SchulLV Logo
Lerninhalte in Mathe
Abi-Aufgaben gA
Digitales Schulbuch
Inhaltsverzeichnis

Wahlaufgabe 1 - Analysis

Gegeben sind die Funktionen \(f\) und \(g\) mit
  • \(f(x)= -\frac{1}{4}x^3 +2x,\) \(x\in \mathbb{R}\)
  • \(g(x)=\frac{4}{x},\) \(x\in \mathbb{R},\) \(x\gt 0.\)
a)
Die Graphen beider Funktionen haben genau einen Punkt gemeinsam.
Berechne die Koordinaten dieses Punktes.
Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion \(f\) im Intervall \([0;2].\)
b)
Zeichne den Graphen der Funktion \(g\) im Intervall \([1;4]\) in die Abbildung ein.
Eine Funktion \(k\) ist gegeben durch:
\(k(x)=\begin{cases} f(x) & \text{für } 0\leq x \leq 2\\ g(x)& \text{für } x\gt 2 \\ \end{cases}\)
c)
Es sei \(S(x_S\mid y_S)\) ein beliebiger Punkt auf dem Graphen der Funktion \(k.\) Die Punkte \(S,\) \(P(x_S\mid 0)\) und \(O(0\mid 0)\) bilden jeweils ein Dreieck \(OPS.\)
Zeige, dass diese Dreiecke für \(x_S\gt 2\) flächengleich sind.
d)
Betrachtet wird die Funktion \(I\) mit \(I(x) = \displaystyle\int_{0}^{x}k(t)\;\mathrm dt,\) \(x\in \mathbb{R},\) \(x\geq 0.\)
Begründe, dass die Funktion \(I\) monoton wachsend ist.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© - SchulLV.