Aufgabe 3: Stochastik

3.1

Eine umfassende Studie zu den Arbeits- und Lebensbedingungen von Studierenden einer Universität ergab, dass $56 \,\%$ der Studierenden einen Laptop und $33 \,\%$ einen Desktop-PC besitzen. $72 \,\%$ der Studierenden haben mindestens eines dieser beiden Endgeräte.

Unter den Studierenden der Universität wird eine Person zufällig ausgewählt und zum Besitz von digitalen Endgeräten befragt.

Folgende Ereignisse werden betrachtet:

$L:$ „Die Person besitzt einen Laptop."

$D:$ "Die Person besitzt einen Desktop-PC."

Zeige, dass $P(\overline{L} \cap \overline{D})=0,28$ gilt, und gib das zugrundeliegende Ereignis im Sachzusammenhang an.

(3 BE)

Stelle den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die zufällig ausgewählte Person zwar einen Laptop, jedoch keinen Desktop-PC besitzt.

(4 BE)

Nun wird unter allen Befragten, die einen Desktop-PC haben, eine Person zufällig ausgewählt.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese einen Laptop besitzt.

(2 BE)

3.2

In derselben Studie wurde auch festgestellt, dass $68 \,\%$ der Besitzer von Laptops und Desktop-PCs bei einem Software-Problem versuchen, dieses selbstständig zu lösen.

Unter den Besitzern dieser Endgeräte werden 900 Personen zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl derjenigen unter diesen 900 Personen, die versuchen, ein Software-Problem selbstständig zu lösen. Dabei wird $X$ als binomialverteilt angenommen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens $70 \,\%$ dieser 900 Personen bei einem Software-Problem versuchen, dieses selbstständig zu lösen.

(2 BE)

Berechne den Erwartungswert $\mu$ von $X$ und ermittle die kleinste mögliche natürliche Zahl $k,$ sodass $P(\mu-k \leq X \leq \mu) \geq 30 \,\%$ gilt.

(4 BE)

3.3

Für binomialverteilte Zufallsgrößen mit den Parametern $n=15\,000$ und $p$ ist in der Abbildung die Standardabweichung $\sigma$ in Abhängigkeit von $p$ dargestellt.

Ergänze im dargestellten Koordinatensystem die Skalierungen der Achsen und erläutere dein Vorgehen.

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(5 BE)

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3.1

Der Ausdruck $P(\overline{L} \cap \overline{D})$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person weder einen Laptop noch einen Desktop-PC besitzt.

Da $72 \,\%$ der Studierenden mindestens eines dieser Geräte besitzen, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{L} \cap \overline{D})&=& 1 - 0,72 &\\[5pt] &=& 0,28&\\[5pt] &=& 28\,\% \end{array}$

Vierfeldertafel ausfüllen

Bereits bekannt sind folgende Wahrscheinlichkeiten:

$P(L) = 0,56$

$P(D) = 0,33$

$P(\overline{L} \cap \overline{D})=0,28$

Einsetzen der Werte und Ergänzen zu den entsprechenden Gesamtwerten liefert:

	$\color{#fff}{D}$	$\color{#fff}{\overline{D}}$	Gesamt
$\color{#fff}{L}$	$0,17$	$0,39$	$\boldsymbol{0,56}$
$\color{#fff}{\overline{L}}$	$0,16$	$\boldsymbol{0,28}$	$0,44$
Gesamt	$\boldsymbol{0,33}$	$0,67$	$\boldsymbol{1,00}$

Wahrscheinlichkeit angeben

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person einen Laptop, aber keinen Desktop-PC besitzt, ergibt sich mit der Vierfeldertafel zu $P(L \cap \overline{D}) = 0{,}39.$

Mit der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} P(L \mid D)&=& \dfrac{P(L \cap D)}{P(D)}&\\[5pt] &=& \dfrac{0{,}17}{0{,}33}&\\[5pt] &\approx& 0,515 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person, die einen Desktop-PC besitzt, auch einen Laptop besitzt, beträgt somit ca. $51,5 \,\%.$

3.2

Die Zufallsvariable $X$ kann als binomialverteilt mit $p=0,68$ und $n = 900$ betrachtet werden.

Mit $0,7\cdot 900=630$ ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu:

$P(X \leq 630)$

Mit dem Taschenrechner folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(X \leq 630)&\approx& 0,907& \\[5pt] &=& 90,7\,\% \end{array}$

Erwartungswert berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \mu&=& n\cdot p& \\[5pt] &=& 900\cdot 0,68& \\[5pt] &=& 612 \end{array}$

Zahl $\boldsymbol{k}$ ermitteln

Es soll gelten:

$P(\mu-k\leq X \leq \mu)\geq 0,3$

Umformungen anzeigen

Systematisches Ausprobieren mit dem Taschenrechner liefert:

$\begin{array}[t]{rll} P(X \leq 600)&=& 0,205\\[5pt] P(X \leq 601)&=& 0,226 \end{array}$

Somit gilt:

$\begin{array}[t]{rll} 600&=& 612-k-1&\quad \scriptsize \mid\; -612 \quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] -11&=& -k&\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] 11&=& k \end{array}$

3.3

Da der maximale Wert auf der $p$ -Achse $100\,\%$ und somit 1 ist, ergibt sich die $p$ -Achsenskalierung direkt.

Aus der Abbildung geht hervor, dass die Normalverteilung symmetrisch um das Maximum verteilt ist. Aufgrund der symmetrischen Verteilung befindet sich dieses somit an der Stelle $p=0,5.$

Es gilt:

$\sigma= \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$

Für das Maximum folgt also:

$\begin{array}[t]{rll} \sigma_{0,5}&=& \sqrt{15\,000\cdot 0,5\cdot 0,5}&\\[5pt] &\approx& 61,2 \end{array}$

Somit ergeben sich die folgenden Achsenskalierungen:

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