Wahlaufgabe 1 - Analysis

Betrachtet wird die Funktion $\phi$ mit

$y=\phi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{1}{2}{x^2}}$ , $x\in\mathbb{R}$ .
Ihr Graph wird als Gaußsche Glockenkurve bezeichnet.

Gib einen Näherungswert für $\phi(0)$ auf Tausendstel genau an.

Weise nach, dass die Gaußsche Glockenkurve symmetrisch zur $y$ -Achse ist.

Die Gaußsche Glockenkurve besitzt genau zwei Wendepunkte.
Berechne die Abszissen dieser Wendepunkte.

[zur Kontrolle: $W_{1/2}(\pm1\;|\;\phi(\pm1))$ ]

Im untenstehenden Koordinatensystem sind die Gaußsche Glockenkurve $G$ sowie ein weiterer Funktionsgraph $K$ dargestellt.

Begründe anhand von zwei Eigenschaften der Funktion $\phi$ oder ihres Graphen, dass es sich bei der Kurve $K$ um den Graphen der Ableitungsfunktion $\phi‘$ handeln kann.

Grafik mit zwei Kurven in blau und grün auf karierter Fläche, zeigt mathematische Funktionen.

Abb. 1

Bildnachweise [nach oben]

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$\blacktriangleright$ Näherungswert für $\boldsymbol{\phi(0)}$ angeben

In dieser Aufgabe sollst du auf Tausendstel genau eine Näherung für $\phi(0)$ angeben. Du setzt also in den Funktionsterm für $x=0$ ein.

$\phi(0)= \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}0^2}$

Du weißt, dass $e^0=1$ ist. Um eine Näherung anzugeben, betrachtest du somit $\sqrt{2\pi}$ . Wenn du dies in deinen Taschenrechner eingibst, erhältst du:

$\phi(0)\approx 0,3989422804...$

Auf Tausendstel genau gerundet ergibt dies: $\phi(0)\approx 0,399$ .

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass die Gaußsche Glockenkurve symmetrisch zur y-Achse ist

Der Graph einer Funktion $f$ ist achsensymmetrisch, wenn gilt:

$f(x)=f(-x)$

Setze also für $-x$ in den Funktiosterm $\phi(x)$ ein.

$\begin{array}[t]{rll} \phi(-x)&=&\dfrac{1}{2\pi}e^{-\frac{1}{2}(-x)^2} \\[5pt] &=&\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{1}{2}x^2} \\[5pt] & = & \phi(x) \end{array}$

Damit hast du gezeigt, dass die Gaußsche Glockenkurve symmetrisch zur $y$ -Achse ist.

$\blacktriangleright$ Abszissen der Wendepunkte berechnen

Du hast die Funktion $\phi$ gegeben und sollst deren Graph auf Wendepunkte untersuchen. Für eine Wendestelle $x_W$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:

Notwendiges Kriterium: $\, \phi ‘‘(x_W)=0$
Hinreichendes Kriterium: $\, \phi ‘‘‘(x_W)\neq 0$

Bestimme die ersten drei Ableitungsfunktionen $\phi ‘$ , $\phi ‘‘$ und $\phi ‘‘‘$ .
Wende das notwendige Kriterium an, indem du $\phi ‘‘(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $\phi ‘‘‘(x)$ einsetzt.

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} \phi‘(x)&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot -\frac{1}{2}\cdot 2x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} \\[5pt] &=&-\frac{x}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} \end{array}$

$\phi‘‘(x) =\left(-\frac{1}{\sqrt{2\pi}} +\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}} \right)\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}$

Vollständige Lösung anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} \phi‘‘‘(x)&=& \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

$\phi ‘‘(x)$

$\phi‘‘(x)=0$

$\left(-\frac{1}{\sqrt{2\pi}} +\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}} \right)=0$

$\begin{array}[t]{rll} x_{W_{1,2}}&=&\pm 1 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$\phi$

$x_{W_{1,2}}=\pm 1$

$x_{W_1} = -1$

$x_{W_2} = 1$

$\blacktriangleright$ Begründen, dass es sich bei der Kurve K um den Graph der Ableitung $\boldsymbol{\phi‘(x)}$ handeln kann

Wenn du den Graphen einer Funktion $f$ gegeben hast, dann kannst du verschiedene Aussagen über den Graphen der Ableitung $f‘$ treffen.

Graph der Funktion $f$	Graph der Funktion $f‘$
Hoch- und Tiefpunkte	Nullstellen
Wendepunkte	Hoch- und Tiefpunkte

Der Graph der Funktion $\phi(x)$ hat an den Stellen $x=\pm 1$ jeweils einen Wendepunkt. Dies bedeutet, dass der Graph der Ableitung an der Stelle $x= \pm 1$ Extremstellen hat. Wenn du dir das Schaubild K anschaust, hat dieses bei $x=-1$ einen Hochpunkt und bei $x=1$ einen Tiefpunkt.

Aus dem Schaubild der Funktion $\phi$ kannst du ablesen, dass der Graph der Funktion im Punkt H $(0,4\;|\;0)$ einen Hochpunkt hat, das bedeutet, dass der Graph der Ableitung an dieser Stelle eine Nullstelle haben muss. Auch das ist im Schaubild K erfüllt.

Somit hast du gezeigt, dass das Schaubild K die Ableitung des Schaubildes G, also der Funktion $\phi(x)$ darstellen kann.

Grafik einer Funktion mit Ableitungen und wichtigen Punkten im Koordinatensystem.

Abb. 1: Graphisch ableiten

Bildnachweise [nach oben]

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