Pflichtaufgaben

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ mit $f(x)=(x-3)^2$ und $g.$ Der Graph von $g$ entsteht durch Verschieben des Graphen von $f$ um zwei Einheiten entlang der $x$ -Achse nach rechts.

Gib die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der $y$ -Achse an.

(1 BE)

Gib einen Funktionsterm für $g$ an.

(1 BE)

Begründe, dass die Graphen der Ableitungsfunktionen von $f$ und $g$ keinen Punkt gemeinsam haben.

(3 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten linearen Funktion $f.$

Begründe, dass $f(x)=\dfrac{1}{2} x+5$ gilt.

(1 BE)

Berechne den Abstand des Koordinatenursprungs zum Graphen.

(4 BE)

Funktion f Sachsen Anhalt Mathe Abi 2023

Gegeben sind die Gerade $g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{2\\3\\-7}+s\cdot \pmatrix{1\\0\\5}$ mit $s \in \mathrm{R}$ sowie die Gerade $h$ durch die Punkte $A(4\mid 0\mid 0)$ und $B(5\mid 1\mid b)$ mit einer reellen Zahl $b.$

Begründe, dass $A$ nicht auf $g$ liegt.

(1 BE)

Die Geraden $g$ und $h$ haben einen gemeinsamen Punkt.

Ermittle den Wert von $b.$

(4 BE)

Die Abbildung zeigt ein Baumdiagramm zu einem zweistufigen Zufallsexperiment mit den Ereignissen $A$ und $B.$

Es gilt: $P(A)=0,2, P_A(B)=0,8$ und $P(\overline{A} \cap \overline{B})=0,56.$

Baumdiagramm Sachsen Anhalt Mathe Abi 2023

Bestimme die Werte von $x$ und $y$ und weise nach, dass $P(B)=0,4$ gilt.

(3 BE)

Berechne $P_B(A).$

(2 BE)

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Für den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse gilt $x=0.$ Somit folgt:

$f(0)=(0-3)^2=9$

Der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse besitzt somit die Koordinaten $S(0\mid9).$

$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& f(x-2)& \\[5pt] &=& ((x-2)-3)^2 & \\[5pt] &=& (x-5)^2 \end{array}$

$\(f$

$\(g$

Wegen $(x-3)\neq (x-5)$ folgt, dass die Graphen der Ableitungsfunktionen von $f$ und $g$ keinen gemeinsamen Punkt haben.

Die Steigung der Geraden lässt sich durch ein Steigungsdreieck bestimmen. Hierfür können die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen abgelesen werden: $S_x(-10\mid 0)$ und $S_y(0\mid 5).$

Die Steigung folgt nun mit $m=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}.$

Aufgrund des $y$ -Achsenabschnitts folgt $c=5.$

1. Schritt: Lotgerade $g$ aufstellen

Da die Lotgerade senkrecht zum Graphen von $f$ stehen soll, ergibt sich:

$m_g=-\dfrac{1}{m}=-\dfrac{1}{\frac{1}{2}}=-2$

Die Lotgerade soll durch den Ursprung verlaufen. Einsetzen in die allgemeine Geradengleichung liefert also:

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& -2\cdot 0+c& \\[5pt] 0&=& c \end{array}$

2. Schritt: Schnittpunkt bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& g(x)& \\[5pt] \dfrac{1}{2}\cdot x+5&=& -2\cdot x &\quad \scriptsize \mid\; +2x \quad \scriptsize \mid\;-5 \\[5pt] \dfrac{5}{2}x&=& -5&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{2}{5}\\[5pt] x&=& -2 \end{array}$

$y$ -Koordinate ermitteln:

$y_S=-2\cdot (-2)=4$

Der Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der Lotgeraden besitzt somit die Koordinaten $S(-2\mid 4).$

3. Schritt: Abstand berechnen

Der Abstand des Koordinatenursprungs zum Graphen von $f$ entspricht dem Abstand der Punkte $O(0\mid 0)$ und $S(-2\mid 4).$ Es ergibt sich also:

$\begin{array}[t]{rll} d(O,S)&=& \left| \sqrt{(0-(-2))^2+(0-4)^2} \right| & \\[5pt] &=& \left| \sqrt{20} \right| & \\[5pt] &\approx& 4,47 \; [\text{LE}] \end{array}$

Einsetzen des Ortsvektors von $A$ in $g$ liefert:

$\pmatrix{4\\0\\0}=\pmatrix{2\\3\\-7}+s\cdot \pmatrix{1\\0\\5}$

Aus der zweiten Zeile ergibt sich unabhängig von $s$ der Widerspruch $0=3.$

Somit liegt $A$ nicht auf $g.$

1. Schritt: Gleichung von $h$ aufstellen

$\begin{array}[t]{rll} h: \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OA}+t\cdot \overrightarrow{AB} &\\[5pt] &=&\pmatrix{4\\0\\0}+t\cdot \pmatrix{1\\1\\b} \end{array}$

2. Schritt: Schnittpunkt bestimmen

Gleichsetzen der Geradengleichungen liefert:

$\pmatrix{2+s\\3\\-7+5s}=\pmatrix{4+t\\t\\t\cdot b}$

Aus der 2. Zeile ergibt sich $t=3.$

Einsetzen in die 1. Zeile liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 2+s&=& 4+3&\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] s&=& 5 \end{array}$

Aus der 3. Zeile folgt nun:

$\begin{array}[t]{rll} -7+5\cdot 5&=& 3\cdot b& \\[5pt] 18&=& 3\cdot b&\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] 6&=& b \end{array}$

Wegen $P(A)=0,2$ folgt $P(\overline{A})=0,8.$

Außerdem gilt: $x=P_A(B)=0,8$

Der Wert von $y$ lässt sich wie folgt bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A}\cap\overline{B})&=& 0,56& \\[5pt] P(\overline{A})\cdot P_A(\overline{B})&=& 0,56& \\[5pt] 0,8\cdot y&=& 0,56& \quad \scriptsize \mid :0,8\\[5pt] y&=& 0,7 \end{array}$

Für den Wert von $P(B)$ gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B) & \\[5pt] &=& P(A)\cdot P_A(B)+P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(B)& \\[5pt] &=& P(A)\cdot x+P(\overline{A})\cdot (1-y) & \\[5pt] &=& 0,2\cdot 0,8+0,8\cdot 0,3 & \\[5pt] &=& 0,16 + 0,24 & \\[5pt] &=& 0,4 \end{array}$

Mit dem Satz von Bayes ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} P_B(A)&=& \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}& \\[5pt] &=& \dfrac{0,8\cdot 0,2}{0,4}& \\[5pt] &=& 0,4 \end{array}$

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