schritt: Anzahl der Reihenfolgen die Fliesen anzuordnen

2. Schritt: Anzahl der Reihenfolgen die Fliesen so anzuordnen, dass A gilt

3. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen

Nun kannst du die im 1. und 2. Schritt erhaltenen Ergebnisse einsetzen:

$P(A)=\dfrac{4}{10}=40\,\%$

Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Reihe mit $2$ Fliesen „2. Wahl“ diese Fliesen direkt nebeneinander liegen, liegt bei $40\,\%$ .

c) (1)

$\blacktriangleright$ Graphische Darstellung

$W_1$ : Die vorliegende Fliese ist 1. Wahl

$W_2$ : Die vorliegende Fliese ist 2. Wahl

$T_1$ : Die vorliegende Fliese wird von der Testmaschine als 1. Wahl bezeichnet

$T_2$ : Die vorliegende Fliese wird von der Testmaschine als 2. Wahl bezeichnet

$P(W_1) = 0,8$

$P(W_2) = 0,2$

$P(T_2\mid W_2 ) = w = 0,9$

$P(T_2\mid W_1) = 0,05$

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg A: Baumdiagramm

Um die Situation mit Hilfe eines Baumdiagramms darzustellen, überlege dir zunächst, wie viele Stufen hier vorliegen und gehe dann in jeder Stufe jede Möglichkeit durch.

Diagramm mit Wahrscheinlichkeiten und Entscheidungsbaum für verschiedene Zustände.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg B: Vierfeldertafel

$P(A\cap B) = P(A\mid B)\cdot P(B) = P(B\mid A)\cdot P(A)$

Es geht hier also um bedingte Wahrscheinlichkeiten. Daraus kannst du folgende Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe des Gegenereignisses berechnen:

$P(T_1\mid W_2) = 1-w = 0,1\quad$ und $\quad P(T_1\mid W_1) = 1- P(T_2\mid W_1) = 0,95$

Damit ergibt sich nun folgendes:

	$T_1$	$T_2$	Summe
$W_1$	$P(T_1\mid W_1)\cdot P(W_1) = 0,95\cdot 0,8 = \boldsymbol{0,76}$	$P(T_2\mid W_1)\cdot P(W_1) = 0,05\cdot 0,8= \boldsymbol{0,04}$	$\boldsymbol{0,8}$
$W_2$	$P(T_1\mid W_2)\cdot P(W_2) = 0,2\cdot 0,1 = \boldsymbol{0,02}$	$P(T_2\mid W_2)\cdot P(W_2) = 0,9\cdot0,2=\boldsymbol{0,18}$	$\boldsymbol{0,2}$
Summe	$P(T_1) = 0,76 +0,02 = \boldsymbol{0,78}$	$P(T_2)= 0,04+0,18 =\boldsymbol{ 0,22}$	$1$

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg A: Baumdiagramm

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich hier mit den Pfadregeln:

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,78 = 78\,\%$ wird eine zufällig ausgewählte Fliese von der Testmaschine als 1. Wahl eingestuft und somit nicht aussortiert.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg B: Vierfeldertafel

Mit Hilfe der Vierfeldertafel, kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit direkt ablesen:

$P(T_1) = 0,78 = 78\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,78 = 78\,\%$ wird eine zufällig ausgewählte Fliese von der Testmaschine als 1. Wahl eingestuft und somit nicht aussortiert.

(2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

$P(A\mid B) = \dfrac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}$

Damit ergibt sich dann:

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $2,56\,\%$ ist eine nicht aussortierte Fliese eine „2. Wahl“-Fliese.

d) (1)

$\blacktriangleright$ Hypothesentest aufstellen

Gib geeignete Hypothesen an und begründe deine Wahl.

Ermittle eine geeignete Entscheidungsregel auf Grundlage der Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\,\%$ .

1. Schritt: Hypothese formulieren

$H_0: p \geq 0,2$ .

Die Alternative ist dann dementsprechend:

$H_1: p \lt 0,2$ .

2. Schritt: Hypothese begründen

Begründe nun die Wahl der Nullhypothese $H_0$ .

Überlege dir dazu zunächst, für welche Werte die Hypothese abgelehnt werden soll und welche Folgen die Bestätigung bzw. die Ablehnung der Nullhypothese für den Produktionsleiter hätte.

3. Schritt: Entscheidungsregel formulieren

$P(X \leq k ) \leq 0,05$ für alle $p\geq 0,2$

$P(X\leq 12) \approx 0,0253$

$P(X\leq 13) \approx 0,0469$

$P(X\leq 14) \approx 0,0804$

Damit ist das gesuchte $k =13$ .

Die Entscheidungsregel lautet demach wie folgt:

(2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für ein irrtümliches Nichtablehnen berechnen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, die Hypothese irrtümlich beizubehalten, obwohl eigentlich die alternative Wahrscheinlichkeit $p=0,15$ gilt, beträgt ca. $65,26\,\%$ .