Aufgabe 3 - Stochastik

In einem großen Unternehmen sind $25\,\%$ der Beschäftigten weiblich.

3.1

Es werden $50$ Beschäftigte zufällig ausgewählt. Die Anzahl der weiblichen Beschäftigten unter den ausgewählten kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ beschrieben werden.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens $12$ der ausgewählten Beschäftigten weiblich sind.

2 BE

Beschreibe die Bedeutung der folgenden mathematischen Aussage im Sachzusammenhang:
$\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{10} \pmatrix{50\\k} \cdot 0,25^k \cdot 0,75^{50-k} \approx 0,26$

3 BE

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den $50$ ausgewählten Beschäftigten die Anzahl derjenigen, die nicht weiblich sind, viermal so groß ist wie die Anzahl der weiblichen.

2 BE

Begründe ohne Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ bei $12$ oder $13$ den größten Wert hat.

3 BE

3.2

Unter allen Beschäftigten wurde eine Befragung zur Zufriedenheit am Arbeitsplatz durchgeführt. Dabei ergab sich, dass $3,5\,\%$ der weiblichen und $10,5\,\%$ der anderen Beschäftigten unzufrieden sind. Unter allen Beschäftigten wird eine Person zufällig ausgewählt. Das abgebildete Baumdiagramm stellt den Sachverhalt dar.


		$\overline{w}$		$w$
$x$			$\quad$
	$\overline{u}$	$u$		$\overline{u}$	$u$
					$y$

Ermittle die Werte von $x$ und $y$ .

3 BE

Die ausgewählte Person ist an ihrem Arbeitsplatz unzufrieden.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie nicht weiblich ist.

3 BE

Für eine Abteilung des Unternehmens ergab die Befragung, dass $4\,\%$ der weiblichen und $10\,\%$ der anderen Beschäftigten an ihrem jeweiligen Arbeitsplatz unzufrieden sind. Unter allen Beschäftigten dieser Abteilung ist der Anteil der unzufriedenen Beschäftigten, die nicht weiblich sind, fünfmal so groß wie der Anteil der unzufriedenen weiblichen Beschäftigten.

Bestimme für diese Abteilung den Anteil der weiblichen Beschäftigten.

4 BE

3.1

Betrachtet wird die Zufallsgröße $X$ , die die Anzahl der weiblichen unter 50 zufällig ausgewählten Beschäftigten beschreibt. $X$ kann laut Aufgabenstellung als binomialverteilt mit $n=50$ und $p= 0,25$ angenommen werden.
Mithilfe einer Tabelle zur summierten Binomialverteilung ergibt sich dann:

$P(X\geq 12) = 1-P(X\leq 11) = 1- F(50; 0,25 ;11)=1-0,3816=0,6184 =61,84$ %

Der Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass unter 50 zufällig ausgewählten Beschäftigten höchstens 10 weibliche Beschäftigte zufällig ausgewählt werden.

Zunächst musst du ausrechnen wieviele Angestellte weiblich sind.
Es gilt $w + 4w =50$ und somit ist $w=10$ .

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 50 zufällig ausgewählten Beschäftigten genau 40 nicht weiblich sind, beträgt:

$\pmatrix{50\\40} \cdot 0,25^{10} \cdot 0,75^{40} \approx 0,1 =10$ %

Den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnest du mit $\mu = n \cdot p= 50 \cdot 0,25 =12,5$ . Der Erwartungswert hat bei einer Binomialverteilung die größte Wahrschinlichkeit. In einer Binomialverteilung kann die Zufallsgröße keinen ungeraden Wert annehmen und hat somit ihren größten Wert bei 12 oder 13.

3.2

Mit der Pfadmultiplikationsregel und der Gegenwahrscheinlichkeit kannst du die Werte für $x$ und $y$ berechnen.

$y=0,25 \cdot 0,035 = 0,00875$

$x= 1-0,105=0,895$

Bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit handelt es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit, die du mit dem Satz von Bayes berechnest.

Zunächst ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person unzufrieden ist, gesucht. Diese berechnest du mit der Pfadmuliplikationsregel entlang aller Pfade unzufriedener Angestellter ohne Berücksichtigung des Geschlechtes.

$0,25 \cdot 0,035 + 0,75 \cdot 0,105 =0,0875$

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person unzufrieden und nicht weiblich ist, berechnet sich nun folgendermaßen mit dem Satz von Bayes:

$P_u(\overline{w})= \dfrac{0,75\cdot 0,105}{0,0875}$ $=0,9= 90$ %

Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, dass $4$ % der weiblichen Angestellten unzufrieden sind und $10$ % der nicht weiblichen Angestellten sind auch unzufrieden. Den Anteil der weiblichen Angestellten und der Anteil der nicht weiblichen Angestellten ist unbekannt. Wir bezeichnen $x = \text{Anteil der weiblichen Angestellten}$ .

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Angestellter weiblich und unzufrieden mit dem Arbeitsplatz ist, beträgt also $P(w \cap u)= x \cdot 0,04$ .

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Angestellter nicht weiblich und unzufrieden mit dem Arbeitsplatz ist, beträgt $P(\overline{w} \cap u)= (1- x) \cdot 0,1$ .

Aus der Aufgabenstellung geht außerdem hervor, dass der Anteil der unzufriedenen, nicht weiblichen Angestellten fünfmal so groß ist wie der Anteil der unzufriedenen weiblichen Angestellten.
Es gilt also $5 \cdot P(w \cap u)=P(\overline{w} \cap u)$ . Du kannst nun die Wahrscheinlichkeiten einsetzen und nach $x$ auflösen.

$\begin{array}[t]{rll} 5 \cdot P(w \cap u)&=& P(\overline{w} \cap u)&\quad \scriptsize \\[5pt] 5 \cdot (x \cdot 0,04)&=& (1-x) \cdot 0,1&\quad \scriptsize \\[5pt] 0,2 x&=&0,1-0,1x &\quad \scriptsize \mid\;+0,1 x \\[5pt] 0,3 x &=& 0,1&\quad \scriptsize \mid\; :0,3\\[5pt] x&=& \dfrac{1}{3}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Der Anteil der weiblichen Angestellten beträgt also $\dfrac{1}{3}$ .