Aufgabe 1: Analysis
Die Abbildung zeigt den Graphen der in 
definierten Funktion 
mit 
Hinweis: Verwende zum grafischen Arbeiten ausschließlich die angezeigte Abbildung.
1.1
a)
Zeige rechnerisch, dass der Punkt 
ein Hochpunkt des Graphen von ist und dass die Tangente an den Graphen von im Punkt 
parallel zur 
-Achse verläuft.
(5 BE)
b)
Bestimme eine Gleichung der Gerade 
, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von verläuft.
Zeichne in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu ist und für 
mit dem Graphen von genau einen Punkt gemeinsam hat.
Zeichne in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu
(7 BE)
Für jede reelle Zahl
c)
Beschreibe wie der Graph von 
aus dem Graphen von 
erzeugt werden kann.
(2 BE)
d)
Bestimme denjenigen Wert von 
, für den der Punkt 
auf dem Graphen von 
liegt.
(2 BE)
e)
Es gibt genau einen positiven Wert von 
für den die Graphen von und genau zwei gemeinsame Punkte haben. Ermittle diesen Wert von .
(5 BE)
f)
Die Gleichung 
hat genau die drei Lösungen 
, 
und 
und es gilt 
.
Deute dies mit Bezug auf die Graphen von und 
.
Deute dies mit Bezug auf die Graphen von
(3 BE)
1.2
Ein Unternehmen lagert Glyzerin in einem Tank. Die momentane Änderungsrate des Tankinhalts kann für Dabei ist
Zu Beobachtungsbeginn befinden sich im Tank
a)
Der Punkt 
liegt auf dem Graphen von . Interpretiere die Koordinaten dieses Punkts im Sachzusammenhang.
(2 BE)
b)
Beurteile die folgende Aussage:
"Zwölf Stunden nach Beobachtungsbeginn ist die größte Menge Glyzerin im Tank enthalten."
"Zwölf Stunden nach Beobachtungsbeginn ist die größte Menge Glyzerin im Tank enthalten."
(2 BE)
c)
Bestimme grafisch die Zunahme des Tankinhalts zwischen den Zeitpunkten acht Stunden und zehn Stunden nach Beobachtungsbeginn.
(3 BE)
d)
Berechne, wie viel Glyzerin 
Stunden nach Beobachtungsbeginn im Tank enthalten ist.
(4 BE)
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1.1
Einsetzen in die Gleichung von 
![\(\begin{array}[t]{rll}
240 &=& 5a\cdot 4^2 \\[5pt]
240 &=& 80a &\quad \scriptsize \mid\; :80 \\[5pt]
3 &=& a
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/dc6a6865b810306eff3944aab8b7798c25b4815e4d31b596ea212f962c854189?color=5a5a5a)
Für 
liegt der Punkt 
auf dem Graphen von 
Die grünmarkierte Fläche beschreibt die Zunahme des Tankinhalts zwischen den Zeitpunkten 8 Stunden und 10 Stunden nach Beobachtungsbeginn.
Diese Fläche bedeckt ca. 8 Kästchen im Koordinatensystem. Der Flächeninhalt eines Kästchens beträgt![\(2\cdot 200\,\text{[FE]}.\)](https://mathjax.schullv.de/0a590fa6648b5778c6712d19aa68f811f0a2afbba7bd71c227d3a1087088d563?color=5a5a5a)
Die Zunahme des Tankinhalts im betrachteten Zeitraum beträgt daher ungefähr:
a)
Hochpunkt zeigen
Der Punkt liegt also auf dem Graphen von 
Überprüfen des notwendigen Kriteriums für Extremstellen von 
Die Stelle 
erfüllt das notwendige Kriterium für Extremstellen von
Art der Extremstelle mithilfe des hinreichenden Kriteriums überprüfen:
Da 
ist, handelt es sich bei um einen Hochpunkt des Graphen von
Parallelität der Tangente
Die Steigungen der Tangenten an den Graphen von werden durch 
beschrieben.
Die beschriebene Tangente verläuft also parallel zur -Achse.
b)
1. Schritt: Koordinaten der Wendepunkte bestimmen
Anwenden des notwendigen Kriteriums für Wendestellen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f](https://mathjax.schullv.de/6696f4e20334f99868962f06a5b4ff2c92e902f68121b047d281d47536b9267d?color=5a5a5a)
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt, dass 
oder 
sein muss.
![\(\begin{array}[t]{rll}
- \frac{15}{4}x +30 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +\frac{15}{4}x \\[5pt]
30 &=& \frac{15}{4}x &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \frac{4}{15} \\[5pt]
8 &=& x
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/10f5431b7dea7641cd323df14ef9d54decd9982bb3ea3c0994cdc1e3904599e4?color=5a5a5a)
Die beiden Wendestellen von sind also und 
2. Schritt: Geradengleichung bestimmen
Wegen 
verläuft die Gerade durch den Koordinatenursprung. Sie kann daher durch eine Gleichung der Form 
beschrieben werden.
Einsetzen der Koordinaten
![\(\begin{array}[t]{rll}
y &=& m\cdot x &\quad \scriptsize (8\mid 1280) \\[5pt]
1280 &=& m\cdot 8 &\quad \scriptsize \mid\; :8 \\[5pt]
160 &=& m
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/841b793e6dbb3b874bea13ef907e7ac4155d98819f9cc1792bd77cb0b13f5446?color=5a5a5a)
Die Gerade mit der Gleichung 
verläuft durch die beiden Wendepunkte des Graphen von
Einsetzen der Koordinaten
c)
Der Graph von kann aus dem Graphen von durch eine Streckung in y-Richtung mit dem Faktor 
erzeugt werden.
d)
e)
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme:
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt, dass die Gleichung erfüllt ist, wenn 
oder 
gilt. Mit der 
-Formel folgt:
Damit es zusätzlich zu nur genau eine weitere Lösung gibt, muss 
sein:
![\(\begin{array}[t]{rll}
64-16a &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +16a \\[5pt]
64 &=& 16a &\quad \scriptsize \mid\; :16 \\[5pt]
4 &=& a \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ed9483ab30b4cc6a567342fbc647580cae5bfbf03a0176bbb976978117197f93?color=5a5a5a)
Für 
haben die Graphen von und genau zwei gemeinsame Punkte.
f)
Die Graphen von und haben genau drei gemeinsame Punkte und schließen zwei Flächenstücke gleichen Inhalts ein, die auf verschiedenen Seiten des Graphen von liegen.
1.2
a)
Vier Stunden nach Beobachtungsbeginn beträgt die momentane Änderungsrate des Tankinhalts 240 kg pro Stunde.
b)
Die Aussage ist falsch, da die momentane Änderungsrate nach dem Zeitpunkt zwölf Stunden nach Beobachtungsbeginn zunächst weiterhin positiv ist. Der Tankinhalt nimmt danach also zunächst weiter zu.
c)
Diese Fläche bedeckt ca. 8 Kästchen im Koordinatensystem. Der Flächeninhalt eines Kästchens beträgt
d)
20 Stunden nach Beobachtungsbeginn befinden sich 1200 kg Glyzerin im Tank.