Pflichtaufgabe 1 - Analysis

Gib das Verhalten von für und an. Berechne die Nullstellen von Begründe, dass der Graph von weder zum Koordinatenursprung noch zur -Achse symmetrisch ist. Ermittle eine Gleichung der Stammfunktion von deren Graph durch den Punkt verläuft und zeige, dass der Graph dieser Stammfunktion im Punkt eine waagerechte Tangente besitzt.

Die in definierte Funktion mit besitzt genau drei Nullstellen und wobei und gelten.
Schlussfolgere unter Verwendung der Gleichung auf zwei weitere Eigenschaften der Funktion bzw. ihres Graphen.

Jeder Graph besitzt genau zwei lokale Extrempunkte. Weise nach, dass und die lokalen Extremstellen von sind und ermittle die Art der lokalen Extrema sowie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen Für jeden Wert von wird die Gerade durch die lokalen Extrempunkte von betrachtet. Zeige, dass diese Geraden für unterschiedliche Werte von parallel zueinander sind.

  Verhalten der Funktion angeben Da es sich bei mit um eine ganzrationale Funktion dritten Grades ohne negatives Vorzeichen vor der höchsten Potenz handelt gilt:   Nullstellen bestimmen besitzt zwei Nullstellen und   Eigenschaft begründen besitzt genau zwei Nullstellen und der Graph schneidet an diesen Stellen die -Achse. Wäre der Graph von symmetrisch zum Koordinatenursprung oder zur -Achse, müsste der Graph die -Achse zusätzlich an einer dritten Stelle im negativen Bereich schneiden. müsste also noch eine weitere Nullstelle besitzen. Da dies aber nicht der Fall ist, kann der zugehörige Graph weder zur -Achse noch zum Koordinatenursprung symmetrisch sein.   Gleichung der Stammfunktion bestimmen Alle Stammfunktionen von haben eine Gleichung der Form Der Punkt soll auf dem Graphen liegen, also: Eine Gleichung der Stammfunktion von deren Graph durch den Punkt verläuft, ist:   Waagerechte Tangente zeigen Da eine Stammfunktion von ist, ist die erste Ableitungsfunktion von beschreibt damit die Steigung des Graphen von besitzt eine Nullstelle an der Stelle weshalb also die Steigung des Graphen von an der Stelle , also im Punkt , Null beträgt. Die Steigung der Tangente an den Graphen von im Punkt ist daher ebenfalls Null und damit ist die Tangente waagerecht.   Graphen zuordnen und begründen besitzt die beiden Nullstellen und Der zugehörige Graph muss die -Achse also an diesen Stellen schneiden. Dies ist bei Graph der Fall.
Graph gehört also zu Graph zu   Wert angeben Der Abbildung kann entnommen werden, dass der Graph von durch Verschiebung des Graphen von um eine Einheit in positive -Richtung hervorgeht.
Eine solche Verschiebung bedeutet für den Funktionsterm Der Wert von beträgt also

  Auf zwei Eigenschaften schlussfolgern Das Integral kann wie folgt aufgeteilt werden: Da genau drei Nullstellen und mit besitzt, entsprechen die Beträge der beiden Integralwerte oben den Inhalten der Flächen, die der Graph von mit der -Achse und den beiden Geraden und , bzw. und einschließt. Da keine konstante Funktion ist, sind diese Flächeninhalte nicht Null. Da aber der gesamte Integralwert Null ist, müssen sich die Integralwerte gegenseitig aufheben. Beide Integralwerte haben also den gleichen Betrag, einer hat aber ein negatives Vorzeichen. Das negative Vorzeichen entsteht dadurch, dass die entsprechende Fläche unterhalb der -Achse liegt. Es kann also darauf geschlossen werden, dass die Fläche, die vom Graphen von und der -Achse im Bereich bis eingeschlossen wird, genauso groß ist, wie die Fläche, die vom Graphen von und der -Achse im Bereich bis eingeschlossen wird. Eine dieser beiden Flächen liegt unterhalb der -Achse, die andere oberhalb der -Achse.
An der Stelle muss daher ein Vorzeichenwechsel von stattfinden.

  Extremstellen nachweisen Durch Anwendung des notwendigen Kriteriums für lokale Extremstellen ergibt sich mit der -Formel: Für jedes ist das notwendige Kriterium für lokale Extremstellen an genau zwei Stellen und erfüllt. Da die Graphen von laut Aufgabenstellung genau zwei lokale Extrempunkte besitzen, sind dies die lokalen Extremstellen von Mit dem hinreichenden Kriterium für lokale Extremstellen von ergibt sich für , also handelt es sich bei um eine Maximalstelle. Analog ist sodass es sich bei um eine Minimalstelle handelt. Die Graphen von besitzen genau einen Hochpunkt und genau einen Tiefpunkt mit den Koordinaten   Parallelität zeigen Die Geraden durch die beiden Extrempunkte von sind für verschiedene Werte von parallel, wenn sie für verschiedene Werte von die gleiche Steigung besitzen. Die Steigung der Gerade ergibt sich durch den Differenzenquotienten: Die Steigung der Geraden durch die beiden Extrempunkte eines Graphen ist mit unabhängig von und damit für jedes identisch. Die Geraden besitzen daher für verschiedene Werte von dieselbe Steigung, sind also parallel.