Hilfsmittelfreier Teil

1.1 Analysis

Die Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)= 4\cdot x^{-2}.$
$G_f$ ist symmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.

Die Gerade, die parallel zur $x$ -Achse durch den Punkt $P(0\mid p)$ verläuft, schneidet $G_f$ in zwei Punkten. Der Abstand dieser beiden Schnittpunkte hat die Länge 1.
Berechne den Wert von $p$ .

(2 BE)

Die Koordinatenachsen schließen mit der Tangente an $G_f$ in einem Punkt $Q(u\mid f(u))$ mit $u\gt 0$ ein gleichschenkliges Dreieck ein.
Berechne die Koordinaten von $Q$ .

(3 BE)

Abb. 1

1.2 Analytische Geometrie

Der Punkt $P(0\mid 1\mid 5)$ ist Eckpunkt eines Quadrats. Orthogonal zu der Ebene in der dieses Quadrat liegt, verläuft eine Gerade $g$ mit der Gleichung $\overrightarrow{x} = \pmatrix{5\\4\\1} + t\cdot \pmatrix{1\\0\\0}$ mit $t\in \mathbb{R}.$

Begründe, dass das Quadrat in der $y-z$ -Ebene liegt.

(2 BE)

Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen des Quadrates liegt auf der Geraden $g,$ der punkt $Q(0\mid 8\mid 4)$ in der $y-z$ -Ebene. Zeige, dass $Q$ einer der beiden Eckpunkte des Quadrates ist, die dem Eckpunkt $P$ benachbart sind.

(3 BE)

1.3 Stochastik

Ein Landwirt möchte zu seinem Hoffest ein Glücksrad mit blauen, gelben und roten 6°-Sektoren anbieten. Für einen Preis von einem Euro darf man einmal drehen.
Dreht man gelb, erhält man einen Gutschein für eine Packung Bio-Eier, bei blau gibt es als Hauptgewinn einen Ökokorb mit landwirtschaftlichen Produkten und bei rot geht man leer aus.
Eine Packung Bio-Eier kostet den Landwirt $1,50\,€$ und ein Ökokorb $15\,€.$ Die Wahrscheinlichkeit für das Erzielen eines Hauptgewinnes soll $5\,\%$ betragen, während die Chance auf den Gewinn eines Gutscheins bei einem Drittel liegen soll.

Ermittle, wie viele blaue, gelbe und rote 6°-Sektoren das Glücksrad haben muss.

(2 BE)

Bestimme, welche Kosten dem Landwirt pro Dreh "auf lange Sicht" entstehen.

(3 BE)

(15 BE)

Lösung zu 1.1 Analysis

$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{p}$ berechnen

Der Graph $G_f$ ist achsensymmetrisch. Die Gerade $g$ , die parallel zur $x$ -Achse durch den Punkt $P(0\mid p)$ verläuft, schneidet den Graphen $G_f$ deshalb in den Punkten $P_1(-t \mid p)$ und $P_2(t \mid p)$ .

Abb. 2

Der Abstand $d$ der beiden Punkte ist die Differenz ihrer $x$ -Koordinaten. Der Abstand soll $d=1$ betragen, also müssen die Punkte die $x$ -Koordinate $x_1=0,5$ und $x_2=-0,5$ haben.

Gesucht ist der Wert $p$ , er ist der Funktionswert von $f$ für $x=0,5$ bzw. $x=-0,5$ :

$\begin{array}[t]{rll} p&=&f(0,5)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 4\cdot 0,5^{-2} &=&\dfrac{4}{0,5^2} \\[5pt] &=&16 \end{array}$

Es ergibt sich der Wert $p=16$ .

$\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{Q}$ berechnen

Das Dreieck ist gleichschenklig, wenn die Tangente die $x$ - und die $y$ -Achse so schneidet, dass die jeweiligen Abschnitte gleich lang sind:

Abb. 3

Eine solche Gerade hat die Steigung $m=-1$ . Also hat der Graph $G_f$ im Berührpunkt $Q$ auch die Steigung $m=-1$ .
Die Steigung wird gegeben durch die erste Ableitung, d.h.: $f‘(u)=-1$ .

Bilde zunächst die Ableitung $f‘(x)$ :
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 4x^{-2}&\quad \scriptsize \\[5pt] f‘(x)&=&4\cdot(-2)\cdot x^{-3}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-\dfrac{8}{x^3} \end{array}$

Einsetzen von $f‘(u)=-1$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} -1&=&-\dfrac{8}{u^3}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot u^3\\[5pt] -u^3&=&-8&\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] u^3&=&8&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\;}\\[5pt] u&=&2 \end{array}$

Mit $f(2)=\dfrac{4}{2^2}=1$ ergibt sich der Punkt $Q(2\mid 1)$ .

Lösung zu 1.2 Analytische Geometrie

$\blacktriangleright$ Lage des Quadrats begründen

Die Gerade $g$ verläuft orthogonal zur Ebene, in der das Quadrat liegt. Da ihr Richtungsvektor $\pmatrix{1\\0\\0}$ orthogonal zur $yz$ -Ebene verläuft, verläuft die Gerade $g$ orthogonal zur $yz$ -Ebene.
Die Gerade $g$ verläuft also orthogonal zur Ebene, in der das Quadrat liegt und gleichzeitig orthogonal zur $yz$ -Ebene.
Damit muss die Ebene, in der das Quadrat liegt, parallel zur $yz$ -Ebene liegen.

Die Koordinaten des Eckpunkts $P$ des Quadrats sind $P(0\mid 1\mid 5).$ Da die $x$ -Koordinate $0$ ist, liegt dieser Punkt in der $yz$ -Ebene. Dadurch, dass die Ebene, in der das Quadrat liegt, sowohl parallel zur $yz$ -Ebene ist als auch einen gemeinsamen Punkt mit dieser Ebene hat, ist die Ebene, in der das Quadrat liegt, identisch mit der $yz$ -Ebene.
Das Quadrat liegt also in der $yz$ -Ebene.

$\blacktriangleright$ Punkt nachweisen

1. Schritt: Koordinaten des Schnittpunkts berechnen

Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen des Quadrats wird mit $M$ bezeichnet. Dieser liegt sowohl auf der Geraden $g$ als auch in der $yz$ -Ebene. Die Punkte in der $yz$ -Ebene haben die Koordinaten $\pmatrix{0\\y\\z}.$ Setzt du dies in die Geradengleichung von $g$ ein, so erhältst du:

$\pmatrix{0\\y\\z} = \pmatrix{5\\4\\1} + t\cdot \pmatrix{1\\0\\0}$

Die erste Zeile für die $x$ -Koordinate ist für $t = -5$ erfüllt. Damit ergibt sich dann:

$\overrightarrow{OM} = \pmatrix{0\\4\\1}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Schnittpunkt der Diagonalen ist also $\overrightarrow{OM} = \pmatrix{0\\4\\1}.$

2. Schritt: Zusammenhang der Punkte zeigen

$Q$ ist einer der Eckpunkte des Quadrats, die zu $P$ benachbart sind, wenn folgende Bedingungen für das Dreieck $PMQ$ erfüllt sind:

Die Vektoren $\overrightarrow{PM}$ und $\overrightarrow{MQ}$ stehen senkrecht aufeinander.
Die Seiten $\overline{PM}$ und $\overline{MQ}$ sind gleich lang.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{PM}&=& \pmatrix{0\\3\\-4} \\[5pt] \overrightarrow{MQ}&=& \pmatrix{0\\4\\3} \\[5pt] \end{array}$

Es ist also:

$\overrightarrow{PM} \circ \overrightarrow{MQ} = 0$

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Das Dreieck $PMQ$ besitzt am Punkt $M$ also einen rechten Winkel. Für die Länge der Seiten gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{PM} &= 5 \\[10pt] \overline{MQ} &= 5 \\[10pt] \end{array}$

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Die beiden Seiten sind also gleich lang. Der Punkt $Q$ ist also genauso weit entfernt vom Schnittpunkt der Diagonalen wie $P$ und bildet mit $P$ und $M$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei $M.$
Damit muss $Q$ ein zu $P$ benachbarter Eckpunkt des Quadrats sein.

Lösung zu 1.3 Stochastik

$\blacktriangleright$ Anzahl der Sektoren bestimmen

Das Glücksrad ist in $6^{\circ}$ -Sektoren aufgeteilt. Es gibt insgesamt also $360^{\circ}:6^{\circ} = 60$ Sektoren.

$5\,\%$ davon müssen blau sein: $60\cdot 0,05 = 3.$

Ein Drittel der Sektoren muss gelb sein: $60:3=20.$

Der Rest der Sektoren sind rot.

Das Glücksrad muss 3 blaue, 20 gelbe und 37 rote Sektoren haben.

$\blacktriangleright$ Kosten pro Dreh berechnen

$E(K)= 0,05 \cdot 15\,€ + \frac{1}{3} \cdot 1,50 \,€ = 1,25\,€$

Pro Dreh entstehen dem Landwirt auf lange Sicht Kosten in Höhe von $1,25\,€.$