Aufgabe 3.1: Stochastik
Bei einem Smartphone-Spiel kann jeder Spieler jeden Sonntag Sterne gewinnen. Dazu hat er jeweils zehn Versuche. Bei jedem Versuch kann nur ein Stern gewonnen werden; die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt
a)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler bei zehn Versuchen mehr als sechs Sterne gewinnt.
(2 BE)
b)
Beurteile die folgende Aussage eines Spielers:
"Ich habe an den letzten drei Sonntagen jeweils acht Sterne gewonnen. Daher ist meine Chance, an diesem Sonntag wieder acht Sterne zu gewinnen, deutlich kleiner als vorher"
"Ich habe an den letzten drei Sonntagen jeweils acht Sterne gewonnen. Daher ist meine Chance, an diesem Sonntag wieder acht Sterne zu gewinnen, deutlich kleiner als vorher"
(2 BE)
c)
An einem Sonntag nutzen vier Spieler jeweils die möglichen zehn Versuche zum Gewinnen von Sternen. Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei zwei der vier Spieler jeweils fünf Sterne gewinnen.
(3 BE)
d)
Die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem Versuch einen Stern zu gewinnen, wird geändert. Anschließend beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, bei zehn Versuchen höchstens drei Sterne zu gewinnen, etwa 
. Ermittle die geänderte Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem Versuch einen Stern zu gewinnen, auf ganze Prozent genau.
(3 BE)
Außerdem hat jeder Spieler täglich einmal die Möglichkeit, allein durch Starten des Spiels Bonuspunkte zu erhalten. Durch das Starten wird ihm automatisch eine zufällig bestimmte Anzahl von Bonuspunkten gutgeschrieben. Der Tabelle können die möglichen Anzahlen und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten entnommen werden.
| Bonuspunkte | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|
| 10 | 50 % |
| 20 | 40 % |
| 50 | 10 % |
e)
Ein Spieler startet das Spiel an drei aufeinaderfolgenden Tagen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Spieler von Tag zu Tag weniger Bonuspunkte erhält.
(2 BE)
f)
Ein Spieler startet das Spiel an vier Tagen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Spieler dabei insgesamt 
Bonuspunkte erhält.
(4 BE)
g)
Die Wahrscheinlichkeiten für 
und 
Bonuspunkte werden so geändert, dass die Spieler im Zeitraum von 
Tagen, an denen das Spiel gestartet wird, im Mittel 
Bonuspunkte erhalten. Ermittle die beiden geänderten Wahrscheinlichkeiten.
(4 BE)
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a)
Die Zufallsvariable 
beschreibt die zufällige Anzahl der gewonnenen Sterne bei 
Versuchen. kann als binomialverteilt mit und 
angenommen werden.
Mithilfe des Taschenrechners oder einer Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung ergibt sich:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 5 % erhält ein Spieler bei zehn Versuchen mehr als 6 Sterne.
b)
Die Aussage ist falsch, da die Wahrscheinlichkeit dafür, einen Stern zu gewinnen, bei allen Versuchen gleich groß ist.
c)
Die Wahrscheinlichkeit, bei zehn Versuchen fünf Sterne zu gewinnen beträgt:
Die Zufallsgröße 
beschreibt die zufällige Anzahl der Spieler, die fünf Sterne gewinnen. wird als binomialverteilt mit 
und 
angenommen.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 15 % gewinnen zwei der vier Spieler jeweils fünf Sterne.
d)
e)
Mit der Pfadmultiplikationsregel ergibt sich:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 2 % erhält der Spieler von Tag zu Tag weniger Bonuspunkte.
f)
In vier Tagen können 80 Bonuspunkte erreicht werden, wenn entweder einmal 50 und an den anderen drei Tagen 10 oder viermal 20 Bonuspunkte erreicht werden. Mit den Pfadregeln folgt:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 8 % erzielt ein Spieler in vier Tagen genau 80 Bonuspunkte.
g)
Da in 200 Tagen im Mittel 3000 Bonuspunkte erzielt werden sollen, müssen pro Tag im Mittel 
Bonuspunkte erreicht werden.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit für 10 Bonuspunkte wird mit 
bezeichnet, die neue Wahrscheinlichkeit für 20 Bonuspunkte beträgt dann 
Mit der Formel für den Erwartungswert ergibt sich: Die geänderte Wahrscheinlichkeit für 10 Bonuspunkte beträgt 80 %, die Wahrscheinlichkeit für 20 Bonuspunkte beträgt 10 %.
Mit der Formel für den Erwartungswert ergibt sich: Die geänderte Wahrscheinlichkeit für 10 Bonuspunkte beträgt 80 %, die Wahrscheinlichkeit für 20 Bonuspunkte beträgt 10 %.