Aufgabe 4.2

In einer großen Gemeinde tragen $62,5\,\%$ der Bevölkerung eine Brille. Bei den Frauen beträgt der Anteil $64,8\,\%.$ Es ist bekannt, dass $52,1\,\%$ der Bevölkerung Frauen sind.

Stelle diesen Sachverhalt in einer Vierfeldertafel dar.
Eine aus der Bevölkerung zufällig ausgewählte Person ist ein Mann. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er eine Brille trägt.

(5 BE)

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

$A:$

Von acht zufällig ausgewählten Personen sind alle Brillenträger.

$B:$

Von $20$ zufällig ausgewählten Personen sind genau drei keine Brillenträger.

(4 BE)

Betrachtet werden die Ereignisse

$C:$

Von $20$ zufällig ausgewählten Personen sind genau neun Brillenträger.

$D:$

Von $20$ zufällig ausgewählten Personen sind genau zwölf Brillenträger.

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $C.$ Begründe mit Hilfe des Erwartungswertes für die Anzahl der Brillenträger, ob die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $D$ größer oder kleiner ist als die für das Ereignis $C.$

(5 BE)

Ein Optiker vermutet, dass mehr als $30\,\%$ der jungen Erwachsenen aus dem Landkreis Kunden in seinem Geschäft sind.
Sollte dies nicht der Fall sein, überlegt er, in eine Werbeaktion mit Flyern zu investieren. Um jedoch unnötige Kosten zu vermeiden, soll die Nullhypothese „Es sind höchstens $30\,\%$ der jungen Erwachsenen Kunden bei diesem Optiker“ mit Hilfe einer Stichprobe von $100$ jungen Erwachsenen auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ getestet werden.
Bestimme die dazugehörige Entscheidungsregel.

(5 BE)

Auf einer Brillenmesse befindet sich in einer Gruppe von $20$ Brillenträgern genau eine Person, die eine Designerbrille trägt.
Berechne, wie viele Personen dieser Gruppe zufällig und nacheinander „ohne Zurücklegen“ mindestens auszuwählen sind, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Träger der Designerbrille unter den ausgewählten Personen befindet, mindestens $75\,\%$ beträgt.
Begründe deinen Lösungsansatz.

(6 BE)

(25 BE)

$\blacktriangleright$ Vierfeldertafel erstellen

Bezeichne mit $B$ das Ereignis, dass eine Person ein Brillenträger ist und mit $A$ das Ereignis, dass eine Person eine Frau ist. Bekannt sind folgende Wahrscheinlichkeiten:

$P(A)= 0,521$ und damit auch $P(\overline{A})=$ $1-P(A)=0,479$
$P(B)= 0,625$ und damit auch $P(\overline{B})=$ $1-P(B)=0,375$
$P_A(B)=0,648$

Du kannst also $P(A\cap B)$ berechnen:

$P(A\cap B)=0,337608$

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Die übrigen Wahrscheinlichkeiten kannst du dann über die Summen berechnen.

Tabelle anzeigen

	$A$	$\overline{A}$	Gesamt
$B$	$0,337608$	$0,287392$	$0,625$
$\overline{B}$	$0,183392$	$0,191608$	$0,375$
Gesamt	$0,521$	$0,479$	$1$

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Gesucht ist $P_{\overline{A}}(B).$ Mit der Vierfeldertafel und der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten kannst du sie wie folgt berechnen:

$P_{\overline{A}}(B)\approx 60,00\,\%$

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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person, die ein Mann ist, eine Brille trägt, ist ca. $60,00\,\%.$

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse berechnen

Verwende für $A$ die Pfadmultiplikationsregel:

$P(A)= 0,625^{8}\approx 0,0233$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $2,33\,\%$ sind von acht zufällig ausgewählten Personen alle Brillenträger.

Betrachte für $B$ die Zufallsgröße $X_{20},$ die die zufällige Anzahl der Brillenträger unter acht zufällig ausgewählten Personen beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=20$ und $p=0,625$ angenommen werden.
Mit der Formel für die Binomialverteilung oder deinem CAS folgt dann:

$P(B)\approx 2,04\,\%$

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Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $2,04\,\%$ sind von $20$ zufällig ausgewählten Personen genau drei keine Brillenträger.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

$P(C)\approx 5,04\,\%$

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Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $2,04\,\%$ befinden sich unter $20$ zufällig ausgewählten Personen genau neun Brillenträger.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit begründen

Da $X_{20}$ binomialverteilt ist mit $n=20$ und $p=0,625$ kann der Erwartungswert wie folgt berechnet werden:

$\mu = 20\cdot 0,625 = 12,5$

Da $12$ deutlich näher am Erwartungswert und insbesondere zwischen $9$ und dem Erwartungswert von $\mu =12,5$ liegt, ist die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $D$ größer als die für Ereignis $C.$

$\blacktriangleright$ Entscheidungsregel formulieren

Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_{100},$ die die zufällige Anzahl der Kunden unter $100$ zufällig ausgewählten jungen Erwachsenen beschreibt.
Trifft die Nullhypothese des Optikers zu, ist diese binomialverteilt mit $n=100$ und $p\leq 0,3.$
Als Entscheidungsgrenze ist nun das kleinste $k$ gesucht mit:

$P(X_{100}\leq k-1)\geq 0,95$

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Mit dem CAS kannst du für den Extremfall $p=0,3$ verschiedene Wahrscheinlichkeiten $P(X_{100}\leq k-1)$ berechnen und erhältst, dass $k-1\geq 38,$ also $k\geq 39.$

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 5 $\to$ 5 $\to$ E: Binomial Cdf

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf

Werden mindestens $39$ junge Erwachsene in der Stichprobe gefunden, die Kunde bei dem Optiker sind, geht er davon aus, dass tatsächlich mehr als $30\,\%$ der jungen Erwachsenen Kunde bei ihm sind und startet keine Flyer-Kampagne. Befinden sich unter den $100$ jungen Erwachsenen höchstens $38$ Kunden von ihm, wird der Optiker eine Flyer-Kampagne starten.

$\blacktriangleright$ Mindestanzahl der Personen bestimmen

Betrachte die Zufallsgröße $Z,$ die die Anzahl der Träger einer Designerbrille unter $n$ zufällig ausgewählten Personen von den $20$ Brillenträgern beschreibt.
Diese kann als hypergeometrisch verteilt angesehen werden, wobei $N=20$ und $M=1$ gilt und $n$ so bestimmt werden soll, dass $P(Z=1)\geq 0,75$ gilt.
Mit der entsprechenden Formel folgt eine Ungleichung, die du mit dem solve-Befehl deines CAS nach $n$ umformen kannst:

$n\geq 15$

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Es müssen mindestens $15$ Personen der Gruppe ausgewählt werden, damit sich mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $75\,\%$ der Träger der Designerbrille darunter befindet.