Aufgabe 2: Analytische Geometrie
Die Abbildung zeigt modellhaft das Dach eines Kirchturms. Die Eckpunkte der dreieckigen Giebelflächen (grau markiert) und der viereckigen Dachflächen werden durch die Punkte 
und 
dargestellt. Die vier Dachflächen haben die gleiche Form und die gleiche Größe.
Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Realität. Die Materialstärken der Bauteile des Dachs sollen im Folgenden vernachlässigt werden.
a)
Die Ebene 
enthält die Punkte 
, 
und 
. Gib eine Gleichung von in Parameterform an und zeige, dass auch 
in liegt.
(3 BE)
b)
Weisen Sie nach, dass das Viereck 
ein Rhombus ist.
(2 BE)
c)
Gegeben sind drei Ebenen mit den folgenden Gleichungen:
und 
Eine dieser Ebenen stellt eine Symmetrieebene des Kirchendachs dar.
Gib diese Ebene an und beschreibe ihre Lage.
(2 BE)
d)
Berechne die Größe des Innenwinkels des Vierecks im Punkt sowie den gesamten Flächeninhalt der Dachflächen.
(6 BE)
e)
Die Gerade 
verläuft durch und , die Gerade 
durch und . Die beiden Geraden schneiden die 
-Ebene in den Punkten 
bzw. 
. Gib das Verhältnis des Abstands von und zum Abstand von und an.
Begründe deine Angabe, ohne die Koordinaten von und zu berechnen.
(3 BE)
f)
Zur Stabilisierung wird zwischen den durch 
und dargestellten Giebelspitzen ein gerader Stahlträger montiert. Vom Mittelpunkt dieses Stahlträgers aus soll eine möglichst kurze Stütze zum durch 
dargestellten Balken verlaufen. Der Punkt, in dem die Stütze auf den Balken trifft, wird im Modell mit 
bezeichnet; stimmt weder mit noch mit überein. Beschreibe, wie man die Koordinaten von ermitteln könnte.
(4 BE)
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a)
1. Schritt: Gleichung in Parameterfom aufstellen
2. Schritt: Punktprobe
![\(\begin{array}[t]{rll}
\pmatrix{4 \\ 4 \\ 12}&=& \pmatrix{8 \\ 8 \\0} +\pmatrix{ 0 \\ -4 \\ 6 }+\pmatrix{-4 \\ 0 \\ 6 } \\[5pt]
&=&\pmatrix{4 \\ 4 \\ 12}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7044ae28653798f5019a15489b32a15f858758131763e1ccd79d144c3cf0291d?color=5a5a5a)
Somit liegt auch in der Ebene 
b)
Bei einem Rhombus sind zwei gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang.
c)
d)
Größe des Innenwinkels
Daraus folgt 
Flächeninhalt der Dachfläche
Der Flächeninhalt beträgt etwa 
.
e)
Die Dreiecke 
und 
haben bei einen gemeinsamen Innenwinkel, die Gerade 
ist parallel zur Gerade 
Damit sind die beiden Dreiecke ähnlich. 
ist doppelt so lang wie 
. Folglich ist der Abstand von 
und 
doppelt so groß wie der Abstand von und .
f)
Die Stütze ist genau dann möglichst kurz, wenn sie orthogonal zu dem durch 
dargestellten Balken steht. Zunächst wird also der Mittelpunkt 
des Stahlträgers 
bestimmt. Zu bestimmen ist also der Lotfußpunkt vom Mittelpunkt des Stahlträgers auf den Balken. Hierfür muss eine Hilfsebene 
mit folgenden Eigenschaften aufgestellt werden:
und auf und schneidet diese mit , so erhält man den Lotfußpunkt. Dieser entspricht dem gesuchten Punkt .
- ein Normalenvektor von
- der Mittelpunkt des Stahlträgers liegt in