Aufgabe 2: Analytische Geometrie
Die Eckpunkte eines Holzkörpers werden durch 
, 
, 
und 
dargestellt (vgl. Abbildung). Die Punkte 
und 
liegen im Modell in der Symmetrieebene des Körpers.
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Zentimeter in der Realität.
a)
Zeige, dass das Dreieck 
rechtwinklig ist, und berechne den Inhalt der Oberfläche des Holzkörpers.
(5 BE)
b)
Bestimme eine Gleichung der Ebene 
, in der das Dreieck liegt, in Koordinatenform.
(3 BE)
c)
Die quadratische Grundfläche des Holzkörpers schließt mit der Seitenfläche, die durch das Dreieck dargestellt wird, einen Winkel ein. Berechne die Größe dieses Winkels.
(2 BE)
d)
Der Holzkörper soll mit einer möglichst kurzen Linie versehen werden, die im Modell vom Eckpunkt 
über die Kante 
zum Punkt 
verläuft. Die Länge dieser Linie in Zentimetern kann folgendermaßen ermittelt werden:
Erläutere dieses Vorgehen.
(4 BE)
Der Schnittpunkt der Ebene
e)
Zeichne 
sowie die Geraden, in denen die 
- und die 
-Ebene schneidet, in die Abbildung ein.
(2 BE)
f)
Ermittle, um wie viel Prozent das Volumen des Körpers 
größer ist als das Volumen des Körpers 
, ohne für diese Volumina konkrete Werte zu berechnen.
(4 BE)
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?
a)
Rechten Winkel nachweisen
Da das Skalarprodukt der beiden Vektoren 
und 
null ist, besitzt das Dreieck im Punkt einen rechten Winkel.
Oberflächeninhalt berechnen
Aufgrund der Symmetrie gilt 
und 
Es gilt:
Das Dreieck 
besitzt also einen rechten Winkel im Punkt 
Die Grundfläche des Körpers ist quadratisch mit der Seitenlänge 
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{CDE} =& \left|\overrightarrow{DC}\right| \cdot \left|\overrightarrow{DE}\right| \\[5pt]
=& \frac{1}{2}\cdot\left|\pmatrix{10\\0\\0} \right| \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\6} \right| \\[5pt]
=& \frac{1}{2}\cdot10\cdot 6 \\[5pt]
=& 30 \,[\text{cm}^2]\\[10pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ddd66860eabc61bace2a00d4ff78b5336dc409669ff8d2d631e6bb8a863182c8?color=5a5a5a)
Insgesamt ergibt sich der Oberflächeninhalt des Holzkörpers wie folgt:
Der Oberflächeninhalt des Holzkörpers beträgt ca. 
b)
Mit dem Kreuzprodukt lässt sich ein Normalenvektor von bestimmen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
&\overrightarrow{CB}\times \overrightarrow{CE} \\[5pt]
=&\pmatrix{0\\-10\\0} \times \pmatrix{-10\\0\\6} \\[5pt]
=& \pmatrix{(-10)\cdot 6 - 0\cdot 0 \\ 0\cdot (-10) - 0\cdot 6 \\ 0\cdot 0 - (-10)\cdot (-10) } \\[5pt]
=& \pmatrix{-60\\0\\-100}\\[5pt]
=& -20\cdot\pmatrix{3\\0\\5}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d74b2e9b701afa8b0316e07b28ffde2d955f017cb0570317fd4d8c72e138e7ca?color=5a5a5a)
Einsetzen zusammen mit den Koordinaten eines der drei Punkte:
![\(\begin{array}[t]{rll}
3x +5z &=& d &\quad \scriptsize C(10\mid 10\mid 0) \\[5pt]
3\cdot 10 + 5\cdot 0 &=& d \\[5pt]
30 &=& d
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/9ec0e022cc7fa69994fbb57f15bf526a84cd4bb7847547d3958290ef0fa17994?color=5a5a5a)
Eine Gleichung von in Koordinatenform lautet 
c)
Die Grundfläche liegt in der 
-Ebene. Ein Normalenvektor der -Ebene ist 
Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos \alpha &=& \dfrac{\left|\overrightarrow{n_{xy}}\circ \overrightarrow{n}_L \right|}{\left|\overrightarrow{n_{xy}}\right| \cdot \left|\overrightarrow{n_L}\right|} \\[5pt]
\cos \alpha &=& \dfrac{\left| \pmatrix{0\\0\\1}\circ \pmatrix{3\\0\\5} \right|}{\left| \pmatrix{0\\0\\1}\right| \cdot \left|\pmatrix{3\\0\\5}\right|} \\[5pt]
\cos \alpha &=& \dfrac{5}{ \sqrt{34}} \qquad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt]
\alpha &\approx& 31^{\circ}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/425b49286508419c5ef3ae4f25585bf6632bbb01595f2cb39005f77a71ce75c1?color=5a5a5a)
Der Winkel, den die quadratische Grundfläche des Holzkörpers mit der Seitenfläche einschließt, die durch das Dreieck dargestellt wird, ist ca. 
groß.
d)
Bezeichnet man im Modell denjenigen Punkt der gesuchten Linie, der auf liegt, mit 
so ist die Länge der Linie aufgrund der Symmetrie des Körpers 
Da die Linie möglichst kurz sein soll, steht
senkrecht zu 
Da die Linie möglichst kurz sein soll, steht
e)
f)
Bei dem Körper handelt es sich um eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Daher gilt:
Der Körper ist ein gerades Prisma mit dreieckiger Grundfläche. Die dreieckige Grundfläche besitzt zudem einen rechten Winkel.
Für das Verhältnis der beiden Volumina folgt also:
Das Volumen des Körpers ist also um 50 % größer als das Volumen des Körpers 