Pflichtaufgabe 3 - Stochastik

Eine Firma stellt Flachbildschirme her. Im Mittel ist einer von fünf hergestellten Bildschirmen fehlerhaft. Es soll angenommen werden, dass die Anzahl fehlerhafter Geräte unter zufällig ausgewählten Bildschirmen durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden kann.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

$A:$

„Von $50$ zufällig ausgewählten Bildschirmen sind höchstens $8$ fehlerhaft.“

$B:$

„Von $200$ zufällig ausgewählten Bildschirmen sind mehr als $30$ und weniger als $50$ fehlerhaft.“

Bestimme die Anzahl fehlerhafter Geräte, die unter $250$ zufällig ausgewählten Bildschirmen mit der größten Wahrscheinlichkeit auftritt.

Beurteile die folgende Aussage:

Wird eine Stichprobe von Bildschirmen um einen zufällig ausgewählten Bildschirm ergänzt, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Geräte fehlerfrei sind, nach der Ergänzung geringer als vorher.

Der Herstellungsprozess soll verbessert werden. Damit soll erreicht werden, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $25$ zufällig ausgewählten Bildschirmen keiner fehlerhaft ist, mindestens $10\,\%$ beträgt. Ermittle, wie groß der Anteil fehlerhafter Geräte nach der Verbesserung höchstens sein darf.

Fehler der Bildschirme treten am häufigsten in Form eines defekten Displays sowie in Form eines defekten Netzteils auf. Für einen zufällig ausgewählten Bildschirm beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

das Display defekt ist, $10,7\,\%,$
weder das Display noch das Netzteil defekt ist, $87,3\,\%.$
das Netzteil defekt ist, $3,0\,\%.$

Stelle den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Bildschirm mit defektem Display ein defektes Netzteil besitzt.

Jeder Bildschirm wird vor der Auslieferung abschließend geprüft. Von vierzig abschließend geprüften Bildschirmen, unter denen sechs fehlerhaft sind, werden zehn zufällig ausgewählt. Beurteile, ob die Anzahl fehlerhafter Bildschirme unter den ausgewählten binomialverteilt ist.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen

Betrachte die Zufallsgröße $X_{n},$ die die Anzahl fehlerhafter Geräte unter $n$ zufällig ausgewählten Bildschirmen beschreibt. Diese kann laut Aufgabenstellung als binomialverteilt mit $n$ und $p=\frac{1}{5}=0,2$ angenommen werden.
Mithilfe einer geeigneten Tabelle zur summierten Binomialverteilung ergibt sich dann:

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&\approx& 30,73\,\% \\[10pt] P(B)&\approx& 90,76\,\% \\[5pt] \end{array}$

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$\blacktriangleright$ Anzahl fehlerhafter Geräte mit der höchsten Wahrscheinlichkeit bestimmen

Betrachte die binomialverteilte Zufallsgröße $X_{250}$ aus der vorherigen Teilaufgabe. Bei einer binomialverteilten Zufallsgröße hat immer die Anzahl der Treffer, die dem Erwartungswert entspricht die höchste Wahrscheinlichkeit. Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße mit den Parametern $n=250$ und $p=0,2$ ergibt sich zu:

$\begin{array}[t]{rll} \mu&=& n\cdot p \\[5pt] &=& 250 \cdot 0,2 \\[5pt] &=& 50 \end{array}$

Mit der höchsten Wahrscheinlichkeit treten unter $250$ Bildschirmen $50$ fehlerhafte Bildschirme auf.

$\blacktriangleright$ Aussage beurteilen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Bildschirm fehlerfrei ist, beträgt $p= 0,8.$ Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $n$ Bildschirmen alle fehlerfrei sind, ist also $0,8^n.$
Analog beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $n+1$ Bildschirmen alle fehlerfrei sind $0,8^{n+1}.$
Eine Umformung der zweiten Wahrscheinlichkeit liefert:

$0,8^{n+1} = 0,8^n \cdot 0,8$

Der Term $0,8^n$ wird also mit einem Faktor multipliziert, der kleiner als $1$ ist. Dadurch gilt:

$0,8^{n} \cdot 0,8 \lt 0,8^n.$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Bildschirme fehlerfrei sind, sinkt also mit jedem Bildschirm, um den die Stichprobe ergänzt wird.

$\blacktriangleright$ Maximalen Anteil fehlerhafter Geräte ermitteln

Betrachte die Zufallsgröße $Y_{25},$ die die Anzahl fehlerhafter Geräte unter $25$ zufällig ausgewählten Bildschirmen beschreibt. Diese kann aus den gleichen Gründen wie $X_n$ als binomialverteilt angenommen werden. Es ist $n=25$ und $p$ unbekannt.
Es ist $p$ so zu wählen, dass $P(Y_{25} = 0)\geq 0,1$ beträgt. Forme diese Ungleichung mithilfe der Formel für die Binomialverteilung um:

$p\leq 0,087$

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Der Anteil fehlerhafter Geräte darf nach der Verbesserung höchstens ca. $0,087=8,7\,\%$ betragen.

$\blacktriangleright$ Vierfeldertafel erstellen

Bezeichne mit $D$ das Ereignis, dass ein Displayfehler vorliegt und mit $N$ das Ereignis, dass bei einem Gerät ein Netzteil defekt ist. Dann sind dir folgende Wahrscheinlichkeiten gegeben:

$P(D) = 0,107$
$P(\overline{D}\cap \overline{N}) = 0,873$
$P(N)$ $= 0,030$

Mit diesen kannst du auch die übrigen Einträge der Vierfeldertafel bestimmen:

Tabelle anzeigen

	$D$	$\overline{D}$	Gesamt
$N$	$0,01$	$0,02$	$\color{#87c800}{0,03}$
$\overline{N}$	$0,097$	$\color{#87c800}{0,873}$	$0,97$
Gesamt	$\color{#87c800}{0,107}$	$0,893$	$\color{#87c800}{1}$

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Mit den Bezeichnungen aus der vorherigen Teilaufgabe und der Vierfeldertafel erhältst du:

$\begin{array}[t]{rll} P_D(N)&=& \dfrac{P(N\cap D)}{P(D)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,01}{0,107} \\[5pt] &\approx& 0,093 \\[5pt] \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $9,3\,\%$ ist bei einem Gerät mit einem defekten Display auch das Netzteil defekt.

$\blacktriangleright$ Binomialverteilung beurteilen

Die Grundgesamtheit, aus der die Stichprobe gezogen wird, ist mit vierzig Bildschirmen relativ klein. Das Auswählen der zehn Bildschirme kann als Ziehen ohne Zurücklegen betrachtet werden. Beim ersten ausgewählten Bildschirm beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass er fehlerhaft ist $\frac{6}{40},$ die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Bildschirm hängt nun vom Ergebnis des ersten Bildschirms ab.
Die Wahrscheinlichkeit, einen fehlerhaften Bildschirm zu erwischen, ändert sich daher mit jedem zufällig ausgewählten Bildschirm. Die gleichbleibende Wahrscheinlichkeit ist aber eine der Grundvoraussetzungen für die Binomialverteilung. Die Anzahl fehlerhafter Bildschirme in dieser Auswahl kann daher nicht als binomialverteilt angesehen werden.