Pflichtaufgabe 1 - Analysis

1.1

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit

$f(x)=\frac{1}{8}\cdot \left(x^3-15x^2 +50x \right).$

Abb. 1

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Zeige, dass $G_f$ im Punkt $W(5\mid 0)$ einen Wendepunkt besitzt.

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$G_f$ geht aus dem Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $g(x)= \frac{1}{8}\cdot \left(x^3-25x \right)$ durch eine Verschiebung in positive $x$ -Richtung hervor. Gib an, um wie viel der Graph von $g$ dazu verschoben werden muss. Begründe mithilfe der Funktion $g,$ dass der Graph von $f$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts ist.

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Betrachtet wird das Dreieck $ABC$ mit $A(0\mid 0),$ $B(4\mid 0)$ und $C(4\mid f(4)).$ Rotiert dieses Dreieck um seine Seite $\overline{AB},$ so entsteht ein Körper.
Berechne den Inhalt der Oberfläche dieses Körpers.

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Berechne $\displaystyle\int_{0}^{5}f(x)\;\mathrm dx$ mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.

1.2

Die Kosten, die einem Unternehmen bei der Herstellung einer Flüssigkeit entstehen, können durch die Funktion $K$ mit $K(x)= x^3-12x^2+50x+20$ und $x\in [0;9]$ beschrieben werden. Dabei gibt $K(x)$ die Kosten in $1000$ Euro an, die bei der Produktion von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit insgesamt entstehen. Die Abbildung zeigt den Graphen von $K.$

Abb. 2

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Gib mithilfe der Abbildung die Produktionsmenge an, bei der die Kosten $125\,000$ Euro betragen.

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Gib das Monotonieverhalten von $K$ an und deute deine Angabe im Sachzusammenhang.

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Beurteile die folgende Aussage:

Je größer die Produktionsmenge ist, desto höher sind die Kosten, die die Produktion eines zusätzlichen Kubikmeters der Flüssigkeit verursacht.

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Die Funktion $E$ mit $E(x)=23x$ gibt für $0\leq x\leq 9$ den Erlös (in $1000$ Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt.
Für die sogenannte Gewinnfunktion $G$ gilt $G(x)= E(x)-K(x).$ Positive Werte von $G$ werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.

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Zeige, dass das Unternehmen keinen Gewinn erzielt, wenn vier Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden.

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Zeichne den Graphen von $E$ in Abbildung 2 ein. Bestimme mithilfe der so entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Menge der Flüssigkeit liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.

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Berechne, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.

Bildnachweise [nach oben]

[1],[2]

1.1

$\blacktriangleright$ Wendepunkt zeigen

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x)&=& ... \\[10pt] f‘‘(x)&=& \frac{3}{4}\cdot \left(x-5\right)\\[10pt] f‘‘‘(x)&=& \frac{3}{4} \\[5pt] \end{array}$

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2. Schritt: Notwendiges Kriterium überprüfen

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘(5)&=& \frac{3}{4}\cdot \left(5-5\right) \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Das notwendige Kriterium für Wendestellen ist also für $x=5$ erfüllt.

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘‘(5)&=& \frac{3}{4} \neq 0 \end{array}$

Das hinreichende Kriterium für Wendestellen ist für $x=5$ also ebenfalls erfüllt, sodass es sich bei $x=5$ um eine Wendestelle von $f$ handelt.

4. Schritt: Funktionswert überprüfen

$f(5)=...=0$

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$G_f$ besitzt also im Punkt $W(5\mid 0)$ einen Wendepunkt.

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$\blacktriangleright$ Verschiebung angeben

Berechne beispielsweise die Nullstellen der beiden Funktionen $f$ und $g$ und vergleiche diese:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[10pt] x_2&=& 5 \\[10pt] x_3&=& 10 \\[5pt] \end{array}$

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Die Nullstellen von $g$ ergeben sich zu:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& -5 \\[5pt] x_3&=& 5 \end{array}$

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Die Nullstellen von $g$ sind also $x=-5,$ $x=0$ und $x=5,$ die von $f$ sind $x=0,$ $x=5$ und $x=10.$ Da du aus der Aufgabenstellung sicher weißt, dass der Graph von $f$ durch Verschiebung des Graphen von $g$ in positive $x$ -Richtung entsteht, kannst du daher auf eine Verschiebung von $5$ Einheiten schließen.

Der Graph von $g$ muss dazu also um $5$ Einheiten in positive $x$ -Richtung verschoben werden.

$\blacktriangleright$ Symmetrie begründen

Der Funktionsterm von $g$ weist die Funktionsvariable $x$ nur mit ungeraden Exponenten auf. Der Graph der Funktion $g$ ist daher symmetrisch zum Koordinatenursprung.
Der Graph von $f$ geht aus dem Graphen von $g$ durch Verschiebung um $5$ Einheiten in positive $x$ -Richtung hervor, wie oben gezeigt wurde. Dementsprechend ist auch im Vergleich zum Graphen von $g$ das Symmetriezentrum um $5$ Einheiten verschoben und liegt damit im Punkt $(5\mid 0).$ Dies ist der Wendepunkt.
Der Graph von $f$ ist daher symmetrisch zu seinem Wendepunkt $W(5\mid 0).$

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$\blacktriangleright$ Oberflächeninhalt berechnen

Abb. 1: Dreieck

In der Skizze lässt sich erkennen, dass es sich bei dem Körper, der durch Rotation um die Achse $\overline{AB}$ entsteht, um einen Kegel handelt.

Der Radius der Kegelgrundfläche ist $r = f(4),$ die Höhe des Kegels ist $h = 4.$ Die dritte Seite des Dreiecks entspricht der Mantellinie $s.$ Diese wird zur Berechnung des Oberflächeninhalts benötigt. Berechne $s$ also mithilfe des Satzes des Pythagoras, da es sich beim Dreieck $ABC$ um ein rechtwinkliges Dreieck handelt:

$s=5$

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Verwende nun die Formel für den Oberflächeninhalt eines Kreiskegels:

$O\approx 75,40$

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Der Oberflächeninhalt des durch die Rotation entstehenden Kreiskegels beträgt ca. $75,40$ Flächeneinheiten.

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$\blacktriangleright$ Integral berechnen

$\displaystyle\int_{0}^{5}f(x)\;\mathrm dx = 19,53125$

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1.2

$\blacktriangleright$ Produktionsmenge angeben

In der Abbildung ist die Schnittstelle des Graphen mit der Gerade $y= 125$ gesucht. Diese lässt sich zu $x\approx 7$ ablesen.

Bei einer Produktionsmenge von ca. $7$ Kubikmetern der Flüssigkeit fallen $125\,000$ Euro Kosten an.

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$\blacktriangleright$ Monotonieverhalten angeben

Der Abbildung lässt sich entnehmen, dass $K$ für $0\leq x \leq 9$ monoton steigt.
Die Kosten steigen also mit der Menge der produzierten Flüssigkeit.

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$\blacktriangleright$ Aussage beurteilen

Bei $x$ Produktionseinheiten werden die Kosten eines zusätzlichen Kubikmeters durch die Differenz $d(x)= K(x+1)-K(x)$ beschrieben. Bestimme zunächst diesen Funktionsterm:

$d(x)= 3x^2-21x+39$

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Damit die Behauptung aus der Aufgabenstellung stimmt, müsste $d$ streng monoton steigend sein. Dies ist der Fall, wenn $d‘(x)\gt 0$ ist. Überprüfe, für welche $x$ dies der Fall ist:

$x \gt 3,5$

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Die Behauptung aus der Aufgabenstellung ist also nur für Produktionsmengen über $3,5$ Kubikmetern der Flüssigkeit richtig.
Für alle Produktionsmengen der Flüssigkeit bis zu $3,5$ Kubikmetern steigen die Kosten eines zusätzlichen Kubikmeters nicht mit der Produktionsmenge an.

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$\blacktriangleright$ Ausbleibenden Gewinn zeigen

Für die Gewinnfunktion gilt:

$G(4)=0$

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Bei einem Verkauf von $4$ Kubikmetern der Flüssigkeit beträgt der Gewinn $0\,€.$ Das Unternehmen erzielt also keinen Gewinn.

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$\blacktriangleright$ Erlös einzeichnen und den Bereich für Gewinn bestimmen

Das Unternehmen erzielt dann Gewinn, wenn der Erlös größer ist als die Kosten. Dies ist der Fall, wenn der Graph von $E$ oberhalb des Graphen von $K$ verläuft. Der Abbildung lässt sich also entnehmen, dass die verkaufte Menge der Flüssigkeit im Bereich $]4;8,5[$ liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.