Aufgabe 2: Analytische Geometrie

Ein Anbau eines Gebäudes wird modellhaft durch das abgebildete Prisma mit den Eckpunkten $A(0\mid 0\mid 0),$ $B(5\mid0\mid0),$ $C(5\mid4\mid 0),$ $D(0\mid4\mid 0),$ $E(0\mid0\mid 4),$ $F(5\mid0\mid 4),$ $G(5\mid3\mid 3)$ und $H(0\mid3\mid 3)$ beschrieben.

Das Viereck $EFGH$ stellt das Glasdach dar, das Viereck $ABFE$ eine geschlossene Wand; die anderen Seiten des Anbaus bestehen vollständig aus Glas.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
Die $xy$ -Ebene beschreibt den Untergrund, auf dem der Anbau steht.

Gebaeude Sachsen Anhalt Prisma Drachenviereck

(nicht maßstäblich)

Begründe, dass das Viereck $BCGF$ ein Drachenviereck ist.

(3 BE)

Die Ebene $L,$ in der die Punkte $A, B$ und $G$ liegen, kann durch eine Gleichung der Form $r \cdot y+s \cdot z=0$ dargestellt werden.

Bestimme passende Werte für $r$ und $s.$

(2 BE)

Begründe, dass die Ebene $L$ eine Symmetrieebene des Körpers $ABCDEFGH$ ist.

(3 BE)

Die beiden folgenden Rechnungen $I$ und $II$ liefern das Volumen des Anbaus:

$I: \; 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5=60$

$II: \;3 \cdot 5 \cdot 4=60$

Erläutere für eine der beiden Rechnungen den zugrunde liegenden Gedankengang.

(2 BE)

Auf dem Glasdach kann ein Rollo herabgelassen werden. Dabei bewegt sich das Rollo innerhalb einer Minute von der oberen Kante des Dachs, die durch $\overline{EF}$ dargestellt wird, bis zur unteren Kante des Dachs.

Bestimme die mittlere Geschwindigkeit, mit der das Rollo herabgelassen wird, in Zentimeter pro Sekunde.

(2 BE)

Zu einem bestimmten Zeitpunkt kann das auf den Anbau treffende Sonnenlicht durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\pmatrix{1\\-1\\-2}$ beschrieben werden.

Berechne die Größe des Winkels, unter dem das Sonnenlicht auf den Untergrund trifft.

(3 BE)

Die geschlossene Wand sowie der Schatten, den das vollständig herabgelassene Rollo auf dieser Wand erzeugt, sollen - in Form einer gesonderten zweidimensionalen Zeichnung - in der $xz$ -Ebene graphisch dargestellt werden.

Die folgende Rechnung stellt einen wesentlichen Schritt zur Lösung dieser Aufgabe dar:

$\pmatrix{x\\0\\z}=\pmatrix{0\\3\\3}+ \mu \cdot \pmatrix{1\\-1\\-2}$ liefert $\mu =3$ und damit $(3\mid0\mid-3).$

Beschreibe die Bedeutung dieses Lösungsschritts und fertige die angestrebte Zeichnung an.

(5 BE)

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$\mid\overline{BC}\mid=\left| \pmatrix{0\\4\\0} \right|=4$

$\mid\overline{BF}\mid=\left| \pmatrix{0\\0\\4} \right|=4$

$\mid\overline{GC}\mid=\left| \pmatrix{0\\1\\-3} \right|=\sqrt{10}$

$\mid\overline{GF}\mid=\left| \pmatrix{0\\-3\\1} \right|=\sqrt{10}$

Da $\mid\overline{BC}\mid=\mid\overline{BF}\mid$ und $\mid\overline{GC}\mid=\mid\overline{GC}\mid$ gilt, ist das Viereck $BCGF$ somit ein Drachenviereck.

Einsetzen der Koordinten von $G$ in die Ebenengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} r\cdot 3+s\cdot 3&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -3ss \\[5pt] 3r&=& -3s&\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] r&=& -s \end{array}$

Passende Werte sind somit beispielsweise $r=1$ und $s=-1.$

Das Prisma $A B C D E F G H$ mit dem Drachenviereck $B C G F$ als Grundfläche ist gerade. $L$ enthält die Symmetrieachse der Grundfläche und steht senkrecht zu dieser.

Rechnung $\text{I}$

$\begin{array}[t]{rll} V&=& G\cdot h & \\[5pt] &=& A_{BCGF}\cdot |\overrightarrow{AB} |& \\[5pt] &=& 2\cdot A_{BCG}\cdot |\overrightarrow{AB} |& \\[5pt] &=& 2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot z_G \cdot |\overrightarrow{AB} | & \\[5pt] &=& 2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 3\cdot 5 & \\[5pt] &=& 60 \;\text{[VE]} \end{array}$

Hilfsskizze Gebaeude Sachsen Anhalt Rollo

Der Flächeninhalt des Prismas ergibt sich aus dem Produkt der Grundfläche $BCGF$ und der Höhe.

Die Grundfläche wird hierbei in zwei kongruente Dreiecke aufgeteilt, deren Grundseite durch die Strecke $\overline{BC}$ bzw. $\overline{BF}$ und deren Höhe durch die $y$ - bzw $z$ -Koordinate von $G$ gegeben ist.

Rechnung $\text{II}$

Für diese Rechnung wird der obere Teil des Prismas gedanklich durch die Ebene $z=3$ abgetrennt und auf die rechte Seite des Prismas umgeklappt, sodass ein Quader mit der Breite $|\overrightarrow{BC}|=4,$ der Länge $|\overrightarrow{AB}|=5$ und der Höhe $z_G=3$ entsteht.

Das Volumen des Prismas entspricht somit dem Volumen des Quaders und folgt nun mit $V=3\cdot 5\cdot 4=60 \;\text{[VE]}.$

Hilfsskizze Volumen Gebaeude Rollo Sachsen Anhalt

$\begin{array}[t]{rll} |\overline{EH}|&=& \sqrt{(0-0)^2+(3-0)^2+(3-4)^2}& \\[5pt] &=& \sqrt{10}\left[\text{m}\right]& \\[5pt] &\approx& 3,16\left[\text{m}\right] \end{array}$

Es gilt also:

$\dfrac{3,16\,\text{m}}{1 \,\text{min}}=\dfrac{316\,\text{cm}}{60\,\text{s}}\approx 5,27 \dfrac{\,\text{cm}}{\,\text{s}}$

Ein Normalenvektor des Untergrunds ist beispielsweise $\pmatrix{0\\0\\1}.$

Somit ergibt sich:

Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 55^{\circ}$

$(3\mid 0\mid -3)$ ist der Schnittpunkt $S$ der Gerade durch $H$ mit dem gegebenen Richtungsvektor und der $xz$ -Ebene.

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