Analytische Geometrie 3.1

Gib die Koordinaten der Punkte und an. Bestimme eine Gleichung der Ebene , in der die Dachfläche liegt, in Koordinatenform. [Kontrollergebnis: ] Berechne den Neigungswinkel der Dachfläche gegenüber einer horizontalen Ebene.

Paralleles Licht fällt in Richtung auf das Hausdach. Bestimme einen möglichen Wert für so, dass der Winkel zwischen der Richtung der Lichtstrahlen und der Dachfläche beträgt.

Ein Drittel der Dachfläche wird mit Solarzellen bestückt. Ermittle die Größe dieser Fläche. Die Solarzellen können sowohl in der Dachfläche montiert werden als auch in Ebenen , die parallel zur Dachfläche liegen. Dabei darf der Abstand der Ebenen zur Dachfläche maximal betragen. Entwickle unter Verwendung des Parameters eine Gleichung für die Ebenen und gib ein Intervall für die Einschränkung des Parameters an.

Im Innern des Hauses ist auf dem Fußboden des Dachraumes im Punkt ein langer, senkrecht stehender Mast für eine Satellitenantenne montiert. Dieser Mast ragt durch das Dach ins Freie. Ermittle die Länge des Teiles dieses Mastes, der sich außerhalb des Hauses befindet sowie den Abstand der Mastspitze zur Ebene .

Durch Teile der Geraden und mit den Gleichungen ; und ; können zwei Dachbalken modelliert werden, die in der Ebene liegen. Begründe, dass und parallel zueinander verlaufen und berechne den Abstand der beiden Dachbalken.

  Koordinaten der Eckpunkte bestimmen In dieser Aufgabe ist ein Haus mit rechteckiger Grundfläche gegeben, sowie die Punkte , , und . Du sollst nun die unbekannten Koordinaten der Punkte und bestimmen. Ersetze dazu identische Vektoren (parallel und gleich lang), wie zum Beispiel durch . Dazu nutzt du, dass der Punkt im Urpsrung liegt und damit gilt und Damit rechnest du Um den Vektor zu berechnen, nutzt du, dass die - Komponente von gerade entspricht. Die - Komponente dieses Vektors ist . Somit sind die Koordinaten der Punkte und .   Gleichung in Koordinatenform der Dachfläche bestimmen Du sollst die Koordinatenform der Ebene bestimmen, auf der die Punkte liegen. Dazu berechnest du zuerst die Parameterform der Ebene. Wähle zum Beispiel als Stützvektor und als Richtungsvektoren . Du erhältst die Parameterform Die Koordinatenform erhältst du aus einem Normalenvektor der Ebene. Diesen kannst du als Kreuzprodukt der Richtungsvektoren berechnen. Die Parameter entsprechen dann den Komponenten . Das Kreuzprodukt kannst du mit deinem CAS berechnen über den Befehl berechnen. Diesen findest du unter Die Konstante entspricht dem Skalarprodukt . Es ergibt sich: Nach Division durch erhältst du als Komponenten des Normalenvektors Die Konstante ist also Als Koordinatenform erhältst du somit: .   Neigungswinkel des Daches bestimmen Du sollst den Neigungswinkel des Daches bestimmen. Dieser entspricht gerade dem Winkel zwischen der Dachebene und der Ebene. Für den Winkel zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren und gilt Dabei ist die Länge des Vektors . Diese kannst du mit dem Befehl berechnen, den du folgendermaßen findest Um das Skalarpodukt zweier Vektoren zu berechnen, verwendest du den Befehl unter Wähle für den mit deinem CAS normierten Normalenvektor aus dem vorangegangenen Aufgabenteil. Durch Anwenden der obigen Formel erhältst du eine Gleichung für die Größe des Winkels , die du mit deinem CAS lösen kannst Dadurch erhältst du die Größe des Neigungswinkels zu ungefähr .

  Richtung des Lichteinfalls bestimmen Du hast die Einfallsrichtung von parallelem Licht mit einem noch unbestimmten Wert gegeben. Nun musst du den Wert für so berechnen, dass der Winkel zwischen der Richtung der Lichtstrahlen und der Dachfläche beträgt. Das ist gerade der Fall, wenn der Winkel zwischen dem normierten Normalenvektor der Ebene und der normierten Einfallsrichtung des Lichts beträgt. Für den Winkel zwischen und gilt mit und der Formel aus a) . Einen normierten Normalenvektor hast du bereits mit vorher berechnet. Einsetzen liefert eine Gleichung für

  Größe der Dachfläche ermitteln Nun wird ein Drittel der Dachfläche, die von den Punkten begrenzt wird, mit Solarzellen bestückt. Um die Größe dieser Fläche zu ermitteln, berechnest du die Beträge der Vektoren und . Der Flächeninhalt ist dann gerade .   Gleichung der Ebenenschar entwickeln Diese Solarzellen können sowohl auf dem Dach als auch auf Ebenen montiert werden, die parallel zur Dachfläche mit einem Maximalabstand von liegen. Nun sollst du eine Gleichung für diese Ebenen entwickeln, in denen du den Parameter verwendest. Dazu gehst du so vor: die Gleichung einer zur Dachfläche parallelen Ebene kann durch eine Koordinatenform von beschrieben werden, die um von der Gleichung der Ebene in Koordinatenform verschoben ist.   Parameterintervall bestimmen Den Abstand zweier paralleler Ebenen berechnest du, indem du die Koordinaten eines Punktes auf der einen Ebene in die linke Seite der Hesse - Normalform der anderen Ebene einsetzt. Die Hesse-Normalform der Ebene lautet: Setze also die Koordinaten eines Punktes auf in die Hessesche Normalform der Ebene ein, setze den Abstand und löse diese Ungleichung nach auf. Der Befehl zum Lösen einer (Un)gleichung ist ebenfalls der -Befehl. Damit erhältst du, dass für gelten muss .

  Ermittlung der Länge des freien Satellitenmastes In diesem Aufgabenteil musst du die Länge eines geraden Satellitenmastes, der senkrecht auf der Ebene steht, außerhalb des Hauses berechnen. Den Verlauf des Mastes kannst du mit einer Geradengleichung modellieren. Bestimme zunächst die Geradengleichung durch den Punkt . Wähle als Stützvektor dazu den Ortsvektor des Punkes und als Richtungsvektor den Einheitsvektor in - Richtung. Bestimme nun den Schnittpunkt dieser Gerade mit der Dachebene. Setze dazu die Geradengleichung in die Koordinatenform der Gleichung der Ebene ein und löse diese Gleichung nach auf. Als Schnittpunkt erhältst du . Vom Punkt bis zum Punkt befindet sich der Mast also im Inneren des Hauses. Die Länge dieses Mastteils ergibt sich zu: Da der Mast insgesamt lang ist, befinden sich des Mastes außerhalb des Hauses.   Abstand zwischen Dachebene und Mastspitze berechnen Um den Abstand der Mastspitze zur Ebene zu berechnen, musst du erst die Koordinaten der Mastspitze berechnen. Weil der Mast ausschließlich in - Richtung zeigt und insgesamt lang ist, befindet sich gerade bei . Den Abstand ermitteltst du, indem du die Koordinaten des Punkts in die linke Seite der Hesseschen Normalform der Gleichung der Ebene einetzt: Also beträgt der Abstand .

  Begründung der Parallelität Du sollst begründen, ob die Geraden und zueinander parallel verlaufen. Wenn du die Richtungsvektoren der beiden Geraden betrachtest, siehst du, dass diese identisch sind. Du weißt, dass Geraden mit linear abhängigen Richtungsvektoren und parallel zueinander verlaufen. Sind zwei Vektoren linear abhängig, so gibt es es eine reele Zahl , für die gilt Identische Richtungsvektoren sind also ebenfalls voneinander linear abhängig, da gilt . Somit sind die beiden Geraden zueinander parallel.

  Koordinaten der Eckpunkte bestimmen In dieser Aufgabe ist ein Haus mit rechteckiger Grundfläche gegeben, sowie die Punkte , , und . Du sollst nun die unbekannten Koordinaten der Punkte und bestimmen. Ersetze dazu identische Vektoren (parallel und gleich lang), wie zum Beispiel durch . Dazu nutzt du, dass der Punkt im Urpsrung liegt und damit gilt und Damit rechnest du Um den Vektor zu berechnen, nutzt du, dass die - Komponente von gerade entspricht. Die - Komponente dieses Vektors ist . Damit erhältst du Somit sind die Koordinaten der Punkte und .   Gleichung in Koordinatenform der Dachfläche bestimmen Du sollst die Koordinatenform der Ebene bestimmen, auf der die Punkte liegen. Dazu berechnest du zuerst die Parameterform der Ebene. Wähle zum Beispiel als Stützvektor und als Richtungsvektoren . Du erhältst die Parameterform Die Koordinatenform erhältst du aus einem Normalenvektor der Ebene. Diesen kannst du als Kreuzprodukt der Richtungsvektoren berechnen. Die Parameter entsprechen dann den Komponenten . Das Kreuzprodukt kannst du mit deinem CAS berechnen über den Befehl berechnen. Diesen findest du unter Die Konstante entspricht dem Skalarprodukt . Es ergibt sich: Nach Division durch erhältst du als Komponenten des Normalenvektors Die Konstante ist also Als Koordinatenform erhältst du somit: .   Neigungswinkel des Daches bestimmen Du sollst den Neigungswinkel des Daches bestimmen. Dieser entspricht gerade dem Winkel zwischen der Dachebene und der Ebene. Für den Winkel zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren und gilt Dabei ist die Länge des Vektors . Diese kannst du mit dem Befehl berechnen, den du folgendermaßen findest Um das Skalarpodukt zweier Vektoren zu berechnen, verwendest du den Befehl unter Wähle für den mit deinem CAS normierten Normalenvektor aus dem vorangegangenen Aufgabenteil. Durch Anwenden der obigen Formel erhältst du eine Gleichung für die Größe des Winkels , die du mit deinem CAS lösen kannst Dadurch erhältst du die Größe des Neigungswinkels zu ungefähr .

  Richtung des Lichteinfalls bestimmen Du hast die Einfallsrichtung von parallelem Licht mit einem noch unbestimmten Wert gegeben. Nun musst du den Wert für so berechnen, dass der Winkel zwischen der Richtung der Lichtstrahlen und der Dachfläche beträgt. Das ist gerade der Fall, wenn der Winkel zwischen dem normierten Normalenvektor der Ebene und der normierten Einfallsrichtung des Lichts beträgt. Für den Winkel zwischen und gilt mit und der Formel aus a) . Einen normierten Normalenvektor hast du bereits mit vorher berechnet. Einsetzen liefert eine Gleichung für

  Größe der Dachfläche ermitteln Nun wird ein Drittel der Dachfläche, die von den Punkten begrenzt wird, mit Solarzellen bestückt. Um die Größe dieser Fläche zu ermitteln, berechnest du die Beträge der Vektoren und . Der Flächeninhalt ist dann gerade .   Gleichung der Ebenenschar entwickeln Diese Solarzellen können sowohl auf dem Dach als auch auf Ebenen montiert werden, die parallel zur Dachfläche mit einem Maximalabstand von liegen. Nun sollst du eine Gleichung für diese Ebenen entwickeln, in denen du den Parameter verwendest. Dazu gehst du so vor: die Gleichung einer zur Dachfläche parallelen Ebene kann durch eine Koordinatenform von beschrieben werden, die um von der Gleichung der Ebene in Koordinatenform verschoben ist.   Parameterintervall bestimmen Den Abstand zweier paralleler Ebenen berechnest du, indem du die Koordinaten eines Punktes auf der einen Ebene in die linke Seite der Hesse - Normalform der anderen Ebene einsetzt. Die Hesse-Normalform der Ebene lautet: Setze also die Koordinaten eines Punktes auf in die Hessesche Normalform der Ebene ein, setze den Abstand und löse diese Ungleichung nach auf. Der Befehl zum Lösen einer (Un)gleichung ist ebenfalls der -Befehl. Damit erhältst du, dass für gelten muss .

  Ermittlung der Länge des freien Satellitenmastes In diesem Aufgabenteil musst du die Länge eines geraden Satellitenmastes, der senkrecht auf der Ebene steht, außerhalb des Hauses berechnen. Den Verlauf des Mastes kannst du mit einer Geradengleichung modellieren. Bestimme zunächst die Geradengleichung durch den Punkt . Wähle als Stützvektor dazu den Ortsvektor des Punkes und als Richtungsvektor den Einheitsvektor in - Richtung. Bestimme nun den Schnittpunkt dieser Gerade mit der Dachebene. Setze dazu die Geradengleichung in die Koordinatenform der Gleichung der Ebene ein und löse diese Gleichung nach auf. Als Schnittpunkt erhältst du . Vom Punkt bis zum Punkt befindet sich der Mast also im Inneren des Hauses. Die Länge dieses Mastteils ergibt sich zu: Da der Mast insgesamt lang ist, befinden sich des Mastes außerhalb des Hauses.   Abstand zwischen Dachebene und Mastspitze berechnen Um den Abstand der Mastspitze zur Ebene zu berechnen, musst du erst die Koordinaten der Mastspitze berechnen. Weil der Mast ausschließlich in - Richtung zeigt und insgesamt lang ist, befindet sich gerade bei . Den Abstand ermitteltst du, indem du die Koordinaten des Punkts in die linke Seite der Hesseschen Normalform der Gleichung der Ebene einetzt: Also beträgt der Abstand .

  Begründung der Parallelität Du sollst begründen, ob die Geraden und zueinander parallel verlaufen. Wenn du die Richtungsvektoren der beiden Geraden betrachtest, siehst du, dass diese identisch sind. Du weißt, dass Geraden mit linear abhängigen Richtungsvektoren und parallel zueinander verlaufen. Sind zwei Vektoren linear abhängig, so gibt es es eine reele Zahl , für die gilt Identische Richtungsvektoren sind also ebenfalls voneinander linear abhängig, da gilt . Somit sind die beiden Geraden zueinander parallel.