Aufgabe 2: Analytische Geometrie
Gegeben sind das gerade Prisma 
mit den Eckpunkten 
und 
sowie der Punkt 
(siehe Abbildung 1).
Abbildung 1
a)
Berechne den Oberflächeninhalt des Prismas.
(4 BE)
b)
Begründe, dass die Punkte 
und 
auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt 
liegen.
(3 BE)
c)
Die Ebene 
enthält die Punkte 
und 
(siehe Abbildung 2).
Bestimme eine Gleichung von in Koordinatenform.
zur Kontrolle: ![\(\; 4x-4y+6z=30]\)](https://mathjax.schullv.de/8c9a1bd978da50a8cbcc14315bfb8fb618a407c9409743c73c390c83d0335cc5?color=5a5a5a)
Abbildung 2
(4 BE)
d)
Im Folgenden sind zwei Schritte der Lösung einer Aufgabe angegeben, die im Zusammenhang mit den betrachteten geometrischen Objekten steht:
mit 
Gib eine passende Aufgabenstellung an.
Anstelle des Punkts
(2 BE)
e)
Gib die Anzahl der Ecken des Vielecks in Abhängigkeit von 
an sowie alle Werte von 
für die das Vieleck zwei Symmetrieachsen besitzt.
(4 BE)
f)
Bestimme denjenigen Wert von für den das Dreieck 
im Punkt rechtwinklig ist.
(3 BE)
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a)
Die Oberfläche des Prismas besteht aus zwei Dreiecken und drei Rechtecken.
1. Schritt: Flächeninhalt der Dreiecke berechnen
Da sich der Punkt jeweils nur in einer Koordinate von den Punkten 
und unterscheidet, ergeben sich die Längen der Seiten, die den rechten Winkel einschließen, direkt als 
und 
Somit folgt für den Flächeninhalt beider Dreiecke zusammen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_D&=&2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot8 \\[5pt]
&=&48\;[\text{FE}]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a506d1ea43dd1a54c3446d2ec4164daf428a7bed692f76174a6710136b6e1ffd?color=5a5a5a)
2. Schritt: Flächeninhalt der Rechtecke berechnen
Anhand der Koordinaten der Punkte 
und lässt sich ablesen, dass das Prisma eine Höhe von 
besitzt. Die fehlenden Seitenlängen der drei Rechtecke sind jeweils durch die Länge einer der Seiten des Dreiecks 
gegeben. Somit folgt mit dem Satz des Pythagoras für die Summe der Flächeninhalte aller Rechtecke:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_R&=&5\cdot\left(6+8+\sqrt{6^2+8^2}\right) \\[5pt]
&=&120\;[\text{FE}]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e4fc2aa2c24c8cfc599a0968add473678ca19cf372050caa1882f27cc917db0c?color=5a5a5a)
Für den Inhalt der Oberfläche des Prismas folgt somit insgesamt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_O&=&A_D+A_R \\[5pt]
&=&48+120 \\[5pt]
&=&168\;[\text{FE}]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/383b8df103027761a2f7883e64d81e47fed87eb437ef97b94d47db1c6fe7fab3?color=5a5a5a)
b)
Für die Abstände der Punkte 
und zu gilt:
Da alle Abstände gleich sind, liegen die Punkte und auf einem Kreis mit Mittelpunkt 
c)
Mit dem Ansatz 
ergibt sich durch Einsetzen der Koordinaten der Punkte 
und 
das folgende Gleichungssystem:
![\(\begin{array}[t]{lrl}
\text{I}& 5c&=& 30 \\[5pt]
\text{II}& 3a+4b+5c&=& 30 \\[5pt]
\text{III}& 7,5a&=& 30 \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/618f6348bc273e1e19adab2e4b24fda76f493a539b5caaf8ad7ded5156ad3f13?color=5a5a5a)
Gleichung 
liefert 
Gleichung 
liefert 
Durch Einsetzen dieser Werte in 
folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
3\cdot 4+4b+5\cdot 6&=& 30 \\[5pt]
4b+42&=& 30 \quad \scriptsize \mid\; -42 \\[5pt]
4b&=& -12 \quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt]
b&=& -3
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d0337496d8775595db30e92e986ab1cd5c73b860229c3b03ca42a891fd31794a?color=5a5a5a)
Insgesamt gilt also:
d)
„Bestimme den Wert 
für den der Punkt mit den Koordinaten 
in der Ebene liegt.“
e)
Für 
besitzt das Vieleck vier Ecken, für 
besitzt es drei Ecken.
Der einzige Wert von für den das Vieleck zwei Symmetrieachsen hat, ist 
da für diesen Wert das entstandene Vieleck ein Rechteck ist.
f)
Der gesuchte Wert von ist der, für den 
orthogonal zu 
ist. Für die beiden Vektoren ergibt sich:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{MS_t}&=&\pmatrix{t-3\\0-4\\0-5} \\[5pt]
&=&\pmatrix{t-3\\-4\\-5}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/30080e44e58f9987891e585d6948be3e020d4ef90e9137c3d3886f3aade82ecb?color=5a5a5a)
Somit folgt für den gesuchten Wert von 