Aufgabe 3 - Stochastik

Eine Süßwarenfabrik produziert Geleefrüchte, die sich durch Farbe und Geschmack voneinander unterscheiden. Erfahrungsgemäß beträgt der Anteil der roten Geleefrüchte sowohl bei der Produktion als auch beim Verpacken $30\,\%.$ Die Zufallsgrößen $X_n$ beschreiben die Anzahl der roten Geleefrüchte in Stichproben vom Umfang $n.$

Begründe, dass die Zufallsgrößen $X_n$ als binominalverteilt angesehen werden können. Gib den Erwartungswert der Zufallsgröße $X_{20}$ an.

(3 BE)

Die Geleefrüchte werden maschinell in Tüten zu je 20 Stück verpackt.
Ermittle für folgende Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

A: „In einer Tüte befinden sich mindestens vier und höchstens acht rote Geleefrüchte.“
B: „In einer Tüte weicht die Anzahl der roten Geleefrüchte vom Erwartungswert ab.“
C: „Von fünf Tüten enthält keine die jeweils erwartete Anzahl roter Geleefrüchte.“

(6 BE)

Berechne den Mindestumfang einer Stichprobe von Geleefrüchten, so dass in dieser mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $96\,\%$ mindestens eine rote Geleefrucht zu finden ist.

(3 BE)

Bei einer Qualitätskontrolle der Geleefrüchte werden diese auf Farbe und Geschmack geprüft. Die Qualitätskontrolle ergab:

$30,0\,\%$ aller Geleefrüchte sind rot
$69,4\,\%$ der Geleefrüchte schmecken nicht nach Himbeere
$2,1\,\%$ der Geleefrüchte schmecken nach Himbeere und sind nicht rot

Erstelle zu dem gegebenen Sachverhalt eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel.

(3 BE)

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine nach Himbeere schmeckende Geleefrucht rot ist.

(2 BE)

Die Süßwarenfabrik möchte in einem Supermarkt Geleefrüchte an Kunden zur Verkostung anbieten und entnimmt der laufenden Produktion eine Stichprobe von $400$ Geleefrüchten.

Ermittle bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ alle möglichen Anzahlen roter Geleefrüchte in einer Stichprobe.

(3 BE)

Bei der Zufallsgröße $X_n$ wird nur zwischen rot und nicht rot unterschieden. Man kann davon ausgehen, dass die Geleefrüchte unabhängig voneinander verteilt werden. Bei jeder Geleefrucht kann man also davon ausgehen, dass sie mit der gleichen Wahrscheinlichkeit rot ist, unabhängig davon, wie viele rote Geleefrüchte sich sonst in der Stichprobe befinden. Damit sind die Bedingungen für eine Binomialverteilung gegeben.

Der Erwartungswert für $n=20$ und $p=0,3$ ergibt sich zu:

$\mu(X_{20}) = n\cdot p = 20\cdot 0,3 = 6$

$\begin{array}[t]{rll} P(A) &\approx& 77,96\,\%\\[10pt] P(B)&\approx& 80,84\,\%\\[10pt] P(C) &\approx& 34,52\,\%\\[10pt] \end{array}$

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$n\geq 9,02$

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Damit in einer Stichprobe mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $96\,\%$ mindestens eine rote Geleefrucht zu finden ist, müsste der Stichprobenumfang mindestens $10$ betragen.

$R:$ Eine Geleefrucht ist rot.
$H:$ Eine Geleefrucht schmeckt nach Himbeere.

	$R$	$\overline{R}$	Gesamt
$H$	$0,285$	$0,021$	$0,306$
$\overline{H}$	$0,015$	$0,679$	$0,694$
Gesamt	$0,300$	$0,700$	$1$

$\begin{array}[t]{rll} & P_H(R) \\[5pt] =& \dfrac{P(H\cap R)}{P(H)} \\[5pt] =& \dfrac{0,285}{0,306} \\[5pt] \approx& 0,9314 \\[5pt] =& 93,14\,\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $93,14\,\%$ ist eine nach Himbeere schmeckende Geleefrucht rot.

Es wird die binomialverteilte Zufallsgröße $X_{400}$ betrachtet. Mit den sigma-Regeln findet sich:

$P(102 \leq X_{400} \leq 138 )\approx 0,955$

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Bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von ca. $95\,\%$ sind für die roten Geleefrüchte alle Anzahlen im Intervall $[102;138]$ möglich.