Wahlaufgabe 1 - Analysis

Wahlpflichtaufgabe 4.1 - Analysis

Die gemessene Lufttemperatur unterscheidet sich von der gefühlten Lufttemperatur. Dies hängt hauptsächlich von der Windgeschwindigkeit ab.
Der Zusammenhang zwischen der gemessenen Lufttemperatur und der gefühlten Lufttemperatur kann durch die folgenden stetigen Funktionen annähernd beschrieben werden:

$T_G=f_{T_L}(v)=13,12+0,62\cdot T_L+\left(0,40\cdot T_L-11,37\right)\cdot v^{\frac{1}{6}}$ mit $\,\,v\geq 5$

und $-45\leq T_L \leq 10$

Dabei sind:

$T_L$	- Maßzahl der in Grad Celsius gemessenen Lufttemperatur
$T_G$	- Maßzahl der in Grad Celsius ermittelten gefühlten Lufttemperatur
$v$	- Maßzahl der in Kilometer je Stunde gemessenen Windgeschwindigkeit

a) Berechne $T_G=f_{-5}(20)$ und gib an, welche Information dieses Ergebnis in Bezug auf den Sachverhalt enthält.

Weise nach, dass die Funktionen $f_{T_L}$ monoton fallend sind.

b) Als Windchill-Effekt wird die Temperaturdifferenz $\Delta T =g_{T_L}(v)=T_L-T_G$ bezeichnet.
Zeige, dass $g_0(v)=-f_0(v)$ ist und schlussfolgere aus den Eigenschaften der Funktion $g_0$ auf ihren Wertebereich für $5\leq v \leq 60$ .

Aufgabe 4.1

In dieser Aufgabe ist eine Funktionenschar $f_{T_L}$ zur Bestimmung der gefühlten Lufttemperatur $T_G$ in Abhängigkeit der Lufttemperatur $T_L$ in Grad Celsius und der Windgeschwindigkeit $v$ in Kilometern pro Stunde gegeben. Der Funktionsterm lautet:

$\begin{array}[t]{rll} T_G&=& f_{T_L}(v) = 13,12 +0,62 \cdot T_L + (0,40\cdot T_L -11,37) \cdot v^{\frac{1}{6}} \\[5pt] \end{array}$

Die Funktionsschar ist nur begrenzt einsetzbar. Die Windgeschwindigkeit $v$ muss größer als $5$ Kilometer pro Stunde sein und die Lufttemperatur $T_L$ zwischen $-45$ und $10$ Grad Celsius liegen.

a) $\blacktriangleright$ Berechne $\boldsymbol{T_G = f_{-5}(20)}$

Hier sollst du den Funktionswert von $f$ für $T_L=-5$ und $v=20$ bestimmen. Setzt du beide Werte in den Funktionsterm ein, erhälst du:

$\begin{array}[t]{rll} T_G&=&f_{-5}(20) = 13,12 + 0,62 \cdot (-5) + (0,40\cdot (-5) - 11,37) \cdot 20^{\frac{1}{6}}\\[5pt] &\approx& -12,0077 \\[5pt] \end{array}$

Die gefühlte Lufttemperatur liegt bei einer Windgeschwindigkeit von $v=20$ Kilometern pro Stunde und einer gemessenen Lufttemperatur $T_L=-5$ Grad Celsius bei $T_G\approx-12$ Grad Celsius. Die gefühlte Temperatur liegt auf Grund des Windes unter der gemessen Lufttemperatur.

$\blacktriangleright$ Zeige, dass $\boldsymbol{f_{T_L}}$ monoton fallend sind

Um zu zeigen, dass eine beliebige Funktionenschar monoton fallend ist, musst du die Ableitung bilden und zeigen, dass die Funktionswerte der Ableitung nie größer Null sind.

$f‘(x)\le0$

1. Ableitung bilden

Um die Ableitung der Funktionenschar $f_{T_L}$ zu bilden, betrachtest du bei der Ableitung $T_L$ als konstanten Faktor. Hier benötigst du zum Ableiten nur die Potenzregel:

$\begin{array}[t]{rll} f_{T_L}(v) &=& 13,12 + 0,62 \cdot T_L + (0,40\cdot T_L - 11,37) \cdot v^{\frac{1}{6}} \\[5pt] f‘_{T_L}(v) &=& \dfrac{1}{6}\cdot(0,40 \cdot T_L -11,37)\cdot v^{\frac{-5}{6}} \\[5pt] \end{array}$

2. Überprüfe, ob die Ableitung $\boldsymbol{\le 0}$ ist

Im zweiten Schritt sollst du zeigen, dass der Funktionswert der Ableitung immer kleiner oder gleich Null ist.

Für die Geschwindigkeit gilt $v \ge 5$ . Somit ist $v^{\frac{-5}{6}}>0$ . Der Teil in der Klammer muss kleiner als Null sein, damit das Produkt der Klammer mit $v^{\frac{-5}{6}}$ kleiner als Null ist.

$\begin{array}[t]{rll} 0,40 \cdot T_L -11,37 &\stackrel{!}{<}& 0 \quad \scriptsize \mid\; +11,37\\[5pt] 0,40 \cdot T_L &<&11,37 \quad \scriptsize \mid\; :0.4\\[5pt] T_L &<& 28,425 \\[5pt] \end{array}$

Für $T_L$ ist der Definitionsbereich $-45 \le T_L \le 10$ gegeben. Das Maximum des Definitionsbereichs ist kleiner als der Grenzwert für $T_L$ : $10<28,425$ .

Die Ableitung der Funktionenschar $f_{T_L}(v)$ ist im gesamten Definitionsbereich kleiner oder gleich Null, somit ist $f_{T_L}(v)$ monoton fallend. Das heißt, dass die gefühlte Temperatur für steigende Windgeschwindigkeit bei gleichbleibender gemessenen Lufttemperatur immer kleiner wird.

b) $\blacktriangleright$ Windchill-Effekt

Im zweiten Aufgabenteil wird der Windchill-Effekt als Temperaturdifferenz $\Delta T$ beschrieben. Die Funktionsgleichung der Funktion $g_{T_L}$ lautet:

$\begin{array}[t]{rll} \Delta T&=& g_{T_L}(v)=T_L - T_G \\[5pt] \end{array}$

$\blacktriangleright$ Zeige, dass $\boldsymbol{g_0(v)=-f_0(v)}$

In diesem Aufgabenteil sollst du zeigen, dass $g_0(v)=-f_0(v)$ ist. Dazu setzt du $T_L=0$ und überprüfst, ob beide Funktionsterme übereinstimmen.

$\begin{array}[t]{rll} T_L &=& 0\\[5pt] f_0(v)&=&13,12 - 11,37 \cdot v^{\frac{1}{6}} \\[5pt] g_0(v) &=& 0 - (13,12 - 11,37 \cdot v^{\frac{1}{6}} ) \\[5pt] &=& -(13,12 -11,37 \cdot v^{\frac{1}{6}})\\[5pt] &=& -f_0(v)\\[5pt] \end{array}$

Du hast gezeigt, dass $g_0(v)$ gleich $-f_0(v)$ ist.

$\blacktriangleright$ Wertebereich von $\boldsymbol{g_0}$

Desweiteren sollst du aus den Eigenschaften der Funktion $g_0$ auf ihren Wertebereich für $5\le v \le 60$ schließen. Du hast bereits gezeigt, dass $g_0(v)=-f_0(v)$ . $g_0$ gibt somit den negativen Wert der gefühlten Temperatur bei einer gemessenen Temperatur von Null Grad Celsius an. Es ist also die Differenz zwischen gemessener und gefühlter Temperatur. Du kannst aus dem Monotonieverhalten von $f$ auf das Monotonieverhalten und somit auf den Wertebereich von $g_0$ schließen.

Aus dem ersten Aufgabenteil weist du bereits, dass die Funktion der gefühlten Temperatur monoton fallend ist. Die Differenz ist somit monoton steigend. Eine monoton steigende Funktion hat ihr Maximum am Ende des Definitionsbereich, das Minimum am Anfang des Definitionsbereichs. Der Funktionswert von $g_0$ ist somit im Bereich $5\le v \le 60$ an der Stelle $v=5$ minimal und steigt monoton, das Maximum ist an der Stelle $v=60$ . Die Funktionswerte liegen also im Bereich von $g_0(5)\approx 1.748$ bis $g_0(60)\approx9,377$ .