Pflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie

Die Punkte $A(4\mid 0\mid 0),$ $B(4\mid 4\mid 0),$ $C(0\mid 4\mid 0)$ und $F(4\mid 4\mid 3)$ sind Eckpunkte des abgebildeten Quaders. Die Gerade $h$ verläuft durch $B$ und $F.$

Abb. 1

Begründe, dass das Dreieck $ABC$ rechtwinklig und gleichschenklig ist. Gib den Flächeninhalt dieses Dreiecks an.

Gib eine Gleichung der Gerade an, die durch $A$ und $C$ verläuft. Begründe, dass diese Gerade windschief zur Geraden $h$ ist.

Die Abbildung zeigt gestrichelt die Seiten der Schnittfigur des Quaders und einer Ebene, in der die Punkte $A$ und $C$ sowie ein Punkt $P$ der Gerade $h$ liegen.
Diese Ebene zerlegt den Quader in zwei Teilkörper.

Beschreibe, wie man mithilfe der Abbildung ermitteln kann, dass $P$ die $z$ -Koordinate $6$ hat.

Berechne das Volumen desjenigen der beiden Teilkörper, zu dem der Punkt $B$ gehört, und erläutere dein Vorgehen.

Die Punkte der Geraden $h$ lassen sich durch $P_t(4\mid4\mid t)$ mit $t \in \mathbb{R}$ darstellen. Für jeden Wert von $t$ liegen $A,$ $C$ und $P_t$ in der Ebene

$E_t:t \cdot x+ t \cdot y- 4 \cdot z- 4 \cdot t = 0.$

Dabei ist $E_6$ diejenige Ebene, für die in der Abbildung die Seiten der Schnittfigur dargestellt sind.

Zeige, dass der Punkt $(0\mid0\mid 2)$ der Schnittpunkt der Ebene $E_{-2}$ mit der $z$ -Achse ist.

Es gibt Werte von $t,$ für die die Schnittfigur des Quaders und der Ebene $E_t$ nicht die Form eines Vierecks, sondern eines Dreiecks hat. Gib alle diese Werte von $t$ an und beschreibe in Abhängigkeit von $t$ die Lage der Eckpunkte des Dreiecks.

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$\blacktriangleright$ Rechtwinkligkeit und Gleichschenkligkeit begründen

Alle Seitenflächen eines Quaders sind mindestens Rechtecke. Da $A,$ $B$ und $C$ Eckpunkte einer gemeinsamen Seitenfläche des Quaders und $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ zwei der Kanten sind, muss das Dreieck $ABC$ im Punkt $B$ einen rechten Winkel besitzen.
Die Länge der Seite $\overline{AB}$ ergibt sich mithilfe des zugehörigen Verbindungsvektors und seinem Vektorbetrag zu:

$\left|\overrightarrow{AB} \right| = 4$

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Für $\overline{BC}$ gilt analog:

$\left|\overrightarrow{BC} \right| = 4$

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Das Dreieck $ABC$ ist also gleichschenklig.

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt angeben

Aufgrund des rechten Winkels ergibt sich der Flächeninhalt zu:

$\begin{array}[t]{rll} A_{ABC}&=& \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4 \\[5pt] &=& 8 \end{array}$

Das Dreieck $ABC$ hat einen Flächeninhalt von $8\,\text{FE}.$

$\blacktriangleright$ Geradengleichung angeben

$g: \quad \overrightarrow{x} = ...$

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$\blacktriangleright$ Windschiefe Lage begründen

$g$ verläuft durch die Diagonale $\overline{AC}$ einer Seitenfläche des Quaders. $h$ verläuft entlang der Kante $\overline{BF},$ die senkrecht zu dieser Seitenfläche steht. $g$ und $h$ können also nicht parallel verlaufen. Da $B$ ein weiterer Eckpunkt der Seitenfläche ist, in der $A$ und $C$ liegen, können $g$ und $h$ keine gemeinsamen Punkte besitzen. Sie müssen also windschief sein.

$\blacktriangleright$ Verfahren beschreiben

Vom Punkt $A$ aus führt eine der gestrichelten Linien zum Punkt $C,$ die andere aber nicht. Genauso führt vom Punkt $C$ aus eine der beiden gestrichelten Linien zum Punkt $A,$ die zweite gestrichelte Linie aber nicht. Diese beiden gestrichelten Linien, die vom Punkt $A$ und vom Punkt $C$ aus, aber nicht zwischen $A$ und $C$ verlaufen, können verlängert werden, sodass die verlängerten Linien sich schneiden.

Diese beiden Linien schneiden sich in einem Punkt, der auf der Geraden $h$ liegt. Da $h$ offensichtlich nicht innerhalb der Ebene von $A,$ $C$ und $P$ liegt, kann es höchstens einen gemeinsamen Punkt von $h$ und der Ebene geben. Dieser muss der Punkt $P$ sein. Bei dem Schnittpunkt der beiden Linien handelt es sich also um $P.$

Da $h$ durch $B$ und $F$ verläuft, $B$ in der $xy$ -Ebene liegt und $F$ dieselben $x$ - und $y$ -Koordinaten wie $B$ besitzt, verläuft die Gerade $h$ senkrecht zur $xy$ -Ebene. Die $z$ -Koordinate von $B$ ist $z =0,$ die von $F$ ist $z = 3.$ Ein Kästchen entspricht also $0,5$ Längeneinheiten.
Die $z$ -Koordinate von $P$ kann daher anhand der Geraden $h$ ausgehend vom Punkt $B$ zu $z=6$ abgelesen werden.

$\blacktriangleright$ Volumen berechnen

Der Punkt $P$ liegt außerhalb des Quaders. Bei dem beschriebenen Teilkörper handelt es sich daher um den Stumpf einer dreiseitigen Pyramide. Da Grund- und Deckfläche des Stumpfs in gegenüberliegenden Seiten des Quaders liegen, entspricht die Höhe $h$ dem Abstand der beiden Punkte $B$ und $F$ , also $h=3.$
Die Grundfläche des Pyramidenstumpfs ist das Dreieck $ABC,$ dessen Flächeninhalt bereits berechnet wurde:
$G = 8$

Abb. 1: Beschriftung

Die Deckfläche ist das rechtwinklige und gleichschenklige Dreieck mit den Mittelpunkten der beiden Kanten $\overline{EF}$ und $\overline{FG}$ und $F$ als Eckpunkte.
Aus den Koordinaten von $A$ und $B$ ergibt sich die Seitenlänge $\overline{AB}=4.$ Da es sich um einen Quader handelt, muss $\overline{EF}$ genauso lang sein. Die Strecke vom Mittelpunkt zu $F$ dementsprechend nur die Hälfte, also $2$ Längeneinheiten.
Analog kannst du auch für die zweite Kathetenlänge mithilfe der Koordinaten von $B$ und $C$ vorgehen.
Der Flächeninhalt kann dann wie folgt berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} D&=& \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2 \\[5pt] &=& 2 \\[5pt] \end{array}$

Insgesamt ergibt sich das Volumen des Pyramidenstumpfs mit der entsprechenden Formel:

$V= 14$

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Das Volumen des Teilkörpers, der $B$ enthält, beträgt $14\,\text{VE}.$

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt zeigen

Setze die Koordinaten $(0\mid 0\mid 2)$ zusammen mit dem Parameter $t=-2$ in die Ebenengleichung ein:

$... 0 = 0$

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Die Koordinaten $(0\mid0\mid2)$ erfüllen also die Ebenengleichung von $E_{-2}.$ Der Punkt liegt daher in der Ebene $E_{-2}.$ Da für die $x$ - und $y$ -Koordinaten des Punkts gilt $x=y=0,$ liegt der Punkt $(0\mid 0\mid 2)$ zudem auf der $z$ -Achse.
Ein Normalenvektor der Ebene $E_{-2}$ kann aus der Ebenengleichung abgelesen werden und lautet $\overrightarrow{n}_{-2} = \pmatrix{-2\\-2\\-4}.$ Die Ebene ist daher nicht parallel zur $z$ -Achse, sodass die $z$ -Achse und $E_{-2}$ einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen müssen.
Dieser Punkt muss $(0\mid0\mid2)$ sein, da er sowohl in der Ebene als auch auf der $z$ -Achse liegt.
Der Punkt $(0\mid 0\mid 2)$ ist also der Schnittpunkt von $E_{-2}$ mit der $z$ -Achse.

$\blacktriangleright$ Parameterwerte angeben

Der Verlauf der Ebene wird durch den Punkt $P_t$ bestimmt. Dieser bewegt sich abhängig von $t$ entlang der Geraden $h.$ Es ist angegeben, dass die Punkte $A$ und $C$ in jeder der Ebenen $E_t$ liegen. Sie bilden in jedem Fall zwei Eckpunkte der Schnittfigur.
Liegt der Punkt $P_t$ innerhalb des Quaders, also auf der Strecke zwischen $B$ und $F,$ so handelt es sich bei der Schnittfigur um das Dreieck $ACP_t.$
Dies ist wegen der Koordinaten von $P_t(4\mid4\mid t)$ der Fall für $0\lt t \leq 3,$ da die Grundfläche des Quaders in der $x_1x_2$ -Ebene liegt.
Für $-3\leq t \lt 0$ liegt der dritte Schnittpunkt der Ebene auf der Würfelkante $\overline{DH}.$ In diesem Fall handelt es sich bei der Schnittfigur ebenfalls um ein Dreieck mit den Eckpunkten $A$ und $C$ und dem dritten Eckpunkt auf der Kante $\overline{DH}.$
Für $t=0$ liegt die gesamte Grundfläche des Quaders in der Ebene, wodurch die Schnittfigur ein Quadrat wäre. Dieser Wert muss also ausgeschlossen werden.
Insgesamt handelt es sich bei der Schnittfigur des Quaders und der Ebene $E_t$ um ein Dreieck für $-3 \leq t \lt 0$ und $0\lt t \leq 3.$

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