Stochastik 4.2 - Spam-Mails

Stochastik: Spam-Mail

Ein Nutzer von E-Mail-Kommunikation stellt fest, dass der Anteil von unerwünschten Werbe-E-Mails (Spam-Mails) an seinen Posteingang über einen längeren Zeitraum konstant $30\,\%$ beträgt.
Angenommen wird dabei, dass die Spam-Mails zufällig und unabhängig voneinander eingehen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse.

A: „Von fünf eingegangenen E-Mails ist keine eine Spam-Mail.“
B: „Von fünf eingegangenen E-Mails ist nur genau die letzte eine Spam-Mail.“

(3 BE)

In einer Woche befinden sich $50$ Mails im Posteingang.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Spam-Mails in dieser Woche um mehr als $20\,\%$ über dem Erwartungswert liegt.

(3 BE)

Die Spam-Mails enthalten Schlüsselwörter, an denen man sie sehr gut erkennt und durch die der Spam-Filter sie aussortiert. In $40\,\%$ der Spam-Mails taucht das Schlüsselwort „sale“ auf, in den E-Mails, die keine Spam-Mails sind, jedoch nur $1\,\%$ der Fälle.

Stelle diesen Sachverhalt in einer Vierfeldertafel dar.

(4 BE)

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine vom Spam-Filter durch das Wort „sale“ aussortierte E-Mail keine Spam-Mail ist.

(2 BE)

In $15\,\%$ der Spam-Mails ist das Schlüsselwort „season“ enthalten und wird ebenfalls mit dem Spam-Filter erkannt.

Paul behauptet, dass der Anteil der E-Mails, die durch die Worte „sale“ oder „season“ als Spam erkannt werden, an allen E-Mails $55\,\%$ beträgt.
Begründe ohne Rechnung, dass diese Behauptung im Allgemeinen falsch ist.

(2 BE)

Der Anteil der Spam-Mails, die durch die Worte „sale“ oder „season“ als Spam erkannt werden, beträgt $45\,\%.$
Berechne den Anteil der Spam-Mails, in denen beide Worte vorkommen.

(3 BE)

Nach einem Jahr wird in einer Fachzeitschrift behauptet, dass sich der Anteil der Spam-Mails an den eingehenden E-Mails verändert hat. Jemand will das für den Anteil von ursprünglich $30\,\%$ Spam-Mails im E-Mail-Eingang mit einem Signifikanztest auf dem Niveau $a=0,05$ für eine Stichprobe von $n=50$ zufällig ausgewählten E-Mails untersuchen.

Dafür werden folgende Hypothesen festgelegt.

$H_0:$ Der Anteil der Spam-Mails an den eingegangenen E-Mails beträgt $30\,\%.$
$H_1:$ Der Anteil der Spam-Mails an den eingegangenen E-Mails hat sich verändert.

Die Zufallsgröße $X$ sei die Anzahl der Spam-Mails.

Entscheide, welche Art von Entscheidungsregel geeignet ist und begründe deine Entscheidung:

Entscheidungsregel 1: Wenn $X\geq k$ gilt, dann wird $H_0$ abgelehnt.
Entscheidungsregel 2: Wenn $k_u \lt X \lt k_0$ gilt, dann wird $H_0$ nicht abgelehnt.

(3 BE)

Der Nutzer behauptet nun, dass sich der Anteil der E-Mails, die Spam-Mails sind, in seinem E-Mail-Eingang vergrößert hat.

Berechne unter Annahme der Binomialverteilung, in welchem Bereich die Anzahl der Spam-Mails in einer Stichprobe von $n=50$ E-Mails sein muss, um die Vermutung des Nutzers auf einem Signifikanzniveau von $a= 0,05$ zu stützen.

(5 BE)

(25 BE)

Stochastik: Spam-Mail

Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& 0,7^5 \\[5pt] &\approx& 0,1680 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ beträgt $16,80\,\%$ .

Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& 0,7^4\cdot0,3 \\[5pt] &\approx& 0,0720 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B$ beträgt $7,20\,\%$ .

Wahrscheinlichkeit berechnen:

Definiere eine Zufallsvariable $X$ .

$X$ : Anzahl der Spam-Mails in dieser Woche
$X$ ist binomialverteilt mit $B_{50;0,3}$ ( $n=50$ und $p=0,3$ ).

Der Erwartungswert von $X$ wird berechnet durch $E(X)=n\cdot p$ .

$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& 50\cdot0,3\\[5pt] &=& 15 \end{array}$

$20\,\%$ über $E(X)$ : $15 \cdot 1,2=18$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit wird mit Hilfe eines CAS-Taschenrechners bestimmt.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 5 $\to$ 5 $\to$ E: Binomial Cdf

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf

$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq19)&=& 1-P(X\leq18) &\approx&0,1406 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Spam-Mails in dieser Woche um mehr als $20\,\%$ über dem Erwartungswert liegt, beträgt $14,06\,\%$ .

Sachverhalt in Vierfeldertafel darstellen:

	Spam	kein Spam	Gesamt
"sale"	$0,12$	$0,007$	$0,127$
kein "sale"	$0,18$	$0,693$	$0,873$
Gesamt	$0,30$	$0,7$	$1$

Wahrscheinlichkeit berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} P_{\text{"sale"}}(\overline{\text{Spam}})&=& \dfrac{P(\overline{\text{Spam}} \cap \text{"sale"})}{P(\text{"sale"})} \\[5pt] &=& \dfrac{0,007}{0,127} \\[5pt] &\approx& 0,0551 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine vom Spam-Filter durch das Wort "sale" aussortierte E-Mail keine Spam-Mail ist, beträgt $5,51\,\%$ .

Behauptung überprüfen:

Pauls Behauptung ist nicht wahr, da es nicht ausgeschlossen ist, dass beide Schlüsselwörter zusammen in einer E-Mail vorkommen.

Anteil berechnen:

$P_{\text{Spam}}(\text{"sale"} \cap \text{"season"})=0,1$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Anteil der Spam-Mails, in denen beide Worte vorkommen, beträgt $10\,\%$ .

$X$ : Anzahl der Spam-Mails
$X$ ist im Grenzfall binomialverteilt mit $n=50$ und $p=0,3$ .
$\alpha =0,05$

$H_0$ : Der Anteil der Spam-Mails an den eingegangenen E-Mails beträgt 30%.
$H_1$ : Der Anteil der Spam-Mails an den eingegangenen E-Mails hat sich verändert.

Entscheidungsregel $1$ : Wenn $X\geq k$ gilt, dann wird $H_0$ abgelehnt.
Entscheidungsregel $2$ : Wenn $k_u \lt X \lt k_o$ gilt, dann wird $H_0$ nicht abgelehnt.

Entscheidungsregel auswählen und begründen:

Die Untersuchung benötigt einen zweiseitigen Signifikanztest, da sich der Anteil der Spam-Mail vergrößert oder verkleinert haben kann.

Daraus folgt, dass die Entscheidungsregel $2$ geeignet ist.
Entscheidungsregel $2$ : Wenn $k_u \lt X \lt k_o$ gilt, dann wird $H_0$ nicht abgelehnt.

Rechtsseitigen Signifikanztest durchführen:

Gesucht ist der kleinste Wert $k_o$ mit: $P(X\geq k_o)\leq0,05$ .

$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq k_o)&\leq&0,05 &\quad \\[5pt] 1- P(X\leq\,k_o-1)&\leq&0,05 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \quad\scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] P(X\leq k_o-1)&\geq&0,95 \end{array}$

Für $k_o=21$ gilt: $P(X\geq21)\approx0,0478\leq0,05$ .
Für $k_o=20$ gilt: $P(X\geq20)\approx0,0848\geq0,05$ .

Ablehnungsbereich: $K=$ { $21, ... ,50$ }

Falls das Stichprobenereignis im Ablehnungsbereich liegt, wird die Nullhypothese verworfen.

Die Anzahl der Spam-Mails muss in der Stichprobe mindestens $21$ sein, um die Vermutung des Nutzers zu stützen.