Wahlaufgabe 2 - Analytische Geometrie

Wahlpflichtaufgabe 4.2 - Analytische Geometrie

In einem kartesischen Koordinatensystem sind gegeben ein Kreis $k_1$ mit der Gleichung $x^2+4x+y^2-2y-20=0$ sowie ein Kreis $k_2$ mit dem Radius $r_2=\sqrt{80}$ und dem Mittelpunkt $M_2(-7\mid 1)$ .

a) Ermittle die Koordinaten des Mittelpunktes $M_1$ des Kreises $k_1$ und dessen Radius $r_1$ .
Gib eine Gleichung des Kreises $k_2$ an.

Die beiden Kreise $k_1$ und $k_2$ schneiden einander in den zwei Punkten $S_1(x_1\mid y_1\gt 0)$ und $S_2(x_2\mid y_2\lt 0)$ .

Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte.

b) Die Punkte $S_1$ , $S_2$ , $M_2$ und ein Punkt $T$ bilden ein Viereck mit folgenden Eigenschaften:

(1)	$\overrightarrow{M_2S_1}=\overrightarrow{S_2T}$
(2)	$\left\|\overrightarrow{M_2S_1}\right\|=\left\|\overrightarrow{M_2S_2}\right\|$

Schlussfolgere unter Verwendung dieser beiden Eigenschaften auf die Vierecksart.

Aufgabe 4.2

In dieser Aufgabe sind zwei Kreise in einem kartesischen Koordinatensystem gegeben. Der erste Kreis $k_1$ ist durch eine Gleichung gegeben:

$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 4x + y^2 -2y -20=0 \\[5pt] \end{array}$

Der zweite Kreis hat einen Radius von $r_2=\sqrt{80}$ und der Kreismittelpunkt ist gegeben durch $M_2(-7\;|\;1)$ .

$\blacktriangleright$ Ermittel den Mittelpunkt $\boldsymbol{M_1}$ und den Radius $\boldsymbol{r_1}$

In diesem Aufgabenteil sollst du den Mittelpunkt $M_1$ und den Radius $r_1$ des ersten Kreises bestimmen. Dazu stellst du die Gleichung, die den Kreis beschreibt, so um, dass sie in der Form der allgemeinen Kreisgleichung ist.

$(x-m_1)^2+(y-m_2)^2-r^2=0$

Wenn sie in dieser Form ist, geben die Parameter $m_1$ und $m_2$ den Kreismittelpunkt $M(m_1\;|\;m_2)$ an. Der Parameter $r$ ist der Kreisradius $r$ .

Mulltipliziert man die obere Gleichung aus ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} x^2 -2xm_1 +m_1^2 + y^2 -2ym_2 + m_2^2 -r^2 &=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Vergleichst du die Gleichung mit der gegebenen Kreisgleichung, siehst du, dass die $x^2$ und $y^2$ Terme bereits übereinstimmen. Daher wählst du zunächst nach $m_1$ und $m_2$ so, dass die $x$ - und $y$ -Terme übereinstimmen.

$\begin{array}[t]{rll} -2m_1x&=&4x &\quad& \scriptsize \mid\; :(-2x) \\[5pt] m_1&=& -2 \\[5pt] \end{array}$

Analog gehst du vor wenn du $m_2$ finden willst.

$\begin{array}[t]{rll} -2m_2y&=&-2y \quad \scriptsize \mid\; :(-2y)\\[5pt] m_2&=&1\\[5pt] \end{array}$

Du kannst jetzt beide Terme in die allgemeine Kreisgleichung einsetzen und mit der Gleichung für Kreis $k_1$ gleichsetzen.

$\begin{array}[t]{rll} (x+2)^2+(y-1)^2-r^2&=& x^2+4x+y^2-2y-20 \\[5pt] x^2+4x+4+y^2-2y+1-r^2&=& x^2+4x+y^2-2y-20 &\quad& \scriptsize \mid\; -(x^2+4x+y^2-2y) \\[5pt] 5-r^2&=& -20 &\quad& \scriptsize \mid\; -5 \\[5pt] -r^2 &=& -25 &\quad& \scriptsize \mid\; \cdot(-1) \\[5pt] r^2 &=& 25 &\quad& \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] r &=& 5 \\[5pt] \end{array}$

Der Kreismittelpunkt ist somit $M_1(-2\;|\;1)$ und der Radius ist $r_1=5$ .

$\blacktriangleright$ Bestimme die Gleichung für Kreis $\boldsymbol{k_2}$

Um eine Gleichung des Kreises $k_2$ anzugeben, setzt du den Kreismittelpunkt $M_2$ und den Radius $r_2$ in die allgemeine Kreisgleichung ein.

Aus dem Kreismittelpunkt $M_2(-7\;|\;1)$ kannst du die Parameter $m_1=-7$ und $m_2=1$ herauslesen. Das Quadrat des Radius $r_2=\sqrt{80}$ ergibt den Parameter $r^2=80$ . Als Kreisgleichung kannst du folgendes angeben:

$\begin{array}[t]{rll} (x+7)^2 + (y-1)^2 - 80 =0 \\[5pt] \end{array}$

Oder du löst die Klammern mit der binomischen Formel auf:

$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 14x + y^2 - 2y - 30 =0 \\[5pt] \end{array}$

Die Kreisgleichung von $k_2$ lautet $(x+7)^2 + (y-1)^2 - 80 =0$ oder $x^2 + 14x + y^2 - 2y - 30 =0$ .

$\blacktriangleright$ Bestimme die Schnittpunkte $\boldsymbol{S_1}$ und $\boldsymbol{S_2}$ der Kreise

Um die Schnittpunkte der Kreise zu bestimmen, setzt du die beiden linken Seiten der Kreisgleichungen gleich und löst nach einer Variablen auf. Die Lösung für eine Koordinate kannst du dann in eine Kreisgleichung einsetzen und du erhälst die Schnittpunkte.

1. Schritt: Differenz der Kreisgleichungen

Um die Differenz zu bilden, verwendest du am besten die ausmultiplizierten Gleichungen:

$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 14x + y^2 - 2y - 30 &=& x^2 +4x + y^2 -2y -20 &\quad& \scriptsize \mid\; -x^2 -4x -y^2 +2y +20\\[5pt] 10x - 10 &=& 0&\quad& \scriptsize \mid\; +10 \\[5pt] 10x &=& 10 &\quad& \scriptsize \mid\; :10 \\[5pt] x &=& 1 \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Geradengleichung in Kreisgleichung einsetzen

Die Geradengleichung $x=1$ setzt du in eine der Kreisgleichungen ein, um die passenden $y$ -Werte zu erhalten.

$\begin{array}[t]{rll} (1)^2+4\cdot 1 +y^2-2y-20&=&0 \\[5pt] y^2-2y-15 &=& 0\\[5pt] \end{array}$

Die Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder der pq-Formel lösen:

Mitternachtsformel:

$\begin{array}[t]{rll} ay^2+by+c&=&0 \\[5pt] y_{1/2} &=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[5pt] &=& \dfrac{2\pm\sqrt{4+60}}{2}\\[5pt] &=& \dfrac{2\pm 8}{2}\\[5pt] y_1 &=& 5\\[5pt] y_2 &=& -3 \\[5pt] \end{array}$

pq-Formel:

$\begin{array}[t]{rll} y^2+py+q&=&0 \\[5pt] y_{1/2} &=& -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{(\dfrac{p}{2})^2-q}\\[5pt] &=& 1\pm\sqrt{1+15}\\[5pt] &=& 1\pm 4\\[5pt] y_1 &=& 5\\[5pt] y_2 &=& -3 \\[5pt] \end{array}$

Wenn du dir nicht sicher bist, kannst du die Geradengleichung auch in die andere Kreisgleichung einsetzen und überprüfen, ob beide Rechnungen dasselbe Ergebnis liefern.

3. Schritt: Schnittpunkte angeben

Die Schnittpunkte kannst du jetzt als $S_1(1\;|\;5)$ und $S_2(1\;|\;-3)$ angeben. Die $x$ -Stellen ergeben sich aus der Geradengleichung $x=1$ , die $y$ -Werte hast du in Schritt 2 berechnet.

b) $\blacktriangleright$ Bestimme die Vierecksart

Hier ist ein Viereck mit den Eckpunkten $S_1$ , $S_2$ , $M_2$ und $T$ gegeben. Du weißt, dass

$\overrightarrow{M_2S_1}=\overrightarrow{S_2T}$

$|\overrightarrow{M_2S_1}|=|\overrightarrow{M_2S_2}|$

Die erste Angabe (1) zeigt dir, dass die Strecken $\overline{M_2S_1}$ und $\overline{S_2T}$ gleich lang sind, da die Vektoren, die die Strecken repräsentieren identisch sind und somit gleichlang sind. Du weißt also, dass zwei Seiten des Vierecks gleich lang sind. Die Strecken liegen zudem parallel zueinander, weil die Vektoren identisch sind und somit in die selbe Richtung zeigen.

Wenn zwei gegenüberliegende Seiten des Vierecks gleichlang und parallel sind, muss es sich bei dem Viereck um ein Parallelogramm handeln. Bei einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten immer gleichlang. Daher weißt du, dass die Strecken $\overline{M_2S_2}$ und $\overline{S_1T}$ gleichlang sind.

Die zweite Angabe (2) zum Viereck gibt an, dass die Strecken $\overline{M_2S_1}$ und $\overline{M_2S_2}$ gleich lang sind, da der Betrag und somit die Länge der repräsentierenden Vektoren gleich ist.

Mit dieser Angabe weißt du jetzt, dass alle Seiten des Vierecks gleichlang sind. Ein Parallelogramm mit gleichlangen Seiten ist eine Raute.

Graf mit einem Koordinatensystem und mehreren markierten Punkten. Hintergrund in Schwarz, Punkte in Blau.