Pflichtaufgabe 3 - Stochastik

Pflichtaufgabe 3 - Stochastik

Wasserzähler in Haushalten müssen geeicht sein. Die Genauigkeit der Messung mit Wasserzählern verschlechtert sich im Laufe der Jahre z.B. durch Abnutzung oder Ablagerungen je nach Wasserqualität. Wenn ein Wasserzähler nicht mehr die geforderte Messgenauigkeit besitzt, gilt er als fehlerhaft.

a) In einer Region beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen fehlerhaften Wasserzähler $5\,$ %.
Die Zufallsgrößen $X_n$ beschreiben jeweils die Anzahl der fehlerhaften Wasserzähler in Stichproben mit $n$ Wasserzählern und werden als binomialverteilt angenommen.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse.

A: Von 80 zufällig ausgewähltem Wasserzählern sind genau 4 fehlerhaft.

B: Von 100 zufällig ausgewähltem Wasserzählern sind mehr als 10 fehlerhaft.

Berechne mit Hilfe der Standardnormalverteilung die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 1.200 zufällig ausgewählten Wasserzählern höchstens 50 fehlerhaft sind.

b) Mit Ablauf der Eichgültigkeitsdauer sind die Wasserzähler durch geeichte Wasserzähler auszutauschen, sofern eine Stichprobenprüfung keine Verlängerung der Gültigkeitsdauer gestattet.
Eine Entscheidung für eine Verlängerung der Gültigkeitsdauer wird getroffen, wenn die Wahrscheinlichkeit für einen fehlerhaften Wasserzähler kleiner als $10\,$ % ist.
Es wird eine Stichprobe von 50 Wasserzählern auf die Anzahl fehlerhafter Wasserzähler untersucht.
Die Entscheidung wird durch einen Signifikanztest mit der Nullhypothese $H_0:p\geq 0,1$ herbeigeführt.
Ermittle den größtmöglichen Ablehnungsbereich auf dem Signifikanzniveau $\alpha =0,05$ und formuliere eine Entscheidungsregel.
Berechne die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art und interpretiere den Fehler 1. Art im Sachzusammenhang.

Aufgabe 3

a) Binomialverteilte Zufallsvariable

In dieser Teilaufgabe sollst du bestimmen, wie wahrscheinlich es ist, dass eine bestimmte Anzahl an Wasserzählern defekt ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zähler defekt ist, ist $p=0,05$ , bzw. ein Zähler ist mit der Wahrscheinlichkeit $q=0,95$ funktionstüchtig. $X$ ist also mit $p=0,05$ und $n$ binomialverteilt. Die Wahrscheinlichkeit einer binomialvertielten Zufallsgröße kannst du mit dieser Formel berechnen:

$P(X_n=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k \cdot q^{n-k}$

Wobei $X_n$ die Anzahl an defekten Geräten, $n$ die Anzahl überprüfter Geräte und $k$ die gesuchte Anzahl an defekten Geräten ist.

$\blacktriangleright$ A: Von 80 Wasserzählern sind 4 fehlerhaft

Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit, dass von $n=80$ Wasserzählern genau $k=4$ defekt sind, bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} P(A)= P(X_n=4)&=&\binom{80}{4}\cdot 0,05^4 \cdot 0,95^{76} \\[5pt] &\approx& 0,2 \\[5pt] \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass von 80 überprüften Geräten genau 4 defekt sind, liegt also in etwa bei 20,0%.

$\blacktriangleright$ B: Von 100 Wasserzählern sind mehr als 10 fehlerhaft

Im nächsten Schritt musst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass von 100 mehr als 10 Wasserzähler fehlerhaft sind. Dabei ist $n=100$ und $k>10$ Es gibt zwei Wege die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen.

$\blacktriangleright$ $\blacktriangleright$ Lösungsweg 1: Bestimmen mittels Tabelle

Für die Parameter $p=0,05$ , $n=100$ und $k=10$ erhälst du mit der Tabelle zur Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeit, dass maximal 10 Geräte defekt sind. Um die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 10 Geräte defekt sind zu bestimmen, musst du das Gegenereignis $1-P(k\le10)$ berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} P(B) &=& 1-P(k\le 10) \\[5pt] &\approx& 1-0,9885 \\[5pt] &=& 0,0115\\[5pt] \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 10 Wasserzähler defekt sind, ist somit 1,15%.

$\blacktriangleright$ $\blacktriangleright$ Lösungungsweg 2: Berechnung mit deinem Taschenrechner

Wenn dein Taschenrechner in der Lage ist Summen zu berechnen kannst du die Wahrscheinlichkeit für Ereignis B mit der Summenfunktion lösen:

$\begin{array}[t]{rll} P(B) &=& P(k>10) \\[5pt] &=&\sum\limits_{k=11}^{100} \binom{n}{k} \cdot p^{k}\cdot q^{n-k} \\[5pt] &=&\sum\limits_{k=11}^{100} \binom{100}{k} \cdot 0,05^k\cdot 0,95^{100-k} \\[5pt] &\approx& 0,0115 \\[5pt] \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 10 Wasserzähler defekt sind ist somit 1,15%.

$\blacktriangleright$ Bestimmen der Wahrscheinlichkeit mit der Standardnormalverteilung

Im nächsten Schritt sollst du mit der Standardnormalverteilung die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass bei 1200 überprüften Geräten höchstens 50 defekt sind. Unter der Voraussetzung $\sigma= \sqrt{n \cdot p \cdot (p-1)} > 3$ gilt der Grenzwertsatz von DeMoivre-Laplace :

$P(X_n\le k)\approx\Phi \left(z= \dfrac{k+0,5 - \mu}{\sigma}\right)$

$\Phi (z)$ ist eine Funktion, die dir die gesuchte Wahrscheinlichkeit angibt. $z$ ist von $k$ , dem Erwartungswert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$ abhängig.

1. Schritt Bedingung überprüfen

Zunächst überprüfst du ob die Bedingung für den Grenzwertsatz von DeMoivre-Laplace gegeben ist:

$\begin{array}[t]{rll} \sigma &=& \sqrt{1200 \cdot 0,05 \cdot (1-0,05)} \\[5pt] &\approx& 7,55 > 3 \end{array}$

Die Bedingung ist also erfüllt.

2. Schritt Wahrscheinlichkeit berechnen

Als nächstes musst du noch den Erwartungswert $\mu = n\cdot p$ bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} \mu &=& n \cdot p \\[5pt] &=& 60 \\[5pt] \end{array}$

Jetzt kannst du $z$ berechnen und die Wahrscheinlichkeit angeben:

$\begin{array}[t]{rll} P(X_{1200} \le 50) &\approx& \Phi\left(z=\dfrac{50 + 0,5 - 60}{7,55}\right) \\[5pt] &=& \Phi\left(\dfrac{-9,5}{7,55}\right) \\[5pt] &\approx& \Phi(-1,26) \\[5pt] &=& 0,1038 = 10,38\% \\[5pt] \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass von 1200 Geräte maximal 50 defekt sind, liegt bei 10,38%.

b) $\blacktriangleright$ Größtmöglichen Ablehnungsbereich bestimmen

Bei einer Stichprobenprüfung sollen 50 Wasserzähler überprüft werden. Wenn die Wahrscheinlichkeit für defekte Geräte unter 10% liegt, wird die Gültigkeitsdauer verlängert. Die Entscheidung wird durch einen Signifikanztest mit der Nullhypothese $H_0: p\ge0,1$ herbeigeführt. Dazu sollst du den größtmöglichen Ablehnungsbereich auf dem Signifikanzniveau $\alpha = 0,05$ bestimmen und eine Entscheidungsregel formulieren.

Die Zufallsgröße $X$ , die binominalverteilt ist, beschreibt die Anzahl fehlerhafter Geräte.
Die Nullhypothese $H_0: p\ge0,1$ wird bei kleinen Werten der Zufallsgröße nicht erfüllt.
Für den Ablehnungsberich gilt demnach:

A = {0;1;...k}

Der Ablehnungsbereich soll auf dem Signifikanzniveau $\alpha = 0,05$ berechnet werden.

$\begin{array}[t]{rll} P(Y\le k) &\le& 0,05 \\[5pt] \end{array}$

Den Parameter $k$ kannst du nun mit Hilfe einer Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung bestimmen.
Eine Näherung über eine Standardnormalverteilung ist nicht möglich, weil die Bedingung zur Näherung nicht erfüllt wird:

$\begin{array}[t]{rll} \sigma&=&\sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)} \\[5pt] &=& \sqrt{50\cdot 0,1 \cdot (1-0,1)} \\[5pt] &\approx& 2,12 \lt 3\\[5pt] \end{array}$

Betrachte eine Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung mit $n=50$ und $p=0,1$ und suche den Wert für $k$ , für den diese Ungleichung gerade noch erfüllt ist. Dort findest du:

$\begin{array}[t]{rll} P(Y\le 1) &\le& 0,0338 \\[5pt] \end{array}$

Der größtmögliche Ablehnungsbereich ist $A=\{0;1\}$ . Das heißt wenn nur 0 oder 1 defekter Wasserzähler bei einer Stichprobe von 50 Wasserzählern gefunden wird, wird eine Verlängerung der Gültigkeitsdauer durchgeführt.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art

Abschließend sollst du die Wahrscheinlichkeit $\alpha$ für den Fehler 1. Art berechnen. Es handelt sich um einen Fehler 1. Art, wenn die Hypothese abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist. Der Ablehnungsbereich ist $A=\{0;1\}$ . Die zugehörige Wahrscheinlichkeit hast du bereits in einer Tabelle zur komulierten Binomialverteilung gefunden:

$\begin{array}[t]{rll} \alpha &=& P(X \le 1) \\[5pt] &\approx& 3,38\% \\[5pt] \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art beträgt ca. 3,38%. Das heißt, es gibt eine 3,38% Wahrscheinlichkeit, dass bei 0 oder 1 defekten Wasserzähler die Wahrscheinlichkeit für defekte Wasserzähler über 10% liegt.