Aufgabe 4.1 - Analysis

Die Nullstellen der Ableitungsfunktion sind die Extremstellen der Funktion bzw. die Stellen, an der die Funktion keine Steigung hat. Diese liegen bei und bei .

Eine Extremstelle der ersten Ableitung ist eine Nullstelle der zweiten Ableitung. Mit den Nullstellen der zweiten Ableitung berechnest du die Wendestellen der Funktion.
Die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen von lauten . Die Wendestelle des Graphen von entspicht der Extremstelle . Es handelt sich um einen Tiefpunkt, da die Funktion im Bereich der Wendestelle monoton fällt.

Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass die die Funktion den Grad 4 hat. Die zweite Ableitung der Funktion vierten Grades ist eine Funktion zweiten Grades. Eine Funktion zweiten Grades kann höchstens zwei Nullstellen annehmen. Dies sind dann die Wendestellen der Funktion . Die zweite Ableitung nimmt den Wert Null, mit , an den Stellen und an. An der Stelle liegt ein Sattelpunkt.
Somit hat die zweite Ableitung keine weitere Nullstelle und deshalb hat die Funktion keine weitere Wendestelle.

Der Werte von stellt den Flächeninhalt dar, den der Graph von und die x-Achse einschließen im Intervall . Jede Fläche, die der Graph von mit der x-Achse im Intervall einschließt, beinhaltet also mindestens ein Rechteck mit der Seitenlänge 2. Die Höhe eines solchen Rechtecks, beträgt mindestens 10, denn für nimmt den kleinsten Funktionswert im Intervall an. Dieses Rechteck hat dann den Flächeninhalt . Jedoch ist die Fläche, den der Graph von und die x-Achse im Intervall an einschließen etwas größer.
Es wird nämlich nicht nur ein Rechteck betrachtet, sondern die Fläche, die an den Verlauf des Graphens angrenzt. Somit ist die Aussage richtig. Um es dir noch besser zu verdeutlichen, kannst du dir diese Abbildungen ansehen.