Aufgabe 3: Stochastik
3.1
Von den Lehrkräften eines Landes arbeiten 
an einem Gymnasium. 
der Lehrkräfte sind weiblich und arbeiten an einem Gymnasium. Insgesamt sind 
der Lehrkräfte weiblich.
a)
Stelle den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.
(3 BE)
b)
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Lehrkraft weiblich ist oder an einem Gymnasium arbeitet.
(2 BE)
c)
Eine zufällig ausgewählte Lehrkraft ist weiblich. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie an einem Gymnasium arbeitet.
100 Lehrkräfte werden zufällig ausgewählt.
(2 BE)
d)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter diesen 100 Lehrkräften die Anzahl derer, die nicht am Gymnasium arbeiten, mindestens viermal so groß ist, wie die Anzahl derer, die am Gymnasium arbeiten.
(3 BE)
e)
Gib die Bedeutung des Terms 
im Sachzusammenhang an.
(2 BE)
3.2
In einem Behälter befinden sich vier weiße und fünf schwarze Kugeln. Dazu wird ein Spiel angeboten.
Der Spieler bezahlt zunächst einen Einsatz von 2 Euro; dieser Betrag wird neben dem Behälter ausgelegt. Anschließend muss der Spieler aus dem Behälter zweimal nacheinander eine Kugel zufällig ziehen und wieder zurücklegen.
Nach jedem der beiden Züge wird der ausliegende Betrag vom Spielleiter verdoppelt, wenn eine weiße Kugel gezogen wird, und sonst halbiert. Nach dem Spiel erhält der Spieler den dann ausliegenden Betrag.
a)
Der Term 
gibt den Erwartungswert für den Betrag in Euro an, den der Spieler nach dem Spiel erhält. Gib die Bedeutung des zweiten der drei Summanden im Sachzusammenhang an und erläutere deine Angabe.
(3 BE)
b)
Ermittle, wie das Verhältnis der Anzahlen der weißen und schwarzen Kugeln im Behälter gewählt werden müsste, damit Spieler und Spielleiter die gleiche Gewinnerwartung haben.
(5 BE)
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1
a)
„Eine Lehrkraft arbeitet an einem Gymnasium“
„Eine Lehrkraft ist weiblich“
b)
c)
Mit dem Satz von Bayes ergibt sich:
![\(\begin{array}[t]{rll}
P_W(G)&=& \dfrac{P(W\cap G)}{P(W)} & \\[5pt]
&=& \dfrac{0,15}{0,72} & \\[5pt]
&\approx & 0,21
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/9f5ce34706948c2bf35a9eeea416215d47468a098ebac1762107a166ace869f3?color=5a5a5a)
Die ausgewählte weibliche Lehrkraft arbeitet folglich mit einer Wahrscheinlichkeit von 
an einem Gymnasium.
d)
Gesucht ist die Wahrscheinichkeit dafür, dass mindestens 
Lehrkräfte nicht am Gymnasium arbeiten.
Die Zufallsvariable 
beschreibt die Anzahl der Lehrkräfte, die nicht an einem Gymnasium arbeiten und ist binomialverteilt mit 
und 
Mit dem GTR folgt nun:
e)
Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass höchstens 25 der 100 ausgewählten Lehrkräfte an einem Gymnasium arbeiten.
3.2
a)
Der zweite Summand erfasst den Fall, dass eine weiße und eine schwarze Kugel gezogen werden. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten betragen 
bzw. 
Da die beiden Kugeln in zwei verschiedenen Reihenfolgen gezogen werden können und der Spieler für dieses Ereignis nach dem Spiel jeweils zwei Euro bekommt, werden die Wahrscheinlichkeiten zudem zweimal mit zwei multipliziert.
b)
Mit der Variable 
für die Wahrscheinlichkeit dafür, eine weiße Kugel zu ziehen, folgt für den Erwartungswert:
Damit ergibt sich für en Wert von 
Da 
ist 
die gesuchte Wahrscheinlichkeit, das heißt die Anzahl der schwarzen Kugeln muss doppelt so groß sein, wie die der weißen.