Aufgabe 1: Analysis
1.1
Die Abbildung 1 zeigt die Graphen der in 
definierten Funktionen 
und 
mit 
und 
Die beiden Graphen haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der 
-Achse.
Abbildung 1
a)
Berechne die Nullstellen und die Extremstelle von 
(3 BE)
b)
Beschreibe, wie man den Abstand zwischen dem Graphen von und der Gerade mit der Gleichung 
berechnen könnte.
(2 BE)
c)
Berechne die Größe des Winkels, in dem der Graph von die Gerade mit der Gleichung schneidet.
(4 BE)
d)
Zeige, dass die Graphen von und in ihrem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente haben, und gib eine Gleichung dieser Tangente an.
(4 BE)
e)
Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das die Graphen von und und die Gerade mit der Gleichung 
begrenzen.
(4 BE)
1.2
Ein Bewässerungskanal wird durch Öffnen einer Schleuse in Betrieb genommen.
Die in definierte Funktion 
beschreibt für 
die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle.
Dabei ist 
die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und 
die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.
Die Abbildung 2 zeigt den Graphen von 
Abbildung 2
a)
Ermittle mit Hilfe der Abbildung 2 das Volumen des Wassers, das vom Zeitpunkt vier Sekunden nach Beobachtungsbeginn bis zum Zeitpunkt sechs Sekunden nach Beobachtungsbeginn an der Messstelle vorbeifließt.
(3 BE)
b)
Bestimme für die ersten elf Sekunden nach Beobachtungsbeginn mit Hilfe der Abbildung 2 die momentane Durchflussrate für denjenigen Zeitpunkt, zu dem sie am stärksten abnimmt.
(3 BE)
c)
Die Tangente an den Graphen von im Punkt 
wird durch die Gleichung 
dargestellt.
Interpretiere die folgende Aussage im Sachzusammenhang:
Für alle Werte von mit 
gilt 
1.3
Für jeden Wert von 
ist eine in definierte Funktion 
mit 
gegeben.
Unabhängig von 
sind 0 und 3 die einzigen Extremstellen von 
Die Funktion 
ist die in der Aufgabe 1.2 betrachtete Funktion 
die obige Abbildung zeigt also den Graphen von 
a)
Beschreibe den Einfluss des Parameters auf den Graphen von
(1 BE)
b)
Bestimme denjenigen Wert von 
für den der Mittelpunkt der Strecke zwischen den beiden Extrempunkten des Graphen von auf der -Achse liegt.
(4 BE)
c)
Berechne den Wert des Terms 
Gib alle Werte von an, für die genau eine Nullstelle hat.
(4 BE)
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1.1
a)
Nullstellen berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)&=&0 \\[5pt]
-(x^2-x-1)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot(-1) \\[5pt]
x^2-x-1&=&0 \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/762b6155ff4b16ebe8e3061caa681f5ebb466c424524e0aa74b46a8f656f1652?color=5a5a5a)
Mit der 
-Formel folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_{1;2}&=&-\dfrac{(-1)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2+1} \\[5pt]
x_{1;2}&=&\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{5}{4}} \\[5pt]
x_1&\approx&1,62 \\[5pt]
x_2&\approx&-0,62
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/1a3052645594e575c805d5166706692b98af5acf89bab6ec9c4ec8eab5e93fc1?color=5a5a5a)
Extremstelle berechnen
Aus dem parabelförmigen Verlauf des Graphen von ergibt sich, dass die Extremstelle genau in der Mitte der beiden Nullstellen liegt. Es gilt also:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_E &=&\dfrac{1}{2}(x_1+x_2) & \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}+\sqrt{\dfrac{5}{4}}+\dfrac{1}{2}-\sqrt{\dfrac{5}{4}}\right) & \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)& \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{2}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/0e15e8535a4af11411caf17ee4bc034a41a6d1fdd25a9a1dc95558238e47c043?color=5a5a5a)
b)
Zunächst wird die -Koordinate 
des Hochpunkts des Graphen von bestimmt.
Der Abstand folgt anschließend durch 
c)
Es gilt: 
Da der Schnittpunkt auf der Geraden liegen muss, gilt also 
und somit auch 
Der Graph von schneidet die Gerade somit mit der Steigung 4.
Für den Schnittwinkel folgt also:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\alpha)&=& 4 \quad \scriptsize \mid \tan^{-1} \\[5pt]
\alpha&\approx& 76^\circ
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e2d687fa61d6588a48d7148fb4788f919e0bec510cc7742a42f56966523d05a3?color=5a5a5a)
d)
e)
2
a)
Im betrachteten Zeitraum fließen etwa 
Wasser an der Messstelle vorbei.
b)
Aus der Abbildung kann entnommen werden, dass der Graph für 
an der Stelle 
am stärksten abnimmt.
Da die momentane Durchflussrate beschreibt, beträgt die momentane Durchflussrate zum betrachteten Zeitpunkt etwa 
.
c)
Für den angegebenen Zeitraum beschreibt die Tangente die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate mit einer relativen Abweichung von weniger als 
1.3
a)
Der Parameter verschiebt den Graphen von entlang der -Achse.
b)
Die Extremstellen sind gegeben durch 
und 
Der Mittelpunkt 
der Strecke zwischen den beiden Extrempunkten besitzt somit die -Koordinate 
Da auf der -Achse liegen soll, gilt:
c)
Wert berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
w_4(3)&=& 4\cdot(3^2-3-1)\cdot \mathrm e^{-3}+4 & \\[5pt]
&\approx& 5 & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ce212cc15177905dc2b969a6c7742da5fecc6135132df1036232df51a6d9d670?color=5a5a5a)
Werte für angeben
Der Graph von hat genau eine Nullstelle, wenn der Tiefpunkt auf der -Achse liegt. Aus der Abbildung 2 geht hervor, dass dies für 
der Fall ist.
Der Parameter verschiebt den Graphen von entlang der -Achse. Für Werte von kleiner als 4 besitzt der Graph somit mindestens 2 Nullstellen, für Werte größer als 4 besitzt der Graph keine Nullstelle.