Wahlpflichtaufgaben
5.1
Gegeben ist die in 
definierte Funktion 
mit 
. Bestimme diejenige reelle Zahl 
mit 
, für die der Graph von und die Gerade mit der Gleichung 
eine Fläche mit dem Inhalt 
einschließen.
(5 BE)
5.2
Die Punkte 
und 
sind benachbarte Eckpunkte eines Quadrats.
Das Quadrat liegt in der Ebene mit der Gleichung 
.
Berechne die Koordinaten eines Punkts, der als weiterer Eckpunkt des Quadrats infrage kommt.
(5 BE)
5.3
Beim Verkauf von Losen wird damit geworben, dass „jedes Los gewinnt". Der Preis eines Loses beträgt 
. Es gibt zwei Gewinnkategorien: Sachpreis und Trostpreis.
Jeder Sachpreis hat einen Wert von 
und jeder Trostpreis einen Wert von 
.
a)
Der Anteil der Sachpreise beträgt zunächst 
.
Entscheide, ob die Gesamtzahl der Lose 
betragen kann und begründe deine Entscheidung.
(2 BE)
b)
Bestimme den erforderlichen Anteil an Sachpreisen, damit der Gewinn des Losverkäufers im Mittel 
Cent pro Los beträgt.
(3 BE)
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5.1
5.2
Damit ein weiterer Punkt 
ebenfalls in der Ebene liegt, muss dieser die Koordinaten 
haben. Zudem muss der Abstand von 
und der gleiche sein wie zwischen 
und 
Der Abstand soll 2 betragen, deshalb gilt:
Zudem muss ein rechter Winkel vorliegen:
also 
oben eingesetzt ergibt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
a_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt]
&=& -\dfrac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2+1} \\[5pt]
a_{1,2}&=&1\pm\sqrt{2}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/365841bfbe10832a5f7d17ec1e262ef74ce80bebeee31009e2757fbd128b5818?color=5a5a5a)
Somit ist z.B. 
ein weiterer Eckpunkt des Quadrats.
5.3
a)
Die Anzahl der Sachpreise ergibt sich zu 
Da dies keine natürliche Zahl ist und der Anteil der Sachpreise zunächst 20 % entspricht, kann die Gesamtzahl der Lose nicht 333 betragen.
b)
Damit der Gewinn des Losverkäufers im Mittel 10 cent beträgt, muss eines von zehn Losen ein Sachpreis sein.